用位似变换再探正方形的内接正三角形问题

1、用位似变换再探正方形的内接正三角形问题本文对文1与文2进行比较，通过联想、类比、知识的迁移，得 出一种作正方形的内接正三角形的新方法.1经典回顾一文1中提到我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内 接正三角形.如图1,已知正方形abcd.求作：等边aefg,使g、f、e方别在正方 形 abcd 边 ab、 bc、 cd 上分析 假设aefg为正方形的一内接正三角形，不妨设其中的两点g、e在正方形一组对边ab、cd± (图1)作aefg边eg上的高pf,则g、b、f、p四点共圆连接bp,则zfbp= zfgp二60。同理，zfcp二zfep二60。所以apbc是正三角形，因正a

2、pbc 是一定的，所以点p是一个定点.而且定点p是ge的中点经过点a (或点 d)、点p的边最长，得最大正三角形，于是得：作法：如图1, (1)在正方形abcd内作正apbc；(2) 过点p作eg,交ab边于点g,交对边cd于点e；(3) 过点p作pf丄ge交bc于点f,连接gf、ef,则aefg即为所求.文2中的问题一：如何利用尺规作图的方法作出长宽符合一定比例 的三角形的内接矩形？如图2,已知aabc,求作aabc的内接矩形，使de在bc边上，点g、f分别在ab、ac边上，且de : dg二2 : 1.分析 求作的矩形要满足四个条件：de在bc边上；g在ab边上;f在ac边上；de : d

3、g=2 : 1要同时满足这么多条件比较困难，不妨先 退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“f在ac边上”这个条件，那样的 矩形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点f 定在ac上，再作图就简单多了.作法(1)作矩形d' e ff gf ,使it e'在bc边上，g'在ab边 上，且 e' : df gf =2 : 1；(2) 连接bf'并延长bf'交ac于点f；(3) 过点f作fgbc交ab于点g；(4) 分别过点f、g作bc的垂线，垂足分别为e、d；则四边形defg就是所求的矩形.证明 由作法知：zfed二zgde二90。,f

4、ged,则 zfgd=90° ,所以四边形defg是矩形.因为 e' 2 ef=bf, bf二g fg,即 fgef二f gf ef f 由作法知 f g e f 二d e d g 二21,所以 fgef=21,即 de : dg=2 : 1.3对新作法的启示在正方形内求作等边三角形是否也可以用位似变换的方法来解决呢？题冃：已知正方形abcd,求作：等边aefg,使g、f、e方别在正方 形 abcd 边 aik bc、cd 上.分析 求作的正三角形要满足d、f、e方别在正方形abcd边ab、bc、cd±,要同时满足这么多条件比较怵i难，不妨先退一步，即先放弃一个条

5、件，比如放弃“e在cd边上”这个条件,那样的正三角形就比较好作,然 后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点e定在cd ±,再作图 就简单多了（图3）作法（1）在ab、bc上分别取两点g、f',且满足：15° wzbg'f w45。；（2）作正fz e，使b、e'在直线g f的异侧；（3）连接be'并延长，交cd于点e；（4）过点e分别作g ez、w ez的平行线交ab、bc于点g、f； 连接gf；则aefg就是所求的正三角形.证明由作法可知：bg e abge, abf7 e abfe,所以 be' be二g e ge, be&

6、#39; be二f e fe,所以 g e ge=f, e fe,又因为zg，e f =zgef,所以e f sgef,所以aefg是正三角形.正三角形的面积的大小由边长决定，边长越小，kllj面积越大，反 之，也成立利用几何画板，点g，、w在变化的过程中发现：（1）当点g与点a或点d与点e重合（图4、5）,即zbg' f' =15°或45。，则正 三和形的边长最长，面积最大；(2)当gead(图6),即zbg' f' =30° 时，正三角形的边长最短，面积最小.(3)点gz、点fz在变化的过程屮，运用几何画板，得到线段ge 的运动轨迹(如图7中的阴影部分)，巧妙地解决了点p是一个定点的问 题，再用文1的方法进行证明，自然贴切，相得益彰.数学是一门探究的学科，在平时的教学积累中，教师应善于总结，精 炼培养学生思维品质的优秀素材，开发学生潜在的思维能力，用位似变换 来探究正方形的内接正三角形，不失为一堂优秀的探究课.参考文献1李发勇正方形的内接正三角形的探究j中学