弹性力学平面问题有限元法

1、3弹性力学平面问题有限元法材料力学主要研究杆、梁、柱结构力学主要研究杆系（或梁系） 弹性力学主要研究实体和板得受力和变形 弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的 均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、 变形和平衡关系。线性：（非线性）家构的应力占应变的关系（本构关系）呈线性变化。弹性：（塑性）结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。静力分析：（动态分析） 结构所受外力是不随时间变化的恒力。一、弹性力学中的物理量载荷、应力、应变、位移1 载荷载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 中力二无中无呂壬弋体力鬼分話于整个

2、弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体 内任一点，单位体积的体力用人表示，它可分解为给定坐标系x、y和z 三个坐标轴上的投影称为体力分量。TP = PvX Pry PVZ面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。TPs = PSX Psy Psz如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。TPc = PcX Pcy Pcz无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正 标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。内力A定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。»求解方法：截面法2.应力：内力集度。反映内力分布情况（应力场）A

3、FAtO W矢量P方向沿沿截面切向和法向分解为厂和b量纲：匸'MT ?AF的极限方向应力的两种不同分解方法a）沿坐标轴分解b）沿截面法向和切向分解厂除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常 釆用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正应力b和切应力因为与物体形变和材料强度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量。dcr、T-dy正六面单元体的取法*经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为：PA = Ax,PB = Ay,PC = Az 将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。正应力用CF表 示，切应力用厂表示。*应力

4、下标的含意:A.作用面的外法线方向B.力的指向切应力互等定理在受力物体相互垂直的希个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线,方向共同指向或背离这一交线。弹力规定/oyT一-TTT乂，材力规定TTTT"w3 形变A定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）厂线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。记号：£ 正负：伸长为正，压缩为负厂切应变（剪应变）：两方向线段夹角的改变。记号：7（以弧而非角度表示）正负:X矗一点的形变状态的概念几何规律：过空间一点有无数根直线。力学特点：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同;任两根直线之间夹角的改变也不相同。同一点的应

5、力状态情况一样，可证明，在物体内任意一点，若已知&八8八&乙、丫小丫0即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。4 位移定义：位置的改变。记号：况、V、W正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。»分类:与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）八弹性力学基本方程弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外 力之间的关系，它包括平衡方程、儿何方程和物理方程三类。1 平衡方程（应力和体力之间关系）(do)cr +x dxYdydz - o dxdy +(dr>t +w dyV Ydxdy)z、dz

6、 dxdy - t . dxdy + Xdxdydz -1z在X方向有工耳=°do+dx dy应力和体力在三个坐标方向上 满足一下平衡方程C + 6 + dx dy+ X = 0 dzdr+Y = 0 zdo+Z = 0 dz平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的, 它们通过三个平衡方程相互联系。2儿何方程（儿何量位移和应变）X7 du t、 u Hdx+ dx - u-dx（丿dxdudx dxdu dvdududv8 -7 二二+'dx9 xydxdvdwdv8 -人-=+yzdydwdudwE.' dz/ 二/ xz+dx人=°

7、; + 0 q tan ° + tan 0 =dv 竺. dydvdu1 + S 1 + edxdvxydxdx 1dx丿dydy 1 +dv3物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关）从静力学角度导出了平衡微分方程和静力边界条件; 从几何学角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导 过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这 些方程适用于一切连续介质。从也 的角度分析可知，不同材料的弹性体其应 力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体 ,在小变形情况下，应力应变关系服从广义胡克定律物理方程的表达形式以应力表示应变以应变表示应力1-£ 二一(7 V(C

8、T + CT )E-r-v7="Ga = X6 + 2Gs t = Gyxxxy/ xy1iqa = X9 + 2Gs t = Gvyy克/ yz£ = o 一 v(cr + (7 y厂y'*zEF Ga = A0 + 2Gs t = GyZZxz M1 - = 7 J70. +J)| /.=:0 = S + 8 + 8E 1-1GXyZb二咏为泊松比E为材料的切变弹性模量G =2(1 + ")由上可见，三类基本方程中包括15个方程，含6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分（称为基本未

9、知量），再通过基本方程求出其他未知量。 位移法、应力法、混合法选取基本未知量不同四、平面问题1平面应力问题工程中链传动中的链片、发动机中的连杆.内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的 直齿圆柱齿轮等a）弹性体是等厚的薄板（潘 向等厚廃）,厚度尺寸远远小于截面尺寸，tL/15;b）体力、面力和约束都只有"平面内的量即（人，人；人，人；*），且都不沿z向变化;厂应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上 （"±）没任何面力和约束的作用。应力边界为：CT 1= 0z5z 二土一2T 1= 0ZXOZ 二土一 22»板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度 方向

10、连续分布，故可认为所有各点:CT 二二 0Z由切应力互等定律得：T XZ O P W _ 0计只有平行于xy面的平面应力分量平面应力xbyxy yx严由于物体形状、外力和约束沿Z向均不变化，应 力分量和应变分量均只是兀、y的函数；从几何 方程积分求位移可知位移与z有关。矗平面应力问题只有平面应力分量和Txy = Tyx,且仅为兀、歹的函数的弹性力学问题CT = 0 T T 0 T T = 0 入=J 二 cry(x,y) 乙厂為(兀，” Tyx = Tyx(x9y)物理方程几何方程cr二Ds物理方程式中1010001 - “EID=1 “称为平面应力问题的弹性矩阵2）平面应变问题工程中滚针轴承

11、的滚针、轧钢机的轧辐、水坝.受内压管道、齿宽较大的直齿轮等2»条件、a）弹性体为常截面的很长柱体。b）体力、面力和约束都只有q平面内的量，且都不沿Z向变化;»假想柱体无限长，则任一Z截面均为对称面，即w = 0，只有平面位移况和u存在，即平面位移。A由于截面形状.外力和约束沿z向均不变化，位移分量只是X、y的函数u - y) v = v(x, y) w = 0A假想柱体无限长，则任一 Z截面均为对称面，即w = o，只有平面位移和V存在，即平面位移。由于截面形状、外力和约束沿Z向均不变化，位移分量只是X、y的函数.u - y) v v(x, y) w = 0从数学和几何学角

12、度推导dudvu = y)dw dv+ =0dy dzdw=0Szrxzdu dw+ =0 dz dx只有平行于xy面的平面应变分量平面应变从力学角度推导由对称性（对称结构承受对称荷载，反对称力为 零）可知：£ =0、T =0zxzy歼由剪切互等定律可知: T x_ = 0、 Ty_=0厂由胡克定律可知:冷二丫口 = °、乙厂乙尸°*平面应变问题只有平面应变分量、£）和/rv = Zvr,且仅为兀、歹的函数的弹性力学问题rzx = rxz心=N = °Sx=sx（x,y） £y = Wy （兀，歹） rxy =乙）,（兀，刃 ryx

13、= 物理方程6=云-“汁+"%=“(6 + by)6的存在说明了沿Z向无限长的柱体的假设限 制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压 应力。冬 可直接由、6计算得到，故不作为独立的 未知量。物理方程物理方程= »&式中D =E(l-“)(! + /)(!- 2“)1 01 2“2(1 “)称为平面应变问题的弹性矩阵名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移况、Vw工0%、 Vw = 0应变£、 F 、 兀yrXyY = y 0As =-(cr + a )乙厂兀>E£、 F 、兀y

14、V xyv = y =w=0应力CT 、 CT 、 兀yTT = T = CT = 0CT、 CT、xyTxyT - T - 0a = ii(a + cr )外力体力、面力的作用面 平行兀oy面，沿板厚 均布且只作用于板边。体力、面力的作用面平行 于兀oy面,外力沿Z轴 无变化。形状z向尺寸远小于板面 尺寸（等厚薄平板）z向尺寸远大于gy平面 内的尺寸（等截面长柱体3-2平面问题的有限元模型连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原 来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变 形，这时也可能出现非均匀变形。选择适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得 连续体尽管被人为地分割成单

15、元的集合，而且只在有限 个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。位移插值函数应注意满足以下几个条件(1) 包括常数项(反映单元发生的整体移动)(2) 包括一次项(反应发生的常应变)(3) 尽量保证位移的连续性使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足議I解靈瞬尺鑫麴鯉点互换的)3-3平面问题的三角形单元求解第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量f1三角形三节点单元f“= < f. > =第二步：选择适当的位移插值函数多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。 三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数。u = a + a + a

16、 yyv = a4 + a5x + a6y5（M,y）= ：/（X，y）a（49）第三步：求单元中任一点位移3(")与节点位移苗的关系 这一步的目的是求出待定系数。由于节点/、人m在单元上，它们的位移自然也就满足 位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得:u.=勺 + ax. + ccy.v. = a4 + a5x. + cc6y.u =. + ay .丿丿'*. = a, + ax. +.J45 j6 丿 ju = a. + ax + a. ym12 m3 丿 mv = a. + ax + a.ym45 m6 丿 m上式共有6个方程，可以求出6个待定系数。根据Gr

17、amer法则, 求出各待定系数12A0C 3 =a5 =12Aa .u.12A12A(Xi + bjUj12A+ 吶 + bmvm)ae =訂 Gm + CJVJ + 5%)其中，节点的坐标值是已知的，令=兀宀_ ©J厂b> = y厂儿，5 =_ ra j = X_ 旺儿八 b)= y,” 一 儿，CJ =山-X.nam =旺儿 一 x.y,9 bm = ys 一 yr cm = xj 一 旺1 A =21Xj为三角形单元的面积。用节点坐标和节点位移表示的位移函数为u - N m. + N .u . + N ui ij jm mv = N.v. + TV .v + N vi i

18、j jtn m其中,1 1N. =(a + b x + c.y)2A 111N j =(a + b x+ c y) >J 2A J J J I 1N.n = +,+cwiy)2A形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。以矩阵表示为0N.I其中,Nj称为形函数矩阵;疔=uiV.为单元节点位移列阵。上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通 过形函数插值求出单元内任意一点的位移。第四步：求单元应变一单元位移一节点位移之间的关系$(")= 4 £厂dx dvduSv+ 一dx第五步：求应力一应变一节点位移之间的关系由物理方程,b=Dg

19、=DBys5第六步：求节点力与节点位移之间的关系Fe= B' DlBd(vol )V严=(阿 90仏/)Ke=B'DlB-A.t按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入 一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是F=K3第七步：单元应力与节点位移的关系b(x,y)= db二、约束条件处理总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。 施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。置大数法将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵F中对应的分量置

20、为大数乘以已知的节点位移，而其余各 行保持不变2、置1赋0法2、置1赋0法将总刚度矩阵中给定位移。分量所对应行和列的主对角元素 置为1,而其他元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位 移分量所对应的节点载荷也变为a o0 0人1异101,1+1 ”1/i0丘2小1 h.nA11*11E 1 J0忠-1,"5,11>-d0100&£ 】N -10為+ 1八+ 1怎氏十14為"10為”4 bi n J、讥Fj - a X k |C a* k2,i-a X 右 i, aj 一 a x 怂+1“3-5六节点三角形单元和矩形单元六节点三角形单元三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。 几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。2 2 u = ax + a 2x + ay + a4