《高等数学一》复习姜作廉

1、课程名称高等数学（一）教名称高等数学（上册）出版社天津大学出版社材信作者李君湘邱忠文主编息版次2007年 8月第 1版注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分1函数f ( x)(1) x(1) x 为（）。2323（A）奇函数；（ B）周期函数；（ C）幂函数；（考核知识点 : 函数的性质，参见P4-7附（考核知识点解释及答案）：D）偶函数函数的基本特性：有界性：设函数f ( x) 的定义域为D，如果有M0 ，使得对xD ，都有f ( x)M ，则称f ( x) 在 D 上有界 。如果对xD ，使得f ( x)M ，

2、则称f ( x) 在 D 上有上界 。单调性：设函数f ( x) 的定义域为D，如果对x1 , x2D ，当x1x2 时，恒有f ( x1 )f (x2 ) ，就称 f ( x)在 D 上 为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设 f ( x) 的定义域为 D，对xD ，如果(i) f ( x) f (x) ，则称该函数为奇函数；(ii) f ( x)f ( x) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数 fx的定义域为 D，如果存在 T，使得对x D，总有( )0则称 f ( x) 为 D 上的周期函数， T 为 f ( x) 的一个周期通常

3、周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期f (- x) (21)- x(1) -x =323计算过程如下： =(233) - x(2 3)- x =(23)(2(23)(23)=(1) x(1)x =f(x)2323答案：（D）偶函数。2函数 f ( x) ln(1 sin x)( x0)为（）。（ A）无穷小量；（ B）无穷大量；（ C）零函数；（ D）常数函数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见 P25-27附（考核知识点解释及答案）：当 xx0 时，如果函数 f ( x) 的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数 f (x)为当 xx0时的无穷大量，记为 l

4、im f ( x)。x x0若 limf ( x) 0 ，则称函数 f (x) 在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。xx0答案：（A）无穷小量。3函数 ysin x 在点 x 0 处（）。x（A）可导；（ B）间断；（ C）可微；（ D）连续考核知识点 : 连续与可导性，参见 P40-46附 1.1.3（考核知识点解释及答案】）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件， 但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导 .答案：（B）间断。4若 f (x)ln(2sin x), 则 f (0)（）。（A）-1 ；（ B）0；（C） 1 ；（D）12考核知识点 : 复合函数

5、微分法 ，参见 P61-63附（考核知识点解释及答案）：下述“ 基本的求导公式 ”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。基本的求导公式基本初等函数求导公式复合函数的求导法则：若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。导数的四则运算法则：如果函数 uu(x) 及 vv(x) 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分

6、母为零的点外）都在点 x 具有导数，且（1） u( x)v(x)'' ( x)v' (x) ；u'u' ( x)v( x)u( x)v' ( x) ；（2） u( x)v( x)（3） u(x)'u' (x)v( x) u( x)v' (x)(v(x) 0)v(x)v2 ( x)1答案：（C）。5若 f (x)xex ,则 f (0)（）。（A）-2 ；（ B）-1 ；（ C）1；（D）2考核知识点 : 二阶导数计算，参见P65-68附（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定

7、的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶导数（间接法） .复合函数的求导法则若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 . 这一法则又称为链式法则 .复合函数求导既是重点又是难点 . 在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏

8、, 也不要重复 . 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量 ( 不管是自变量还是中间变量 ) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量 , 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.答案：（D）2。6函数 f ( x) lg1x2为（）。1cos x（A）奇函数；（ B）偶函数；（ C）幂函数；（ D）周期函数考核知识点 : 函数的性质，参见 P4-7附 1.1.6（考核知识点解释及答案）：奇偶性：设 f ( x) 的定义域为 D，对 x D ，如果(i)f ( x)f (x) ，则称该函数

9、为奇函数；(ii)f ( x)f ( x) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数 f ( x) 的定义域为 D，如果存在 T0，使得对 xD ，总有则称 f ( x) 为 D 上的周期函数， T 为 f ( x) 的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：（B）偶函数。7函数 f ( x) 2x 1 ( x 0) 为（）。（A）零函数；（ B）无穷大量；（ C）无穷小量；（ D）常数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见 P25-27附 1.1.7（考核知识点解释及答案）：当 xx0 时，如果函数 f ( x) 的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函

10、数 f (x)为当 xx0时的无穷大量，记为 lim f ( x)。x x0若 limf ( x) 0 ，则称函数 f (x) 在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。xx0答案：（ C）无穷小量。8函数 yx 在点 x 0 处（）。（A）间断；（ B）可导；（ C）可微；（ D）连续考核知识点 : 连续与可导性，参见 P40-46附 1.1.8（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件， 但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导 .答案：（D）连续。9若 f (x)esin x ,则 f (0)（）。（A）-1 ；（ B）0；（ C）1；（ D

11、） 2考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 P61-63附（考核知识点解释及答案）：初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则。若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏 , 也不要重复 . 在求导的过程中， 始终要明

12、确所求的导数是哪个函数对哪个变量 ( 不管是自变量还是中间变量 ) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量 , 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来 .答案：（C）0。210若 f ( x)e x , 则f (0)（）。（A）-2 ；（ B）-1 ；（ C）1；（D）2考核知识点 : 二阶导数计算，参见P65-68附（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶

13、导数（间接法） .答案：（A）-2 。11函数f (x)lg 1x为（）。1x（A）奇函数；（ B）偶函数；（ C）指数函数；（ D）周期函数考核知识点 : 函数的性质，参见P4-7附（考核知识点解释及答案）：函数的奇偶性：设 f ( x) 的定义域为 D，对xD ，如果(i) f ( x) f (x) ，则称该函数为奇函数；(ii) f (x)f ( x) ，则称该函数为偶函数函数的周期性：，使得对，总有设函数 fx的定义域为 D，如果存在 Tx D( )0则称 f ( x) 为 D 上的周期函数， T 为 f ( x) 的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函

14、数的周期答案：（A）奇函数。12函数f (x)x cos1( x0) 为（）。x（A）零函数；（ B）无穷大量；（ C）无穷小量；（ D）常数考核知识点 : 无穷小与无穷大，参见P25-27附（考核知识点解释及答案）：当 xx0 时，如果函数 f ( x) 的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数 f (x)为当 xx0时的无穷大量，记为 lim f ( x)。x x0若 limf ( x) 0 ，则称函数 f (x) 在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。xx0答案：（ C）无穷小量。13函数 f (x)tan x |在 x=0 处（）。（A）间断；（ B）可导；（ C）可微；（ D）连

15、续考核知识点 : 连续与可导性，参见P40-46附（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件， 但不是充分条件 . 若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导 .答案：（D）连续。14若 f ( x) ln x1,则 f (2) （）。x12（A）2；（ B）-2 ；（ C）4；（ D） -4考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 P61-63附（考核知识点解释及答案）：基本初等函数的导数公式 C0(C 为常数）； ( xn )nxn1( n R 但不为零）； (ex )ex ； (ln x)1 ；x (sin x) cos x ； (cos x)sin x ；

16、(a x)ax ln a ； (log a x)1.x ln a若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g ( x) 在点x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .答案：（C）4。15若 f ( x)ln(1x2 ),则 f (0)（）。（A）-2 ；（ B）-1 ；（ C）1；（D）2考核知识点 : 二阶导数计算，参见P65-68附（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义

17、逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式 , 通过导数的四则运算 , 变量代换等方法 , 间接求出指定的高阶导数（间接法） .导数的四则运算法则：如果函数 uu( x) 及 vv( x) 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且（1） u( x)v(x)'' ( x)v' (x) ；u'u' ( x)v( x)u( x)v' ( x) ；（2） u( x)v( x)（3） u(x)'(x)v( x) u( x)v' (x) (v(x) 0)u'v(x)

18、v2 ( x)答案：（A）-2 。二、主观部分：（一）、填空部分1. 函数 y arcsin2x1 的定义域是 _.7考核知识点 : 函数的概念，参见P1-6附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设 D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f ，使得对xD ，都有唯一的实数y 与之对应，就称f 确定了一个一元函数，通常记为yf ( x) ，称 x 为自变量，y 为函数（因变量），D 为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：2x1117答案： 3,4 。2

19、.xtan x_.limx3x 0考核知识点 : 洛必达法则求极限 ，参见 P90-95 附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果函数 f ( x) 和 g( x) 满足以下三个条件 :(1)lim( ) 0,lim()0;x x0f xx x0gx(2)f ( x) 和 g ( x)在点 x0的某去心邻域内可导 , 且 g ( x) 0 ;(3) lim f ( x) 存在 ( 或无穷大 ). x x0 g (x)则极限 limf ( x) 存在 ( 或无穷大 ), 且x x0 g ( x)这种求极限的方法称为洛必达法则. 法则中的xx0 改为 x后法则仍成立. 。答案：1。33. 设函

20、数f (x)arctanx2x3e ，则 f (x)= _.考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 P61-63附（考核知识点解释及答案）：若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g ( x) 在点x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .导数的四则运算法则：如果函数 uu( x) 及 vv( x) 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且（1）u( x)v(x

21、)'' ( x)v' (x) ；u（2）'u' ( x)v( x)u( x)v' ( x) ；u( x)v( x)（3） u(x)'u'(x)v( x) u( x)v' (x)(v(x) 0)v(x)v2 ( x)答案：2x3x2ex3。1x44. 设 y( x21)sin x,则 dy_.考核知识点 : 微分计算，参见 P74-79附 2.1.4（考核知识点解释及答案）：微分的定义：设函数 yf ( x) 在某区间内有定义 , x0 及 x0x 在这区间内 , 如果函数的增量y f ( x0x)f (x0 ) 可表示为其

22、中 A 是与 x 无关的常数 , 则称函数 y f (x) 在点 x0 可微 , 并且称 A x 为函数 y f ( x) 在点 x0 处相应于自变量改变量 x 的微分 , 记作 dy , 即函数可微的条件：函数 yf ( x) 在点 x0 可微的充分必要条件是函数yf (x) 在点 x0 可导，且当 yf (x) 在点 x0 可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商 . 因此，导数又称为“微商” . 微分公式基本初等函数微分公式上述“ 基本的微分公式 ”是各种微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。答案：(2x

23、 sin x(x21)conx)dx。5. 函数f ( x)( x21)31 的极值点为_.考核知识点 : 函数极值的计算，参见P96-101附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：确定极值点和极值的步骤(1) 求出函数的定义域和导数 f ( x)(2) 求出 f ( x) 的全部驻点和不可导点(3) 利用第一充分条件 , 根据 f ( x) 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点如函数存在二阶导数 , 也可根据第二充分条件判定;(4) 求出函数的极值计算过程如下：f ( x)6x( x21) 2 , 令 f ( x) 0 求得驻点 x11, x2 0,

24、 x31又f( )6(x21)(5x21), 所以 f (0) 6 0x因此 f ( x) 在 x0 处取得极小值 极小值为 f (0) 0因为 f (1)f (1)0 所以用定理 3 无法判别 而 f (x) 在 x1处的左右邻域内f( x) 0.所以 f (x) 在 x1处没有极值同理f (x) 在 x1 处也没有极值答案： x0 。6. 函数 ylg 1lg x 的定义域是 _.考核知识点 : 函数的概念，参见P1-6附（考核知识点解释及答案）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设 D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f ，使得对xD ，都有唯一的实数 y 与之对

25、应，就称f 确定了一个一元函数，通常记为数（因变量），D 为定义域，函数值的集合称为值域答案： (0,10) 。yf ( x) ，称 x 为自变量，y 为函17.lim(12x) x_.x0考核知识点 : 求极限，参见上册 P33-37附（考核知识点解释及答案）：两个重要极限如下 :lim sin xlim 1 1x1,e 。x 0xxx运用第二个重要极限计算该题。答案： e 2 。8. 设函数 f (ex )e2 xex 1，则 f (x)= _.考核知识点 : 复合函数微分法 ，参见 P61-63附（考核知识点解释及答案）：复合函数的求导法则若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而

26、yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 处可导 , 且其导数为或 dy dy dudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .基本初等函数的导数公式 C0(C 为常数）； ( xn ) (ex )ex ； (ln x)1 ；x (sin x) cos x ； (cos x) (a x)ax ln a ； (log a x)答案： 2xe 。nxn 1( nR 但不为零）；sin x ；1.x ln a9. 设 yln(1x2 ), 则 dy_.考核知识点 : 微分计算，参见P74-

27、79附（考核知识点解释及答案）：函数 yf ( x) 在点 x0 可微的充分必要条件是函数yf ( x) 在点 x0 可导，且当 yf ( x) 在点 x0 可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.答案：2xdx。1 x2210. 曲线 y xex1 的斜渐近线为 _.考核知识点 : 求渐近线，参见P109-111附（考核知识点解释及答案）： y f (x) 的斜渐近线的计算：如果limf ( x)k ，x xlim f ( x)kxb ，x则斜渐近线就是直线ykxb 。答案： yx3 。11. 函数 y1lg1x 的定义域是 _。x1x考核知识点 : 函数的概念，

28、参见 P1-6附 2.1.11（考核知识点解释及答案【解答过程】）：设 D 是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f ，使得对 xD ，都有唯一的实数 y 与之对应，就称 f 确定了一个一元函数，通常记为y f ( x) ，称 x为自变量， y 为函数（因变量），D 为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：x0 且 1x0 ， x11x答案： (1,0)(0,1)。12. lim tan x 3sin x_.x 0sinx考核知识点 : 洛必达法则求极限 ，参见 P90-95附（考核知识点解释及答案）：如

29、果函数 f ( x) 和 g( x) 满足以下三个条件 :(1)lim( )0 , lim() 0 ;x x0f xx x0g x(2)f ( x) 和 g ( x) 在点 x0 的某去心邻域内可导 , 且 g ( x) 0 ;(3) lim f ( x) 存在 ( 或无穷大 ). x x0 g (x)则极限 limf ( x) 存在 ( 或无穷大 ), 且x x0 g ( x)这种求极限的方法称为洛必达法则. 法则中的 xx0 改为 x后法则仍成立 .答案： 1。213. 设 y(x23)3，则 dy_.考核知识点 : 微分计算，参见P74-79附（考核知识点解释及答案）：函数 yf ( x

30、) 在点 x0 可微的充分必要条件是函数yf ( x) 在点 x0 可导，且当 yf ( x) 在点x0 可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.答案： 6x( x23)2 dx 。14. 设y2在点取得极小值，则a_.2 x ax3x=1考核知识点 : 极值的确定，参见下册P98-101附（考核知识点解释及答案）：确定极值点(1) 求出函数的定义域和导数 f ( x)(2) 求出 f ( x) 的驻点和不可导点(3) 令 f (x) 0。如函数存在二阶导数 , 可根据第二充分条件判定。答案： 4。15. 曲线 yx33x24x 的拐点坐标为 _.考核知识点 : 求

31、拐点，参见 P108-109附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果 f ( x) 的二阶导数f ( x) 在 x0 的左右两侧变号，则(x0 , f ( x0 )就是拐点。计算过程如下：答案： (1,2) 。（二）、计算题1cos1. 求 y e x 的导数 .考核知识点 : 导数计算，参见P56-63附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：复合函数的求导法则 :若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g ( x) 在点x 处可导 , 且其导数为或 dy dy du dx du dx复合函数的求导法则可叙述为：复合

32、函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .复合函数求导既是重点又是难点 . 在求复合函数的导数时 , 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里 , 逐层推进求导，不要遗漏 , 也不要重复 . 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量 ( 不管是自变量还是中间变量 ) 的导数 . 在开始时可以先设中间变量 , 一步一步去做 . 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则。基本的求导公式基本初等函数求导公式上述“基本的求导公式”是各种导数与

33、微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。参考答案：2. 求由方程 xyexey0 确定的隐函数yy( x) 的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见P69-71附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导数：假设由方程 F (x, y)0 所确定的函数为yy( x) ，则把它代回方程F ( x, y)0 中，得到恒等式利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dy ，这就dx是隐函数求导法 .导数的四则运算法则：如果函数 uu(x) 及 v v(x) 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分

34、母为零的点外）都在点 x 具有导数，且（1） u( x)v(x)'' (x) ；u' ( x) v'u' ( x)v( x)u( x)v' ( x) ；（2） u( x)v( x)'(x)v( x) u( x)v' (x) (v(x) 0)（3） u(x)u'v(x)v2 ( x)参考答案：对原方程 , 两边关于 x 求导 , 其中 y=y(x), 有xeyyy。3. 求 y (ln x) x 的导数 .考核知识点 : 导数计算，参见P56-63附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：对数求导法：形如 yu (x) v(

35、x) 的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量 x 求导，最后解出所求导数 . 我们把这种方法称为对数求导法 .基本初等函数的导数公式 C0(C 为常数）； ( xn ) (ex )ex ； (ln x)1 ；x (sin x) cos x ； (cos x) (a x)ax ln a ； (log a x)参考答案：nxn 1( nR 但不为零）；sin x ；1.x ln a4. 求由方程 x y yx 确定的隐函数 y y(x) 的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见P69-71附（考核知识

36、点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导数：假设由方程 F (x, y)0 所确定的函数为yy( x) ，则把它代回方程F ( x, y)0 中，得到恒等式利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dy ，这就dx是隐函数求导法 .对数求导法：形如 yu (x) v( x) 的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量 x 求导，最后解出所求导数 . 我们把这种方法称为对数求导法 .参考答案：原方程化为 ey ln xexln y , 两边对 x 求导 , 其中 y=y(x),

37、有5. 求 yarctan(sin x2ecos x ) 的导数。考核知识点 : 复合函数的求导 ，参见 P56-63附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：复合函数的求导法则：若函数 ug (x) 在点 x 处可导 , 而 yf (u ) 在点 ug (x) 处可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 处可导 , 且其导数为或 dy dy du dx du dx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .参考答案：6. 求由方程 xyex y 确定的隐函数 yy( x) 的导数。考核知识点 : 隐函数求导，参见P69-71附（考核

38、知识点解释及答案【解答过程】）：隐函数的导数：假设由方程 F (x, y)0 所确定的函数为yy( x) ，则把它代回方程F ( x, y)0 中，得到恒等式利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dy ，这就dx是隐函数求导法 .参考答案：27. 求 f ( x)( 2x1)( x2) 3 的极值。考核知识点 : 求极值，参见 P96-101附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：确定极值点和极值的步骤(1) 求出函数的定义域和导数 f ( x)(2) 求出 f ( x) 的全部驻点和不可导点(3) 利用第一充分条件 , 根据 f ( x) 的符号在每个驻点和不可

39、导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点如函数存在二阶导数 , 也可根据第二充分条件判定;(4) 求出函数的极值参考答案：由 f ( x)10( x1)0 得到 x1为驻点；33 x2又 f ( x)102x5 ，所以 f(1)10310093 ( x2)4913所以 f ( x) 在 x 1处取得极大值，且极大值为的充分小邻域内 , 当 x 2 时， f ( x) 0 ；当知 f ( x) 在 x 2 处取得极小值，且极小值为在 x=2 处取得极小值 0。f (1)3 。又 f ( x) 在 x 2 处不可导，在 x2x 2时， f ( x) 0 ，由极值的第一充分条件f （

40、2）=0，所以 f （x）在 x=1 处取得极大值3，不存在极大值极小值8. 设函数 f (x)x21ax ，其中 a>0，求 f(x)的单调区间 。考核知识点 : 函数单调性判定 ，参见 P96-98附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数单调性判定定理设函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间( a, b) 内可导，则（ 1） 如果在 (a, b) 内 f ( x)0 ，则 f (x) 在 a, b 上单调增加 .（ 2） 如果在 (a, b) 内 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 a, b 上单调减少 .若将定理的条件换成开区间或无穷区间 , 判定定理的结

41、论仍然成立 . 若函数 f ( x) 在区间 I 上可导，且使 f ( x) 0 的点 x 仅有有限个，则f (x) 在区间 I 上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切 xI 有 f ( x)( )0.利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些 .参考答案： 当 a1 时，有x1a ，此时 f / (x)<0 ，x21函数 f(x)在区间 (,) 上是单调递减函数。 当 0<a<1 时，解不等式 f / (x)<

42、;0 得 xa，1a2f(x) 在区间 (,a 上是单调递减函数。1a2解不等式 f / (x)>0得 xaa2，1f(x) 在区间 a,) 上是单调递增函数。1a2.9. 求函数 f(x)= 3 (x 2 -2x) 2 ,(0x3)的最大值和最小值。考核知识点 : 求函数的 最大最小值 ，参见 P102-105附（考核知识点解释及答案【解答过程】）：求函数 f(x) (axb) 的最大最小值的步骤：（1）求函数的所有驻点，不可导点；（2）比较 f(a),f(b)和驻点的函数值以及不可导点的函数值，取其中的 最大值和最小值即可 .参考答案：10. 求函数 f ( x)3x 的间断点，指出间断点的类型；ln( x