成人高考专升本《高等数学二》公式大全

1、1、数列极限的四就运算法就学习必备欢迎下载第一章节公式如 果 lim xnna, lim ynnb, 那么lim xnnyn lim xnnlim ynabnlimnxnyn lim xnnlim ynabnlim xn. yn nlimn xn . lim yn）na.blimxnnynlim xnnlim yn na b0 b推 广 ： 上 面 法 就 可 以 推 广 到 有 限 多 个 数 列 的 情 况 ； 例 如 ， 如a n，bn，cn有 极 限 ， 就 ：limna nbncn lim annlim bnnlim cnn特殊地，假如c 是常数，那么2、函数极限的四算运就lim c

2、 .an nlimnc.lim a ncan假如 limf xa, limg xb, 那么limf xlimg xlimf xlimg xablimf xlimg xlimf xlimg xablimf xg xlim limf xg xa b blimg x0推论 设 limf1 x, limf 2 x, limf 3 x,. limf n x, limf x都存在， k 为常数， n 为正整数，就有：lim f1 xf1 x. fn xlimf1 xlimf 2 x.limf n xlim kf xk lim f xlim f x nlimf x n3、无穷小量的比较：设,是同一过程中的两

3、个无穷小,且lim0, lim0.(1) 假如lim0 ,就说是比高阶的无穷小, 记作o ; 2 假如limc c0 , 就说是与同阶的无穷小;（3）特殊地假如 lim1, 就称与是等价的无穷小量; 记作;(4) 假如 limkcc0, k0, 就说是 的k阶的无穷小 .(5) 假如lim, 就称是比低阶的无穷小量.常用等级无穷小量的比较：当 x0时,学习必备欢迎下载sin x x,arcsin x x, tan x x, arctanx x,ln1x x, ex1 x,1cosx 1 x 2 .2重要极限limsin x1. lim 11 x1xe. lim 1xe对数列有lim 11 ne

4、x0xx0xx0nn1. 导数的定义：函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是其次章节公式limx 0f x0 x f x0x lim x 0 f，我们称它为函数y f x 在 x x0 处的导数，记作f x0 或 y|x x0 即 f x0 x limx0f x0 x f x0 x.2导数的几何意义函数 f x 在 x x0 处的导数就是切线的斜率k，即 k lim x 0f x0 x f x0 x f x0 3导函数 导数 当 x 变化时， f x 便是 x 的一个函数，我们称它为f x 的导函数 简称导数 ， y f x 的导函数有时也记作y，即f x y limx 0f x x

5、 f xx.4几种常见函数的导数1 c 0 c 为常数 ， 2xn nxn1 n z ，3ax axlnaa 0,a1, ex ex1114lnx x， log a x xlog ae=x ln aa 0,a15sinx cos x，6cosx sin x7tan x'1cos2 x, 8cot x'1sin 2 x9arcsin x'111x 2x1 , 10arccosx'111x 2x111arctan x'11x2, 12arc cotx'11x25函数的和、差、积、商的导数 u±v u± v， uv u v uvuv

6、 u vuvv2， ku cuk 为常数 uvw uvw uvw+ uvw 微分公式：学习必备欢迎下载（ 1） d coc为常数）（2） d x a ax a1 dx a为任意实数）x3 d log a1xx ln adxa0, a1,xxd ln x1 dx x（4） d a x aln adxa0, a1d e e dx5 d sin xcos xdx6d cos xsinxdx7d tan x1cos2 x1dx ,8d cot x1dx2sinx19arcsin x'1x2dx , 10arccosx'dx1x211d arctan x11x 2dx , 12d arc

7、cot x11x 2 dx6微分的四算运就d u± v du± dv，duv v du udvd u vvduv2udv v0dku k du k 为常数 洛必达法就：在肯定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法；limf xflimxlimf ' ' xa或）xa g xxa g' xxa g '' x7. 导数的应用：f ' x =0 的点为函数f x 的驻点，求极值；(1) xx0 时，f ' x0 ; xx0 时 ,f x'0 , 就f x0 为f x的极大值，x0为极大值点;(2)

8、 xx0 时，f ' x0 ; xx0时 ,f x'0 , 就fx0 为f x的极大值，x0为微小值点;(3) 假如 f' x在x0的两端的符号相同，那么f x0 不是极值，x0 不是极值点； ;f ' ' x=0 的点为函数f x 的拐点，求凹凸区间；f ' ' x0的x取值范畴内，曲线yf x为凸的（下凹）f ' ' x0的x取值范畴内，曲线yf x为凹的（上凹）第三章学问点概况不定积分的定义：函数fx的全体原函数称为函数fx的不定积分，记作f x dx，并称为积分符号，函数f x 为被积函数，f x dx为被积表达式

9、，x 为积分变量；因此f xdxf xc学习必备欢迎下载不定积分的性质：1f x dx'f x或df x dxf x dx2f ' x dxf xc 或 df xf xc3 f xx.xdxf xdx xdx. xdx4kf xdxkf xdx k为常数且 k0基本积分公式：10dxcx1x2ax dx1a 1xa1xc ax113dxxln xc4a dxaln ac a0, a1 5e dxec 6sin xdxcosxc7cos xdxsin xc(8) 1dx cos2 x2(9) 1dxtan xccot xc(10)1dx2arcsin xc111dx2arctan

10、 xcsinx1 - x1x换元积分（凑微分）法：1. 凑微分；对不定积分g xdx ，将被积表达式gxdx凑成g xdx x' x dxu2. 作变量代换； 令 x, 就dudx' x dx代入上式得：g xdx凑微分f x' x dx变换带量f u du3.用公式积分， ，并用 ux 换式中的uf udu公式f uc回代f xc常用的凑微分公式主要有：（1）faxbdx11 f ax ab d axb（2） fax kbxk11dx11f ax kka1bd axkb1（3） f xdx2 f xx d x（4）f dxxx 2f d xx（5） f ex ex d

11、xf e x d ex （6） fln x1 dx xf lnxd ln x（7） f sin xcos xdxf sinx d sin x（8） f cos xsinxdxf cos xd cos x（9） ftan x1cos2 x dxf tan xd tan x（10） fcot x1sin 2 x dxf cotxd cot x（11） farcsin x1dx1x2f arcsin xd arcsin x（12） farccos x1dx1x21f arccos xd arccos x（13） farctan x12 dxxf arctan xd arctan x（14） '

12、; x dxxd lnx x0学习必备欢迎下载分部积分法：d uvvduudv两边对 x积分得 uvvduudv移项得udvuvvdu或vduuvudv适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u 和 dv 的选取法（1） eax pxdx设upx, dveax dx（2） p x sin axdx设up x, dvsin axdx（3） p x cosaxdx设up x, dvcosaxdx （4） p x ln xdx设uln x, dvp xdx（5） px arcsin xdx设uarcsin x, dvp xdx（6） p x arctanxdx设uarctanx, dvp xdx（7）

13、 eax sin bxdx其中u,v为任意选取， eax cosbxdx其中u, v为任意选取，上述式中的p（ x 为 x 的多项式， a,b 为常数；一些简洁有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很简洁将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分；定积分 :bf xdxalimnnf i xi 此式子是个常数i 1（0）1 定积分的值是一个常数，它只与被积函数fx及积分区间 a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有bf xdxabf t dta（ 2）在定积分的定义中，我们假定a<b; 假如 b<a，我们规定：bf xdxaa-f x

14、dxb假如 a=b, 就规定：af xdx0a（ 3）对于定义在a, a 上的连续奇（偶）函数f x ，有af xdxa0f x为奇函数af xdxaa2f xdx0f x为偶函数定积分的性质：b（1）kf xdxbkf xdx k为常数）（2） f xg x dxbf xdxbg x dxaaaab（3）f x dxcf xdxbf xdxc为a,b的内外点）aac（4）假如在区间 a, b上总有f xg x, 就bf xdxbg x d（x单调性）（5）b1dxbaaaa（6）设 m 和m分别是f x在区间 a,b 上的最大值和最小值，就有 mbabf xdxam ba（7）积分中值定理：

15、假如b函数f x在闭区间 a,b上连续，就在a, b上至少存在一点，定积分的运算：使得下式成立：af xdxf ba一、变上限函数设函数fx在区间a, b上连续，并且设x 为a, b上的任一点，于是，fx 在区间xa,b上的定积分为xfx dxa这里 x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为ft dta假如上限 x 在区a, b学习必备欢迎下载间上任意变动， 就对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在a,b 上定义了一个以x 为自变量的函数x ，我们把x 称为函数xfx在区间a, b上变上限函数xf记为at dt axb推理：' x

16、xf t dt 'af x' xb xa xf tdt 'f bxb' xf a x a' x定积分运算公式利用定义运算定积分的值是非常麻烦的，有时甚至无法运算；因此，必需寻求运算定积分的简便方法；我们知道：假如物体以速度v tv t0 作直线运动，那么在时间区间a, bs上所经过的路程s 为bv t dta另一方面，假如物体经过的路程s 是时间 t 的函数图 5-11s t ，那么物体从t=a 到 t=b 所经过的路程应当是（见图5-11 ）即bv t dts bs aav tb由导数的物理意义可知：s' tv t即 s t是 v t一个原函数

17、， 因此，为了求出定积分v t dta，应先求出被积函数的原函数s t，再求 s t在区间a, b上的增量 s as b 即可；bfx dx假如抛开上面物理意义，便可得出运算定积分a的一般方法：设函数 fx 在闭区间a,b上连续， fx 是 fx 的一个原函数，即fx'bfx ，就这个公式叫做牛顿- 莱布尼兹公式；bfx dxf bf aab为了使用便利，将公式写成f xdxaf xaf bf a牛顿 - 莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式；它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差；它揭示了定积分和不定积分的内在联系，供应了运算定积分有效而简便的方法，从而使

18、定积分得到了广泛的应用；定积分的换元公式：bf xdxaf t' t dt 运算要领是：作代换 x有连续导数t，要求当 t从 变到b't时， x严格单调地从a变到b,且xt 在,上定积分的分部积分法：buv' dxauv abvu' dxa5.4.2 定积分求平面图形的面积1. 直角坐标系下面积的运算学习必备欢迎下载yyf x(1) 由曲线yf x和直线xa, xb, y0 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再表达.(2) 求由两条曲线yf x, yg x ，aoxxdxbx f xg x及直线x a, xb 所围成平面的面积a （如图 5.8 所示

19、） .y g x下面用微元法求面积a .取 x 为积分变量，xa,b .图 5.8在区间 a, b上任取一小区间 x, xdx ，该区间上小曲边梯形的面积da 可以用高f xg x ，底边为 dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素da f xg x dx .写出积分表达式，即ab f xag x dx .求由两条曲线x y, x y ， y y 及直线 yc, yd 所围成平面图形（如图5.9 ）的面积 .这里取 y 为积分变量，y用类似 2的方法可以推出：d c, d ，y dy+dyya yc ydy .x yo cx yx§ 4.1偏导数与全微分一.主要内容：.多元函数的

20、概念第四章学问点多元函数微分学1. 二元函数的定义：zf x, y x, y d定义域：d f 2. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面；（而一元函数是平面上的曲线）z=ax+by+c 表示一个平面；z r2x2y 2表示球心在原点、半径为r的上半个球面；zx2y 2，表示开口向上的圆锥面；22zxy，表示开口向上的旋转剖物面；.二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=fx,y满意条件：学习必备欢迎下载1.在点 x0 ,y 0 的某个领域内有定义；（点 x 0 ,y0 可除外）2 、 limx x0y y0f x, y a就称zf x ,y 在 x0 ,y0 极限存在，且等于 a；

21、2. 连续定义：设z=fx,y满意条件：1在点 x 0 ,y0 的某个领域内有定义；2. 偏导数：limx x0y y0f x, y f x 0 ,y 0 就称 zf x,y在 x0 ,y0 处连续；定义 :设函数 zf x,y ,在点 x 0 ,y 0 的某个邻域内有定义，当自变量 x0在处取得转变量x（ x0, 而yy 0 保持不变时，得到一个转变量；对x的偏导数：fx x0 ,y0 limx 0f x0x, y 0 xf x0 ,y 0 对y的偏导数：f y x0 ,y 0 limy 0f x0 , y 0y fy x0 ,y 0 f x x 0 ,y0 ,f y x0 ,y 0 分别为

22、函数f x,y 在 x0 ,y 0 处对 x ,y的偏导数；z f x ,y 在d 内任意点 x ,y 处的偏导数记为：f x x, y f x, y zz xxxf y x, y f x, y zz yyy. 全微分：1. 定义： z=fx,y如zf xx, yyf x , y axbyo 学习必备欢迎下载其中， a、b与x、 y无关， o（）是比较高阶的无穷小量（ x 2 y 2 ,就称axby是函数 zf x,y 处的就 : dzdf x , y axby是zf x , y 在点 x,y处的全微分；3. 全微分与偏导数的关系定理：如f x x ,y ,f y x ,y 连续， x, yd

23、 .就： zf x,y 在点 x,y 处可微且dzf x x ,y dxf y x,y dy. 复全函数的偏导数：1. 设： zf u ,v , uu x,y , vv x, yzfu x ,y,v x, y zzuzv就：xuxvxzzuzvyuyvy2. 设yf u , v, uu x, vv xyf u x , v x dyyduydvdxudxvdx. 隐含数的偏导数：1. 设f x,y , z 0 , zf x ,y,且fz0yzfzf x就,xfzyfz学习必备欢迎下载2. 设f x , y 0 , yf x ,且f y0dyfx就dxfy. 二阶偏导数：2zzfxxf yy x,

24、 y z" xx x , y z" yy2xxx2zz2y yy2zzfxy x, y z"xyx yyx2zzf yx x, y z"yxy xxy结论：当f xy x,y 和f yx x,y 为x,y的连续函数时，就： f xy x , y f yx x , y （八）隐函数的导数和偏导数f ' x , y xyy 'f ' x, y对于方程 f x , y）0所确定的 yf x，可以求出y对x的导数z fx x,y , z z.f x , y , z yx f x , y , z yy f x, zy , z 九. 二元函数

25、的无条件极值1. 二元函数极值定义：设z x,y 在 x0 ,y0 某一个邻域内有定义，如z x , y z x0 ,y 0 ,或z x, yz x0 ,y0 学习必备欢迎下载就称 z x 0 ,y 0 是z x, y 的一个极大 或微小 值 ,称 x0 ,y 0 是z x, y 的一个极大 或微小 值点；极大值和微小值统称为极值，极大值点和微小值点统称为极值点；2. 极值的必要条件：如zf x,y 在点 x 0 ,y 0 有极值，且在 x 0 ,y 0 两个一阶偏导数存在，就：f x x 0 ,y 0 0f y x 0 ,y 0 01 使f x x0 ,y 0 f y x 0 ,y0 0的点

26、 x 0 ,y 0 ，称为 zf x , y 的驻点；2 定理的结论是极值存在的必要条件，例：z而非充分条件；22yx1z x2 xz y2 y0x 00解出驻点0y 00z 0 , 0当x10, y0时， z 0, y 2y11当x0, y0时， z x ,02x11驻点不肯定是极值点；3. 极值的充分条件：设：函数 yf x ,y 在 x0 ,y0 的某个领域内有二阶偏导数，且 x0 ,y0 为驻点，学习必备欢迎下载如： pfxy x0 ,2y0 f xx x0 ,y0 f yy x0 ,y0 当： pf xx x 0 ,0 且y0 0时，f x 0 ,y0 为极大值；当： p0,f x,

27、 y 不是极值；f xx x0 ,y0 0时，f x0 ,y0 为微小值；00当： p0 ,不能确定；求二元极值的方法：1 求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，解出驻点；2 求出p,依据极值的充分条件，判定驻点是否是极值点 ； 3如驻点是极值点，求出极值；二倍角公式： 含万能公式 sin 22 sincos2tg1 tg 2 cos 2cos2sin22 cos2112 sin 221tg1tg 2 tg 22tg1tg 2 sin 2tg 21tg 2学习必备欢迎下载1 cos2 cos212cos 22第五章排列与组合（ 1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即

28、可完成；（ 2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成；排列： 从 n 个不同元素里，任取1mn 个元素，依据肯定的次序排列成一列，称为从n 个不同元素里取出m个元素的一个排列，运算公式：mpn n1 n2. n m1n.n规定pn. ,0.1n nm.n组合： 从 n 个不同元素里，任取1mn 个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为mc或（nn）n，运算公式：m n ncn1 n2 . nm. m1n. m. nm.0规定c1nm组合的性质：cnn mc mnnm, c2 n1m m1 ccn np mmmmmn pcp或cn

29、nmnp m m第六章概率论符号概率论集合论样本空间全集不行能大事空集基本领件集合的元素a大事子集a 的对立大事a 的余集大事 a 发生导致a 是 b 的子集学习必备欢迎下载大事 b 发生a=ba 与 b 两大事相等集合 a 与 b 相等大事 a 与大事 b至少有一个发生a 与 b 的并集大事 a 与大事 b 同时发生a 与 b 的交集 a-b大事 a 发生而大事b不发生a 与 b 的差集大事 a 与大事 b 互不相容a 与 b 没有相同元素由于随机大事都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是大事间的关系和运算就可以用集合论的学问来争论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示大事的各种关系和

30、运算法就，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个大事；于是各大事的关系运算如图中的图示所示；各大事的关系运算如图示：9. 完备大事组n 个大事，假如满意以下条件：（ 1）；（ 2），就称其为完备大事组；明显任何一个大事a 与其对立大事构成完备大事组；10. 大事运算的运算规章：（ 1）交换律（ 2）结合律（ 3）安排律（ 4）对偶律率的古典定义学习必备欢迎下载定义：在古典概型中，如样本空间所包含的基本领件总数为n，大事 a 包含的基本领件数为m，就大事a 发生的概率为；概率的基本性质与运算法就性质 1.0 pa 1特殊地， p =0 ， p =1性质 2. 如，就 pb-a=pb-pa性质 3. （加法公式）对任意大事a， b，有 pa b=pa+pb-pab；推论 1. 如大事 a， b 互不相容（互斥），就pa+b=pa+pb推论 2. 对任一大事a, 有推论 3. 对任意大事a，b， c，有 pa+b+c=pa+pb+pc-pab-pac-pbc+pabc条件概率、乘法公式、