必修四平面向量共线的坐标表示

1、平面对量共线的坐标表示 学习目标 1.懂得用坐标表示的平面对量共线的条件.2.能依据平面对量的坐标，判定向量 是否共线 .3.把握三点共线的判定方法学问点一平面对量共线的坐标表示1设 a x1， y1， b x2， y2，其中 b0， a、b 共线，当且仅当存在实数，使 a b.2假如用坐标表示可写为x1， y1 x2，y2，当且仅当x1 y2 x2y1 0 时，向量a、bb 0共线摸索 1向量 a x1， y1， b x2， y2，如 x1y1 x2y2 0 或 x1x2 y1 y2 0 能判定 a b 吗？答不能摸索 2假如两个非零向量共线，你能通过其坐标判定它们是同向仍是反向吗？答能将

2、b 写成 a 形式， >0 时 b 与 a 同向， <0 时， b 与 a 反向 学问点二共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系，求解坐标 如图所示，设p 点是直线p1p2 上的一点，且p1p .pp2摸索 1定比 与分点位置的一一对应关系如下表：< 1 1 1<<0 0p 点位置在 p1p2 的延长线上不存在在 p2p1 的延长线上与 p1 重合p 点名称外分点外分点始点0<<1 1>1p 点位置p 点名称在 p1 与中点之间p 为中点内分点在中点与 p2 之间摸索 2设 p1 x1， y1， p2x2，

3、y2，试用 及 p1， p2 点的坐标表示px，y点的坐标答案 opop1p1pop1 pp2 op 1op 2op op 1 op2 op，op1 op2 1 op1 1x1， y1 1 x2， y21 1x1，1y1 x2，y2 1 1 1x1 x2，1y1 y2 1 .x1 x2p，1 y1 y2 1 .题型一平面对量共线的判定例 1已知 a1,2 ，b 3,2，当 k 为何值时， ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向仍是反向？解ka b k1,2 3,2 k 3,2k2， a 3b 1,2 3 3,210， 4，ka b 与 a 3b 平行，. k3× 4 102k

4、 2 0，解得 k 13121此时 ka b 3 3， 3 2 3a 3b，时，当 k1ka b 与 a 3b 平行，并且反向 3跟踪训练1已知a2,1， b0,4，c1,3， d5， 3判定 与 是否共线？假如共线，abcd它们的方向相同仍是相反？解ab 0,4 2,1 2,3，cd 5， 3 1,3 4， 6方法一 2 × 6 3× 40，且 2× 4<0， ab 与cd 共线且方向相反方法二 ， 与 共线且方向相反cd2ababcd题型二利用向量共线求点的坐标例 2已知点 a3， 4 与点 b 1,2，点 p 在直线 ab 上，且 | ，求点 p 的坐

5、标解设 p 点坐标为 x，y |ap2|pb| |ap|2|pb|， ap 2pb 或ap 2pb.当 ap 2pb时， x 3， y 4 2 1 x,2y，x 3 2 2xy 4 42y，解得x 13，y 0p 点坐标为1，0 . 3当 ap 2pb时，就 x3， y 4 2 1 x,2 y，x 32 2xy 4 4 2y，解得x 5.y 8p 点坐标为 5,8综上，点 p 的坐标为1， 0 或 5,83ab跟踪训练2已知点 a1， 2，如向量解设 x， y， 与 a 同向， 与 a2,3同向，|ab| 213，求点 b 的坐标abab ab a >0 ，即 x， y 2,3，x 2，

6、y 3，又| | 213，abx2y252. 42 92 52， 2 >0 即ab 4,6 点 b 的坐标为 5,4 题型三平面对量共线的综合运用例 3如下列图， 已知点 a4,0，b4,4，c2,6，求 ac 和 ob 交点 p 的坐标op解方法一设 t4,4 4t,4t，tob就 ap op oa 4t, 4t 4,04 t 4,4t ，ac 2,6 4,0 2,6由 ap ，ac共线的条件知4t 4× 6 4t× 2 0， 3解得 t 4.op 4t, 4t 3,3，p 点坐标为 3,3方法二设 px， y，就 x， y， 4,4 opobop， ob共线， 4

7、x 4y 0， 又 cp x2， y 6， ca 2， 6，且向量 cp、 ca共线， 6x 2 26 y 0， 解 组成的方程组，得x 3， y 3，点 p 的坐标为 3,3 跟踪训练3如下列图，在四边形abcd 中，已知a2,6、b6,4、c5,0、d 1,0，求直线ac 与 bd 交点 p 的坐标dp解设 px，y ，就 x 1， y， 5,4 ， 3,6， 4,0dbcadc由 b， p， d 三点共线可得 5， 4又 dp dbcp dp dc 54,4，由于 cp与ca共线得， 5 46 12 0.44 2016解之得 ， dp 7db 77 ， 7，p 的坐标为27，16 .77

8、用向量方法讨论平面几何问题例 4已知 abcd 是正方形， beac，ac ce，ec 的延长线交ba 的延长线于点f，求证： af ae.证明建立如下列图的直角坐标系，为了讨论便利不妨设正方形abcd 的边长为1，就 b1,0， c1,1，d 0,1，设 ex， y，这里 y>0，于是 ac 1,1， be x 1， y ac be，1× y x 1× 1 0. y x1.ac oc ce已知 ，ce 2oc 2. x 12 y1 2 2.由 y>0，联立 解得33x，213y，2即 e 33，13 .22ae oe33 22 1322 3 1.设 ft,0，

9、就 1 t,1， 13 13.fcce，22fccef 、c、e 三点共线， .1 t× 13213× 10，解得 t 13.2af of 13， af ae.1已知 a 1,2， b 2，y，如 a b，就 y 的值是 a 1b 1c 4d 4 2以下各组的两个向量共线的是a a1 2,3，b1 4,6 b a2 1， 2 ，b2 7,14 c a3 2,3 ， b3 3,2d a4 3,2，b4 6， 4oa3已知向量 k,12， 4,5， 10，k，假如 a、b、c 三点共线，就实数 k .oboc4已知四边形abcd 的四个顶点a，b，c，d 的坐标依次是3， 1，

10、1,2， 1,1， 3，5 求证：四边形abcd 是梯形5已知点a 1， 3 ，b1,1，直线 ab 与直线 xy 5 0 交于点 c，求点 c 的坐标一、挑选题1向量 a 1， 2， |b| 4|a|， a b，就 b 可能是 a 4,8b 8,4c 4， 8d 4,8 和 a 1,0b 1,0c 1， 13已知平面对量a x,1，b x， x2，就向量a bd 1,1a 平行于x 轴2已知三点a 1,1， b0,2， c2,0，如 abcd 是相反向量，就d 点坐标是 b平行于第一、三象限的角平分线c平行于y 轴d平行于其次、四象限的角平分线4如 a 2cos ， 1， b sin ， 1

11、，且 a b，就 tan 等于 a 2b.12c 2d 125已知向量a 1,2，b 0,1，设 u a kb，v 2a b，如 u v ，就实数 k 的值为 11a 1b 2c.2d 16已知 a、b、c 三点在一条直线上，且a3， 6， b 5,2，如 c 点的横坐标为6，就 c点的纵坐标为 a 13b 9c 9d 13二、填空题7已知向量a 2x 1,4，b 2 x,3，如 a b，就实数x 的值等于 8如三点p1,1 ， a2， 4， bx， 9共线，就 x 的值为 9设向量a 1,2 ， b 2,3如向量a b 与向量 c 4， 7共线，就 .， 就 k10已知点a， b 的坐标分别

12、为2， 2， 4,3，向量p 的坐标为 2k 1,7且 p ab的值为 三、解答题1 11已知两点a3， 4，b 9,2在直线 ab 上，求一点p 使|ap |3|ab|.12已知 abc 的三个顶点坐标依次为a x1， y1， bx2， y2， cx3， y3试确定 abc 的重心 g 的坐标1 1 13如下列图，已知aob 中， a0,5， o0,0，b4,3， ad 与 bc相交于点m ，求点 m 的坐标ocoaodob 42当堂检测答案1 答案d解析 a b， 1× y 2× 2 0， y 4.2 答案d23解析， a b ，应选 d.6 4443 答案 2 或 1

13、1解析 k,12， 4,5， 10， k，oaoboc ab 4 k， 7， bc 6，k 5，a、b、c 三点共线，4 k k5 7× 6 0， 解得 k 2 或 k 11.4 证明 a3， 1 ，b1,2 ， c 1,1， d 3， 5 ab 2,3， cd 4， 6 1 cd 2ab， |ab| 2|cd |，ab cd ，且 ab cd ，四边形 abcd 是梯形5 解设点 cx， y a、b、 c 三点共线， ac ab 2,4 2， 4 x1， y 3 2， 4，x 21y 43， c2 1,4 3把点 c21,4 3代入 x y 5 0 得21 4 3 50，解得 3.

14、 c2,32课时精练答案一、挑选题1 答案d2 答案c3 答案c解析 a b 0,1 x2， 平行于 y 轴4 答案a解析 a b， 2cos × 1 sin .tan 2.应选 a. 5 答案b解析 u 1,2 k0,1 1,2 k，v 2,4 0,1 2,3，.又 u v ， 1× 322 k，得 k 1 应选 b.26 答案c解析设 c 点坐标 6， y，就 8,8， 3 ，y 6a、b、c 三点共线， 3aby 6， acy 9. 88二、填空题17 答案2.解析由 a b 得 32x 1 42 x，解得 x 128 答案3解析pa 1， 5，pb x1， 10，p

15、、a、b 三点共线， 与 共线papb1× 10 5× x 1 0，解得 x3. 9 答案2解析ab 2,2 3， c 4， 7， 2 4 2 3 7 ， 2.1910 答案10ab解析由 a2， 2， b4,3知 2,5，ab又 p 2k 1,7且 p ，2 k1× 5 2× 7 0， k 19.10三、解答题11 解设点 p 的坐标为 x， y，如点 p 在线段 ab 上，就 1 ，ap2pb x3， y 419 x,2 y 2解得 x 1， y 2， p 1， 21 如点 p 在线段 ba 的延长线上，就ap 4pb， x3， y 4 1 9 x,2 y4解得 x 7，y 6， p7， 6综上可得点p 的坐标为 1， 2或7， 612 解延长 ag 交 bc 于点 d ，g 为abc 的重心，d 为 bc 的中点，2 ag 3ad21 ab1 ac3 221 ab 31 ac， 31 1 og oa ag oa 3ab 3ac 1 1 oa 3ob oaoc oa 31 oaob oc 3x1 x2 x3，3y1 y2 y33.即 abc