用定义证明极限题型分析

1、用定义证明极限题型分析摘要：本文针对用定义证明极限的一般题型作出分 析。关键词：极限；数列的极限；函数的极限；£-n语 言；£ - 8语言中图分类号：g427文献标识码：a文章编号： 1009-8631 (2011) 02-0216-01极限是高等数学的基础概念之一，导数、定积分、偏导 数、重积分以及曲线曲面积分都是通过极限来定义的，极限 有关问题也是高等数学的重要题型。虽然极限的求解方法很 多，但用定义来证明极限却是最基础的方法，同时，极限的 £-n语言、e - 6语言有助于对极限的理解。下面针对数列 以及函数极限的相关题型分别作出分析。一、数列的极限1. 对数

2、列xn与常数a,若对任意给定£>0总存在正 整数n,使对n>n的一切xn, xna< e都成立，称数a为 数列xn的极限，记为xn=a.由此，若要证明数a为xn的 极限，只需对任意给定£>0求解n,为了找n,令xn-a< £反解出n>© ( e ),取定n二4)( e )即可。下举一例。例1证明数列xn二的极限是1.解：对任意的£ >0, xn-a=-l=,为了使tv £即v £ 得n>,取nr则当n>n时有-iv £ ,故二1.2. 若对任意给定m>0总

3、存在正整数n,使对n>n的一 切xn, xn>m都成立，称数列xn的极限为无穷，记为xn=°°. 由此，若要证明数列xn的极限为无穷，只需对任意给定m >0求解n,为了找n,令xnm反解出ne(m),取定n二0(m)即可.二、函数的极限设函数f (x)在x0的某一去心邻域内或x大于某一正 数时有定义，下面就xxo及x00两种情况进行分析.1. 若对任意给定£ >0总存在正数6 >0,使得满足0 <xxo< 8的一切x有f (x) a< £都成立，称数a为f(x)当xxo时的极限，记为f (x) =a.由此，

4、若要证数a 为f (x)当xxo时的极限，只需对任意给定£ >0求解正 数8 >0,为了找令f (x)-a< £反解出x-xov巾(£ ), 取定8 = 4)( e )即可.下举一例.例2证明：当x0>0时二.解：对任意给定e >0, -二x-xo< £即x-xo< £ ；同 时 x0 可由 x-xoxo 保证，取 6 =minx0, e ,则当 0vx-x0 < 5时有-v e ,故二.2. 若对任意给定m>0总存在正数6 >0,使得满足0 <xxo< 8的一切x有f (

5、x) >m都成立，称f (x)当xx0 时的极限为无穷，记为f (x)二8.由此，若要证f (x)当xxo 时的极限为无穷，只需对任意给定m>0求解正数8 >0,为 了找 § ,令 f (x) >m 反解出 xxo<(1)( e ),取定 6 =(|)(e )即可.3. 若对任意给定£ >0总存在正数x>0,对x>x的一 切x有f (x) -a< £都成立，称数a为f (x)当x00时 的极限，记为f (x) =a.由此，若要证数a为f (x)当x00 时的极限，只需对任意给定e >0求解正数x>0

6、,为了找x, 令f (x) -a< e反解出x> 4)( £ ),取定x二d ( £ )即可. 下举一例.例3证明：二0.解：对任意给定£ >0, -0二v £即x>,取x二，则当x >x时有v £ ,故二04. 若对任意给定m>0总存在正数x0,对x>x的一 切x有f(x)>皿都成立，称f(x)当xf°°时的极限为无 穷，记为f (x) =°°.由此，若要证f(x)当x-*00时的极限 为无穷，只需对任意给定m>0求解正数x>0,为了找x, 令f (x) >m反解出xe ( e