等和线解决地平面向量专题

1、实用标准文案1、【2014宁波二模理17】已知点O是厶ABC的外接圆圆心，且 AB=3 AC=4.若存在非零实 数 x、y,使得 AO =xAB + yAC，且 x+2y =1，贝U cos / BAC =.解答：取AC中点D,则有 AO =xAB yAC 二xAB 2yAD，而 x 2y = 1，得点 B,O,D三点共线，已知点2 cos BAC .3O是厶ABC的外心，可得BD 丄 AC，故有 BC=AB=3 AC=4,求得8理6】设O ABC的外心2、【2014杭州二模文 1 1AO AB AC ,则.BAC的度数为（3（三角形外接圆的圆心）若A.30B.45C.60D.90O文档2 &

2、quot;"r解答：取AC中点D,则有AO AB AD，得点B,O,D三点共线，已知点 O是厶ABC 33的外心，可得BD _ AC，即有AO=BO=2D,O故可求得E BAC = 60 .3【2009浙江理样卷6】已知加B，点P在直线AB上，且满足乩2tPA tOB t R，则PBB.C.2D.3解答：由已知OP =12t2t1OA - tOB，点P在直线AB上,得1，解得t = -1或t二一.2t1 2t .211OA OPOB，此时A为PB中点,221 ；当t =丄时，可得PB 22T 1 T 1 TPAOP= OA+OB，此时 P为 AB中点，=1.22PB4、【2014浙江

3、省六校联考理17】已知O为. ABC的外心，AB =2a , AC =?(a . 0)aBAC .120，若A=xAB yAC(x, y为实数)，则x y的最小值为解答：如图，设 AO|BC二E，EO二m，AO二R，则易知AO AER mR x1 AB y1AC ，其中 x<= 1，m , R ，故由已知可R -m_2得x 八佥，所求取值范围是9.解：由丽二丽5+F疋可得*2a1 = 2a2-2y, X = -2z+-iya所以"F斗注厶2/333a3【20!4浙江省六校联考1了】已知0为的外心? AB = 2af AC=-(a>O)f aBAC = l2Q'f若

4、AO = xAB+yAC(xty为实数b则的最小值为-注意外接圆ABAO =；|而| 2|X6|cosBeao三|丽|而卜 2 * J 2AC'AO = |AC| 2|AO|cos9bao=扌|AC|ACp 题设等式癞目得：AB*AO = xAB2 4-yAB-AC ,即AB2 = AB2x - 2y 题设筹式乘而 得：AC 1 AO = xAB AC + yAC2 T §P|AC2 2x-|-AC3y 耳忑尿+西圣丽反+庙= 丽f|可0"+|简 =1 Cj , ± > 2¥ _AB=AC2-4_AB2AC?-4- 3 I a2 /L夕卜心

5、，姑=九/<?=二;>0卫亡&占/<7 = 20：3 若AO=aAB/3ACa.风&贝时/的最小值为多仞解答；将亠拯號在直角坐标系中，且谪和原点闽吋由方向重合，依据题意有；0点坐标为(60), £点坐标为QE C点坐标为标是M中垂线和川卯垂线交点° a a+胡中垂线方程为丰xaf 局中垂线斜率扫乎且纟込 醴线的中点卜舟.19得到外心坐标为厶+勺<3 a于是加=Cd=-J= + 二I V3 aI乩北 AC=a(2ac 0>A) a a解得住+炉托(卅卜彳吨“时候奪号取到)汶 臨亠姻啲内心，.4B = laT AC = -(a>

6、;0Ia J?)3ZBAC = 120 若AO=aAB/3AC(a. /3eR)±则廿砧最大值为多少？3, 雄垂心，“0=加山<? = 20卫便盘1±耳4(7 = 120匚 若aA0=OAB+pAC 尸芒R)：则丹朋最小值为多少？4, 滤二話*重心，.45 = 2oT.4C = -(<1 > 07« J；).ZBAC = 120 若aAO=aABpAC(a.尸丘卫'则卅期多少？5、【2013学年第一学期末宁波理 17】已知O为 ABC的外心，AB =4, AC =2,NBAC =120。若 AO =打 AB + 打 AC，则人i +九2

7、=G点，E， EO = m， AO = R， AF . I BC 于 F 点，OG . I BC 于RX1 AB y1AC，其中疋如=1，由已知可求则易知AO AER -m得 OG V，AFX37R R -mAF OG OG 131AF 6AFIAO AB fAB +AC AB解法2 :IAO AC 二、AB AC 2AC8=16,1 -4七得 2= -414匕'解得_56，故8'2 -6、131川九2.6解法 3 :设 A 0,0 , B 4,0 , C -1, 3 ,外心0是AB中垂线X =2和AC中垂线“2二的交点O2, 口3313，得 AO 2,心，ABI 3 J= 4

8、,0，7C 二-1/3，R m(2 = 4 - 2得-2，有误，重解.3312【变式 1 】、已知向量 a,b 的夹角为 ，且 | a|=4，| b| =2，| a-c |=| b-c|=| c|，若 c=xa+yb, 313x+y=6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足c + a= （c+ b、（注-R），则|c|的最小值为 A解答：如图，由已知 -cb 一 a，设a =0A，b =0B， -C = -1 -1oC，则点c在直线AB上，得C =有最小值丄2.27、【2012年稽阳联考15】A，B，P是直线I上不同的三点，点

9、O在直线I夕卜，若OP = mAP (2m-3)OB,(m R)，|PA|2解答:8、【2013杭二中高三适应考理 17】如图，在直角梯形 ABCD中，AD _ AB , AB / DC ,BD相切的圆上或圆内移动,AD =DC =1 , AB =2，动点P在以点C为圆心，且与直线设 AP W-.ADJAB ( ,Per),贝U九+卩取值范围是解答：设 APBD 二 E , AE =m, AP 二n，贝U AP = n AE = ° xAB yAC ，其中 m m2.5 kU n5 k75x+y=1，得九十卩=一 =1 + k , k表示点P到BC边的距离,m/5252k，0,，得所

10、求取值范围是1,21.-59、已知等差数列 式冷勺前n项和为Sn,若OA = a2 OB a2009 OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点 0）,则S2010等于（D）A . 2010 B . 2008 C1010 D . 100510、已知等差数列的前n项和为Sn，若OA=B a OC,且71三点共线（该直线不过点O），则 S2014 等于（D）A. 2014B. 2012C. 1012D. 100711、如图，在扇形OAB中，.AOB =60 ,C为弧AB上的一个动点.若Oc = x0A y0B，则A解答：如图，在 0B上取一点D,使OB=3OD设OCp|AD =E，OE = m，EC

11、二n，则有m n m nOCOEX1OA y2D ，其中 N % T，另有mmm nnOC二xOA yOB =xOA 3yOD，得x 3y1，易知当点C和点A重合mm时-达最小值0，当点C和点B重合时-达最大值2，故x 3r 1,31.mm考虑到C为弧肿上的一个动点，OCxayOB.显然兀*(V卜(> "< 一 1 一 14、若等边 ABC的边长为2，平面内一点 M满足CM CB CA，则MA MB =（ C）r ,* *r r两边平方：。亡=r2 = xOAyOB - x" r1 +2xyOA OBry" r2勺肖厂：y2x j + x:-l = 0

12、?=4-3x:>0得：$珅4-312不妨令 f(x) = -x+24'3xi (x g0.9x24-3x2所以.fh)Sxe0.1±M调递减,/(<)-3, /(l) = 1 , /(x)G1.3e12、如图，四边形 OAB（是边长为1的正方形，0D= 3，点P为厶BCD内 （含边界）的动点,设 OP = ： oC -ODG:= R)，则鳥的最大值等于A.B.13C.D.1313、在平面直角坐标系中,0是坐标原点，若两定点 A, B满足|0A = 0B = OA，0B = 2，则点集* |0P = 0A + #0B,人+卩兰2,九，卩 r所表示的区域的面积是 16

13、J3.1 2 ' 15、若等边 ABC的边长为2.3，平面内一点M满足CMCB CA,则MA，MB=2.6316、若M为厶ABC内一点,为 1:4 .且满足AM =3 AB -AC4 4则；ABM与 ABC的面积之比17、设0是:ABC的外心,A0 二 xAByACAB =4，AC = 6， 2x £ y = 1，则18、已知O为 ABC的外心，|AB| = 16,| AC|=1O 2，若 AO = xAB yAC，且32x+25y=25，则0A =10 .19、已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心，且.AOB = 12O0，MN是圆O的一条直径,点C在圆内，且满足OC= O

14、A ( )OB (0 :： ： 1)，则CM CN的取值范围是（C）41)3C ° 70)2兀20、已知圆O的半径为2, A B是圆上两点且 AOB , MN是一条直径，点3圆内且满足 OC =，OA (1 -，)OB (0":':：1），则CM CN的最小值为（C）1 C . - 3 D . - 4A . - 2B21、 已知 O( 0 , 0A(cosa,sina) , B(cosP,sin P) , C(cos?,sin ?),若k O A( 2 -k OBG 0（0 ： k : 2），则cos（：'）的最大值是22、【2014稽阳联谊理16】在.：A

15、BC中，三BA90，以AB为一边向 ABC外作等边 ABD,若 BCD =2 ACD，AD 二 ABAC ,则 丫 【.二=.I)且DD '交AC于点E.设.DCA - v，则解：如图，设点 D关于AC的对称点为D'，.BCD =2二.CD'D=90 -入.CBD=150 -3 在 DCD BCD 中利用正弦定CDBD _ DD 'CD一点P，PA PB PC的最小值是理得从而得sin(150 -3二)sin2r sin 2二 sin(90 -旳sin(150 -3R =sin(90 - 巧，从而 150 -3 二-90 - v 或 150 -3二 90- -1

16、80 从而得，-15 .显然，二匹二1,- _些 3 ,故，-匕AB 2AC 2223、已知 心ABC中，AB=4 AC=2若 九AB+（22k）AC的最小值是2,则对于AABC内B+（1 九）'2AC ="丸AB +（1 扎）AD的最小值是2，解：几斌+(2 2k )AC *ABT T -M设AE AB 1AD，则点E在直线AD上,AB=4 ，AC=2, AD=4故当AE长度最小为2时，E为BD中点，AE丄BD， 得.BAC =120，取BC中点F，连结AF，取AF中点G,则有：T T T t 1 T2 T2 T2 12PA PB PC A2PA PF =2 PG -GA i=2PGAF2123-AB AC =1 2当点P与点G重合时，有最小值- AF28 2T件&=2XT"斤弭5二2（宀沪沁皿P&念怎诙曲1 ABC内接于以0为圆心，1为半径的圆,50C且3，则 OCA =解：30A +，两边平方得OA 0B =0.故 OCAB丄15 52、在 ABC 中，AC=2, BC=6, O 是:ABC 内一点，且 0A 3 為CO,则OCBA2 BC=由 Oa 3OB4式0得。"，I 8 8丿得 OC宁，BA 2BC 二 x