等边三角形专题最新含详细讲解析

1、等边三角形专题2. （2017第9题）如图，将 ABC绕点B顺时针旋转600得 DBE，点C的对应点E恰好落在 AB 延长线上，连接 AD. 下列结论一定正确的是（ ）A ABD E B CBE C C. AD/BC D AD BC3. （2017第11题）如图，在 ABC中，AB AC , AD,CE是 ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP最小值的是（）ABCB CE C. AD D AC17. （ 2017第12题）已知等边 ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE AC于点E，过E作EF BC于点F，过F作FG AB于点G.当G与D重合时，AD的

2、长是（）A3B 4 C. 8 D 910. （2008中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点 A, E重合），在AE同侧分别作正三 角形ABC和正三角形 CDE,AD与BE交于一点 O,AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q, 连结PQ.以下五个结论： AD=BE; PQ/ AE; AP=BQ;DE=DP / AOB=60 . 恒成立的有 （把你认为正确的序号都填上） 16、（2009义乌中考）如图，在边长为4的正三角形 ABC中，AD BC于点D,以AD为边向右作正三角形 ADE。（1 ）求厶ABC的面积S;（2）判断AC DE的位置关系，并给出证明。等边三角形练习题1. （ 2012?

3、如图，已知：/ MON=30。，点 A1、A2、A3在射线 ON 上，点 Bl、B2、B3在射线OM上， A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4均为等边三角形， 若OA1=1 ,则厶A6B6A7 的边长为（）A . 6B . 12C. 32D . 642. （ 2012?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/a +的度数是（）A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°3. （2012?如图， ABC是等边三角形，P是/ ABC的平分线 BD上一点，PE丄AB于点E,线段BP的垂直平分线交 BC于点F,垂

4、足为点Q .若BF=2，贝U PE的长为（）A . 2B . 2C . |D . 34. （ 2011?边长为4的正三角形的高为（）A . 2B . 4C .D . 25. （ 2010?随州）如图，过边长为 1的等边 ABC的边AB上一点P,作PE丄AC于E, Q 为BC延长线上一点，当 PA=CQ时，连PQ交AC边于D，贝U DE的长为（）A .B.C .D .不能确定6. （ 2009?如图所示，在等边厶 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AB上，且 BD=AE , AD 与CE交于点F,则/ DFC的度数为（）A . 60 °B . 45 °C . 40°

5、;D . 30°7. （ 2007?如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边厶 ADE , BE、CE分别交 AD于G、H , 设厶CDH、 GHE的面积分别为 Si、S2,则（ ）A . 3Si=2S2B . 2Si=3S2C. 2Si=S2D . S仁2S2& （ 2007?如图， ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）2 2 2 2A . 4 cmB . 2cmC. 3 cmD . 3 cm9. （ 2006?如图，A、C、B三点在同一条直线上， DAC和厶EBC都是等边三角形， AE、 BD分别与 CD、

6、CE交于点 M、N，有如下结论：厶ACE DCB :CM=CN :AC=DN .其 中，正确结论的个数是（）A . 3 个B . 2 个C . 1 个| D . 0 个10 . （2006?如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上爬行（A , C端点除外），设 甲虫P到另外两边的距离之和为 d，等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（ ）A . d > hB . dv hC . d=hD .无法确定11 . （2007? 一艘轮船由海平面上 A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再 由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，贝U A、C

7、两地相距（ ）A . 30海里B . 40海里C . 50海里|d . 60海里|12 . （2006?如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，将 BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则/ A等于（）A . 25°B . 30°C . 45°D . 60°13 . （2011?如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C、D、E在同一直线上，且 CG=CD ,DF=DE，则/ E=度.14. (2008?日照)如图，C为线段AE上一动点(不与点 A , E重合)，在AE同侧分别作正 三角形ABC和正三角形 CDE, AD与BE交于点O, AD与B

8、C交于点P, BE与CD交于点Q,连接 PQ.以下五个结论： AD=BE :PQ / AE : AP=BQ ; DE=DP ;/ AOB=60 度.恒成立的结论有_ .(把你认为正确的序号都填上)15. (2005?如图，将边长为4的等边 ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到 A ' B ' C',则点 A '的坐标为.16. (2004?如图，正三角形 A1B1C1的边长为， A1B1C1的三条中位线组成 A2B2C2, A2B2C2的三条中线又组成 A3B3C3,，如此类推，得到 AnBnCn.则：(1 ) A3B3C3 的边长 a3=;(2) AnBnC

9、n的边长an= (其中n为正整数)17. (2006?嘉峪关) ABC为等边三角形，D、E、F分别在边 BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则 DEF为三角形.18. (1999?如图，以A , B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出个.19. 如图所示，P是等边三角形 ABC 一点，将 ABP绕点B顺时针方向旋转60°,得到CBP',若 PB=3，贝U PP' =20. (2009?如图，在边长为 4的正三角形 ABC中，AD丄BC于点D,以AD为一边向右作 正三角形ADE .(1 )求厶ABC的面积S; (2)判断AC、DE的位置关系，并给出

10、证明.21. (2009?如图， ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接 CD,以CD为 边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.22. (2008?附加题，学完“几何的回顾” 一章后，老师布置了一道思考题：Q.求?N分别如图，点M , N分别在正三角形 ABC的BC , CA边上，且BM=CN , AM , BN交于点 证：/ BQM=60 度.(1 )请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： 若将题中“ BM=CN ”与“/ BQM=60 ° ”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ 若将题中的点

11、 M, N分别移动到BC , CA的延长线上，是否仍能得到/BQM=60 若将题中的条件“点 M , N分别在正三角形 ABC的BC, CA边上”改为“点 M , 在正方形ABCD的BC , CD边上”，是否仍能得到/ BQM=60 ° ?-请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：，.并对，的判断，选择一个给出证明.0323. (2007?在厶ABC中，AB=AC , CG丄BA交BA的延长线于点 如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F, 条直角边与 一条直角边恰好经过点 B .(1) 在图1中请你通过观察、测量 BF与CG的长度，猜想并写出 系，然后证明你的猜想；(2

12、) 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上， 另一条直角边交 BC边于点D，过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量 DF与CG的长度，猜想并写出 DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3) 当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图 3所示的位置(点F在线段AC上, 且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由)G .一等腰直角三角尺按 AC边在一条直线上，另BF与CG满足的数量关DE、24. (2004?使 BE=CD ,(1) 求证：(2) 若D为AC的中点，求BP的长.已知：如图，正 ABC的边长为a

13、, D为AC边上的一个动点，延长 AB至E, 连接DE，交BC于点P.DP=PE;25. (2002?已知等边厶ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB、AC、BC的距离分别为 hl、 h2、h3, ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1)，此时h3=0，可得结论hi+h2+h3=h” 请直接应用上述信息解决下列问题：(1) 当点P在厶ABC (如图2) , (2)点P在厶ABC外(如图3)这两种情况时，上述结论 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， hi、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你 的猜想，不需证明.D召-W pC(2)26. (2000?如图，点C、D在线段AB上，

14、PCD是等边三角形. (1 )当AC、CD、DB满足怎样的关系时， ACP PDB ；(2) 当厶ACP PDB时，求/ APB的度数.27. ( 2010?)如图，点 C 是线段 AB 上除点 A、 B 外的任意一点，分别以 AC、 BC 为边在线 段AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE,连接AE交DC于M，连接BD交CE于N,连 接 MN .( 1 )求证： AE=BD ；(2)求证：MN / AB .28. (2005?如图，已知 AD和BC交于点0,且厶OAB和厶OCD均为等边三角形, 和OB为边作平行四边形 ODEB，连接AC、AE和CE, CE和AD相交于点F. 求证： ACE为

15、等边三角形.OD29.已知：如图， ABC、 CDE都是等边三角形， AD、BE相交于点 O,点M、 是线段 AD 、 BE 的中点.(1)求证：AD=BE ; (2)求/ DOE的度数；(3)求证： MNC是等边三角形.N 分别30.如图，等边 ABC的边长为10,点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点,BC=1 : 2，过P作PE丄AC于E,连PQ交AC边于D，求DE的长？CQ：全等三角形练习参考答案与试题解析1. C 2. C 3. C 4. D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13 . / E= 15 度.14. .1 n15. .16. a3=;A AnBnCn 的边

16、长 an= （或 2 ）17. 等边三角形.18.2 个.19 PP' =3.20. 解：（1）在正 ABC 中，AD=4 X, （2 分） S=BC X AD= X 4 X 2=4. （3 分）（2） AC、DE的位置关系： AC丄DE . （1分）在厶 CDF 中，/ CDE=90 ° Z ADE=30 ° , （2 分）/ CFD=180 ° Z C Z CDE=180 ° 60° 30° =90° . AC 丄 DE . （3 分）（注：其它方法酌情给分）.21. 解：AE / BC .理由如下：/ ABC与

17、厶CDE为正三角形， BC=AC , CD=CE , Z ACB= Z DCE=60 ° , Z ACB+ Z ACD= Z DCE+ Z ACD ,即 Z BCD= Z ACE , BCD ACE , Z B= Z EAC ,vZ B= Z ACB , Z EAC= Z ACB , AE / BC .22. 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”:是：是：否并 对，的判断，选择一个给出证明.（1）证明：在厶ABM和厶BCN中， ABM BCN , Z BAM= Z CBN , Z BQM= Z BAQ+ Z ABQ= Z MBQ+ Z ABQ=60 ° .（2）是；

18、是；否.的证明：如图，在厶ACM和厶BAN中， ACM BAN , Z AMC= Z BNA ,60° =120°,/ NQA= / NBC+ / BMQ= / NBC+ / BNA=180 ° - / BQM=60 ° .的证明：如图，在 Rt ABM 和 Rt BCN 中， Rt ABM 也 Rt BCN ,/ AMB= / BNC .又/ NBM+ / BNC=90 ° ,/ QBM+ / QMB=90 ° ,/ BQM=90 °，即/ BQM 工 60°.23解：（1） BF=CG ;证明：在厶ABF和厶A

19、CG中/ F=Z G=90。，/ FAB= / GAC , AB=AC ABF ACG (AAS ) BF=CG ;G图L图2(2) DE+DF=CG ;证明：过点 D作DH丄CG于点H (如图2)/ DE 丄 BA 于点 E,Z G=90 ° , DH 丄 CG四边形EDHG为矩形 DE=HG , DH / BG/ GBC= / HDC/ AB=AC/ FCD= / GBC= / HDC又/ F=Z DHC=90 ° , CD=DC FDC HCD (AAS ) DF=CH GH+CH=DE+DF=CG，即 DE+DF=CG ;(3) 仍然成立.证明：过点 D作DH丄CG

20、于点H (如图3)/ DE 丄 BA 于点 E,Z G=90 ° , DH 丄 CG四边形EDHG为矩形， DE=HG , DH / BG ,/ GBC= / HDC ,/ AB=AC ,/ FCD= / GBC= / HDC ,又/ F=Z DHC=90 ° , CD=DC , FDC HCD (AAS ) DF=CH , GH+CH=DE+DF=CG ,即 DE+DF=CG .(1) 证明：过点 D作DF / AB，交BC于F. ABC为正三角形，/ CDF= / A=60 ° . CDF为正三角形. DF=CD .又 BE=CD , BE=DF .又 DF

21、/ AB ,/ PEB=Z PDF.在 DFP和厶EBP中，, DFP EBP (AAS ). DP=PE.(2) 解：由(1)得厶 DFP EBP，可得 FP=BP ./ D 为 AC 中点，DF / AB , BF=BC=a . BP=BF=a.解：(1)当点P在厶ABC时，结论hi+h2+h3=h仍然成立.理由如下：过点 P作BC的平行线，交 AB于G,交AC于H，交AM于N，则可得 结论 hi+h2=AN . 四边形MNPF是矩形， PF=MN，即 h3=MN . hi+h2+h3=AN+MN=AM=h ,即 hi+h2+h3=h.(2)当点P在厶ABC外时，结论hi+h2+h3=h不

22、成立.此时，它们的关系是hi+h2 -h3=h.理由如下：过点 P作BC的平行线，与 AB、AC、AM分别相交于 G、H、N，则可得 结论 hi+h2=AN . 四边形MNPF是矩形， PF=MN，即 h3=MN . hi+h2- h3=AN - MN=AM=h ,即 hi+h2 h3=h.解：(i)当 CD2=AC ?DB 时， ACPPDB,/ PCD是等边三角形， / PCD= / PDC=60 ° , / ACP= / PDB=i20 ° ,若 CD =AC ?DB，由 PC=PD=CD 可得：PC?PD=AC ?DB ,即=,则根据相似三角形的判定定理得ACP P

23、DB(2)当厶 ACPPDB 时，/ APC= / PBD/ PDB=120 °/ DPB+ / DBP=60 °/ APC+ / BPD=60 °/ APB= / CPD+ / APC+ / BPD=120 °即可得/ APB的度数为120°.27. 证明：(1 ) ACD和厶BCE是等边三角形， AC=DC，CE=CB，/ DCA=60 °，/ ECB=60 ° ,/ DCA= / ECB=60 ° ,/ DCA+ / DCE= / ECB+ / DCE，/ ACE= / DCB , 在厶ACE与厶DCB中，,

24、 ACE DCB , AE=BD ;(2)v 由(1)得， ACE DCB ,/ CAM= / CDN , / ACD= / ECB=60。，而 A、C、B 三点共线，/ DCN=60 ° ,在厶ACM 与厶DCN中， ACM DCN , MC=NC , / MCN=60 ° , MCN为等边三角形，/ NMC= / DCN=60 ° ,/ NMC= / DCA , MN / AB .28. 证明：OAB和厶OCD为等边三角形， CD=OD , OB=AB，/ ADC= / ABO=60 ° . 四边形ODEB是平行四边形， OD=BE , OB=DE，

25、/ CBE= / EDO . CD=BE , AB=DE，/ ABE= / CDE . ABE EDC . AE=CE，/ AEB= / ECD ./ BE / AD ,/ AEB= / EAD ./ EAD= / ECD .在厶AFE和厶CFD中 又AFE= / CFD,/ AEC= / ADC=60 ° . ACE为等边三角形.29. 解：(1)v ABC、 CDE都是等边三角形， AC=BC , CD=CE，/ ACB= / DCE=60 ° ,/ ACB+ / BCD= / DCE+ / BCD ,/ ACD= / BCE,在厶ACD和厶BCE中 ACD BCE ,

26、 AD=BE .(2) 解： ACD BCE ,/ ADC= / BEC,等边三角形 DCE ,/ CED= / CDE=60 ° ,/ ADE+ / BED= / ADC+ / CDE+ / BED ,=/ ADC+60 ° +/ BED ,=/ CED+60 ° ,=60° +60°,=120° ,/ DOE=180。-(/ ADE+ / BED) =60°,答：/ DOE的度数是60°.(3) 证明： ACD BCE ,/ CAD= / CBE, AD=BE , AC=BC又点M、N分别是线段 AD、BE的中

27、点， AM=AD , BN=BE , AM=BN ,在厶ACM和厶BCN中 ACM BCN , CM=CN ,/ ACM= / BCN,又/ ACB=60 ° ,/ ACM+ / MCB=60 ° ,/ BCN+ / MCB=60 ° ,/ MCN=60 ° , MNC是等边三角形.30. 解：过P点作PF / BC交AC于F点，等边 ABC的边长为10 ,点P是边AB的中点，CQ : BC=1 : 2 , AB=BC , / B= / ACB= / A=60 ° , AP=CQ ,/ PF/ AB ,/ APF= / B=60 °

28、, / AFP= / ACB=60 ° ,/ A= / APF= / AFP=60 ° , APF是等边三角形，/ PE丄 AC , EF=AF ,/ APF是等边三角形， AP=CQ , PF=CQ/ PF/ AB ,/ Q=Z FPD,在 PDF和厶QDC中 PDFA QDC , DF=CD , DF=CF , DE=EF+DF=AF+CF=AC ED=5 .双基训练1. 如图14-45，在等边厶ABC中，0是三个角平分线的交点，OD/ AB, OE/ AC, 则图中等腰三角形的个数是 。2. 如图14-46 , ABC是等边三角形，D为BA的中点，DEI AC垂足为点

29、E, EFABAE=1,贝U AD=, EFC的周长=。3. 如图 14-47，在等边厶 ABC中，AE=CD BGL AD 求证：BP=2PG纵向应用1. 如图14-48，已知等边 ABC的ABC ACB的平分线交于 0点，若BC上的点E、F分别在OB 0C垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。2. 如图14-49，C是线段AB上的一点， ACDPA BCE是两个等边三角形，点 D E在AB同旁，AE交CD于点G, BD交CE于点H,求证：GH/ AB3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点 D使得ACDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，

30、N是线段BE的中点，求证：A CMN是 等边三角形。4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以 BC AC为边作等边A ACD和A CBE M为AE的中点，N为DB的中点，求证：A CMF为等边三角形。Y1 14 jlB1*1 31 S35. 如图14-52 ,在四边形ABCD中，/ A+Z B=120, AD=BC以CD为边向形外作等边 CDE连结AE求证： ABE为等边三角形。6. 如图14-53，已知 ABC是等边三角形，D为AC上一点，Z仁Z 2, BD=CE求证: ADE是等边三角形。7.如图 14-54，BD CD的中点。设在四边形 ABC冲，Z A+Z B=120，求证：

31、MNP是等边三角形。8. 如图14-55，在等腰梯形 ABCD中, AB/ CD AB>CD,AD=BC,角线AC BD交于点0,Z AOB=60且E、F分别是OD OA的中点，M是BC的中点，求证： EFM是等 边三角形。n.9. 如图14-56，在YABCD中， ABE和厶BCF都是等边三角形，求证： DEF是等边三角形。10. 如图 14-57，已知 D为等边 ABC 点，DA=DC P 点在 ABC外,且 CP=CA CD 平分/ PCB求/ P。横向拓展1. 如图14-58，已知P是等边三角形 ABC一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA PB PC 为边长的三角形的三角之

32、比。M再I -AD K GO2. 如图 14-59，点 O为等边 AB点，/ AOB=110 / BOC=l35 试问：(1) 以OA OB OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各角的度数； 若不能，请说明理由；(2) 如果/ AOB大小保持不变，那么当/ BOC等于多少度时，以OA OB OC为边的三角形是一个直角三角形？3. 如图14-60，已知 ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角/ BDC为120°的 等腰三角形，以点D为顶点作一个60°角的两边分别交AB于点M交AC于点N,连 结MN形成一个三角形。求证：AMN勺周长等于2。4. 如图14-61，在 ABC中，/ A=6C°, BEL AC；垂足为E, CF丄AB,垂足为F,点D 是BC的中点，BE CF交于点M (1)如果AB=AC求证： DEF是等边三角形；(2)如果AB AC，试猜想