第13章静电场中的导体和电介质---教材习题

1、第13章静电场中的导体和电介质图 13.113.1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径 分别为8和rc的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中 P点的电场 强度如何？若用导线将 A和B连接起来，则A球的电势为多少？(设无 穷远处电势为零)解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异 种，但是咼斯面内只有电荷q .根据咼斯定理可得 E4 n2 = q/ 0可得P点的电场强度为 E乞p .4兀时当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷 q .用导线将 A和B连接起来后，正负电荷将中和.A球是一个等势体，其电势等于球心的电势.A球的电势是球壳

2、外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为U .4阳0匚13.2同轴电缆是由半径为 R1的导体圆柱和半径为 R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对 介电常数为 $的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+入和-入则通过介质内长为I,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场 强为多少?I解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半 径为r、长为I的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位 移通过等于该面包含的自由电荷，即d = q =入设高斯面的侧面为 So,上下两底面分别为 S1和S2.通过高斯面的电

3、位移 通量为D dS D dScS= 2rID,可得电位移为D = ”2 n ,其方向垂直中心轴向外.电场强度为 E = D/印$= ”2 n 0£订，方向也垂直中心轴向外.13.3金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为 a、b,壳内距球心为处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布，距离球心都 为a.外壳上就有电荷q+Q ,距离球为b.球心的电势是所有电荷产生的电 势叠加，大小为1_ q . 1 _q . 1 Q q4二；0 r 4二；0 a 4二；0 b13.4三块平行金属板 A、B和C,面积都是S= 100cm2,A、B相距d

4、1_8A、C相距d2 = 4mm , B、C接地，A板带有正电荷 q = 3 >10 C,缘效应.求(1) B、C板上的电荷为多少？(2) A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为叼和色，所带电量分别为 q1 = aS和q2 = csS,在B、C板上分别感应异号电荷-qi和-q2，由电荷守恒得方程q = q i + q2 = dS + S，A、 B间的场强为Ei = d/s A、C间的场强为E2 = d/ ©-设A板与B板的电势差和 A板与C板的的电势差相等，设为AU，则U = Eidi = E2d2 ， 即 ddi = dd2 解联立方程和得8 8d = q

5、d2/S(di + d2)，所以 qi = dS = qd2/(di+d2)= 2 10(C); q2 = q - qi = 1 W" (C)._8 _8B、 C 板上的电荷分别为qB = -q i = -2 i0 (C); qc = -q2 = -i i0 (C).两板电势差为 AU = E idi = ddi/ =qdid2/ ®S(di+d2),由于 k = 9 M09 = i/4 n o&所以 =i0-9/36 n,因此 AU = i44 n= 452.4(V).由于B板和C板的电势为零，所以Ua = AU = 452.4(V).13.5 一无限大均匀带电平

6、面 A,带电量为q,在它的附近放一块与 A平行 的金属导体板 B,板B有一定的厚度，如图所示.则在板 B的两个表面1 和2上的感应电荷分别为多少？ 解：由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得图 13.5S,则面qi + q2 = 0虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为电荷密度分别为d = qi/S、d = q2/S、d= q/S，它们产生的场强大小分别为Ei = d/©、E2 = d/o E = d/°£在B板内部任取一点 P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场 强向左，取向右的方向为正，可得Ei - E2 E =

7、 0，即 d -d - d= 0， 外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为或者说qi - q2 + q = 0 ，解得电量分别为q2 = q/2， qi = -q2 = -q/2.13.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？解：由于左板接地，所以 d = 0.由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以d = 0.由于两板带等量异号的电荷，所以d = - d.两板之间的场强为 E = d/，而E = U/d，所以面电荷密度分别为d = 0E = ©U/d = 8.

8、84 10-7(C m-2)， d = - d = -8.84 10<7(C m-2).13.7 一球形电容器，内外球壳半径分别为Ri和R2，球壳与地面及其他物体相距很远.将内球用细导线接地.试证：球面间电容可用公式 C二 可看作两个球电容器的并联，且地球半径 R>>R2) 证：方法一：并联电容法.在外球外面再接一个半径为壳也接地.内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为Ci14 01/ R -1/R2R1R211/R2 -1/R3外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当趋于无穷大时，C2 = 4冗0忆并联电容为R R2R2 - Ri4 二；0R2

9、4二;0 RR2 - R13.10圆柱形电容器是由半径为Ri的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷 q' 内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果. 由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电 势为一q一+一q一=0，因此感应电荷为 q'=-旦q 4 兀sR4 兀®RR2根据高斯定理可得两球壳之间的场强为Eq_2他 2 ,负号表示场强方向4兀呂04阳0&由外球壳指向内球壳.取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为R1R1U 二 E dI = EdrR2R2RiqRq4

10、二；0r21 1(R2 - R)q4二;0R；球面间的电容为c = q = 4 ；0民UR -R113.8球形电容器的内、外半径分别为Ri和R2,其间一半充满相对介电常量为©的均匀电介质，求电容 C为多少？解：球形电容器的电容为=4 二；011/ Ri -1/ R2=4二；。R2 Ri对于半球来说,由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：图 13.82二0RiR2 当电容器中充满介质时，电容为:R2 _尺C22二；0 ;rRiR2由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联:C = Ci ' C2 =2 二；0(i ；r)RRzR2 - Ri13.9设板面积为 S的平板

11、电容器析板间有两层介质，介电常量分别 为q和，厚度分别为di和d2，求电容器的电容.解：假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为 Ci = aS/di 和 C2 = i2S/d2 总电容的倒数为丄乂1 丄did2C CiC2；iS恋总电容为C1 2S呗+耳d2长为I,其间充满了介电常量为£的介质设沿轴线单位长度导线上的电荷为荷为-入略去边缘效应.求：(1) 两极的电势差U ;(2) 介质中的电场强度 E、电位移D ;(3) 电容C,它是真空时电容的多少倍？人圆筒的电解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r、长为I的圆柱形高斯面，侧

12、面为 S0,上下两底面分别为 0和S2.通过高斯面的电位移通量为d = j、D dS = j D dS $ D dSdS二2rID ,高斯面包围的自由电荷为 q =入,1根据介质中的高斯定理 ©d = q , 可得电位为D = ”2 n ,方向垂直中心轴向外.电场强度为E = D/ £ =”2 n £ 1方向也垂直中心轴向外.取一条电力线为积分路径，电势差为R2 、 、U = E dl 二 Edrdr = 一 In 色.LL冃2“2二；R电容为c=q 2.UIn (R2/R1)在真空时的电容为c0 q - 01，所以倍数为C/Co = £ £U

13、In (R2/R)13.11在半径为Ri的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为£.设金属球带电Qo,求：(1 )介质层内、夕卜D、E、P的分布；(2 )介质层内、外表面的极化电荷面密度.解：(1 )在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为Od = D dS=，dS=4冗r2D，高斯面包围的自由电荷为 q = Q0,根据介质中的高斯定理Qd = q，可得电位为D = Q 0/4 nr,方向沿着径向.电场强度为E = D /££ = Q0 r/4n°£r

14、3，方向沿着径向.由于D = ©E + P,所以P = D - £0E = (1 - 1 ) Q°r3 .在介质之外是真空，真空可当作介电常量r = 1的介质处务 4兀r理，所以 D = Q°r/4 nl E = Q°r/4 n。'，P = 0 .(2)在介质层内靠近金属球处，自由电荷Qo产生的场为Eo = Qor/4 nor3；极化电荷q1、产生的场强为E' = q1'r/4 nor3；总场强为E = Qor/4 n o£rr3.由于E = Eo + E'，解得极化电荷为1q1 = (1)Qo1务介质

15、层内表面的极化电荷面密度为4加=(-1)4爲2在介质层外表面，极化电荷为13.12两个电容器电容之比 C1：C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比 为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解：两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C,得静电能之比为 Wi：W2 = C2：Ci = 2:1 .两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W =2CU /2,得静电能之比为 Wi:W2 = Ci:C2 = 1:2 .13.13 一平行板电容器板面积为S,板间距离为d，接在电源上维持其电

16、压为U 将一块厚度为d相对介电常量为©的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解：平行板电容器的电容为C =S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = £)S/2d;另一半插入电介质时，电容为 C2 = QrS2d .两个电容器并联，总电容为C = C1 + C2 = (1 + r) ©S/2d,静电能为 W = CU 2/2 = (1 + r) oSU2/4d .13.14 一平行板电容器板面积为S,板间距离为d，两板竖直放着若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为r的液体中求：(1) 电容器的电容C;(2 )

17、浸入液体后电容器的静电能；(3) 极板上的自由电荷面密度.解：(1 )如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 +內0S/2d.(2) 电容器充电前的电容为Cq = ©S/d，充电后所带电量为 Q = CoU .当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为2 2 2 2W = Q /2C = C 0 U /2C = ©SU /(1 + &)d.(3)电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1 = ioS/2d;介质中的一半的电容为C2 = o rS/2d.设两半的所带自由电荷分别为贝 y Q1 + Q2 = Q由于 C = Q/U，所

18、以 U = Q 1/C1 = Q2/C2-解联立方程得C1Q _ CqU C1 C21 C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为Q1 和 Q2,-Q1 _2CqUS/2 一(1 C2/C1)S2；qU(1同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为2CqU2"!2 :(C1 / C2 - 1)S(1;d13.15平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块 1.0mm厚的玻璃板("5).将电容器与300V的电源相连.求：(1) 维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？(2) 断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少

19、？解：平行板电容器的电容为Co = 0 tS/d，静电能为 Wo = CoU2/2 .玻璃板抽出之后的电容为C = ；oS/d.(1)保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W= CU 2/2,电能器能量变化为22-5W = W - Wo = (C - Co)U /2= (1 - a) oSU /2d = -3.18 10 (J).(2)充电后所带电量为Q = CoU ,保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C,电能器能量变化为2 CoCoU2/八 EoSU-4W=WW0=( 0 1) 0=(环1)= 1.59 W4(J).0 C22d13.16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为 a、b.

20、试证明电容器能量的一半储存在半径ab的圆柱体内.解：设圆柱形电容器电荷线密度为入场强为E = X2 n or，能量密度为w = i)E2/2，体积元为dV = 2 n rdr,能量元为dW = wdV.在半径a到R的圆柱体储存的能量为W = vwdV当R = b时，能量为* L In b ；4兀名0 a当Rf ab时，能量为W2-ln、bLin卫,4兀EoV a 8兀呂oa所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R =魯£的圆柱体内.13.17两个同轴的圆柱面，长度均为I，半径分别为a、b,柱面之间充满介电常量为&的电介质(忽略边缘效应)当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：(1 )在半径为r(a < r < b)、厚度为dr