2022年1992考研数学三真题和详解

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 ,每小题 3 分, 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为1005qp, 其中,q p分别表示为需求量和价格, 如果商品需求弹性的绝对值大于1, 则商品价格的取值范围是_. (2) 级数21(2)4nnnxn的收敛域为 _. (3) 交换积分次序2120( , )yydyf x y dx_. (4) 设a为m阶方阵 ,b为n阶方阵 , 且0,0aaa bb cb, 则c_. (5) 将, ,c c e e i n s等七个字母随机地排成一行, 那么 , 恰好排成英文单词scienc

2、e的概率为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题3 分, 满分 15 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设2( )( )xaxf xf t dtxa, 其中( )f x为连续函数 , 则lim( )xaf x等于 ( ) (a) 2a (b) 2( )a f a(c) 0 (d) 不存在(2) 当0 x时, 下面四个无穷小量中, 哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (a) 2x (b) 1 cosx(c) 211x (d) tanxx(3) 设a为mn矩阵 , 齐次线性方程组0ax仅有零解的充分条件是

3、 ( ) (a) a的列向量线性无关 (b) a的列向量线性相关(c) a的行向量线性无关 (d) a的行向量线性相关(4) 设当事件a与b同时发生时 , 事件c必发生 , 则 ( ) (a) ()( )()1p cp ap b (b) ()()( )1p cp ap b(c) ()()p cp ab (d) ()()p cp ab(5) 设n个随机变量12,nxxx独立同分布 ,2111(),niid xxxn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

4、- - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -2211()1niisxxn, 则 ( ) (a) s是的无偏估计量 (b) s是的最大似然估计量(c) s是的相合估计量 ( 即一致估计量) (d) s与x相互独立三、 ( 本题满分5 分)设函数ln cos(1),1,1sin( )21,1.xxxf xx问函数( )f x在1x处是否连续?若不连续 , 修改函数在1x处的定义使之连续. 四、 ( 本题满分5 分)计算arccot.xxeidxe五、 ( 本题满分5 分)设sin()( ,)xzxyxy, 求2zx y, 其中(

5、, )u v有二阶偏导数. 六、 ( 本题满分5 分) 求连续函数( )f x, 使它满足20( )2( )xf xf t dtx. 七、 ( 本题满分6 分) 求证 :当1x时,212arctanarccos214xxx. 八、 ( 本题满分9 分) 设曲线方程(0)xyex. (1) 把曲线xye,x轴 ,y轴和直线(0)x所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体 , 求此旋转体体积( )v; 求满足1( )lim( )2v av的a. (2) 在此曲线上找一点, 使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大, 并求出该面积 . 九、 ( 本题满分7 分)精品学习资料 可选择p d f

6、 - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -设矩阵a与b相似 , 其中20010022 ,02031100axby. (1) 求x和y的值 . (2) 求可逆矩阵p, 使得1p apb. 十、 ( 本题满分6 分)已知三阶矩阵0b,且b的每一个列向量都是以下方程组的解: 123123123220,20,30.xxxxxxxxx(1) 求的值 ; (2) 证明0b. 十一、 (

7、 本题满分6 分) 设ab、分别为mn、阶正定矩阵 , 试判定分块矩阵00acb是否是正定矩阵. 十二、 ( 本题满分7 分) 假设测量的随机误差2(0,10 )xn, 试求 100次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率, 并利用泊松分布求出的近似值 ( 要求小数点后取两位有效数字). 附表 1 2 3 4 5 6 7 e0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、 ( 本题满分5 分) 一台设备由三大部分构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30. 假设各部件的状态相互独立, 以x表示同

8、时需要调整的部件数, 试求x的数学期望ex和方差dx. 十四、 ( 本题满分4 分) 设二维随机变量(,)x y的概率密度为,0,( , )0,yexyf x y其他,(1)求随机变量x的密度( )xfx; (2) 求概率1p xy. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (

9、本题共 5 小题 ,每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】(10,20【解析】根据()10050q pp, 得价格20p, 又由1005qp得()5qp, 按照经济学需求弹性的定义, 有()5()1005qpppq pp, 令55110051005pppp, 解得10p. 所以商品价格的取值范围是(10,20. (2) 【答案】(0,4)【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数, 故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当20 x即2x时级数收敛 . 当2x时,后项比前项取绝对值求极限有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页

10、，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -2(1)2212(2)4(2)(2)limlim,(1)4(2)414nnnnnnxnxnxnxn当2(2)14x, 即当02202xx或24x时级数绝对收敛. 又当0 x和4x时得正项级数11nn, 由p级数：11pnn当1p时收敛； 当1p时发散 . 所以正项级数11nn是发散的 . 综合可得级数的收敛域是(0, 4). 注： 本题也可作换元2(2)xt后, 按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数

11、14nnntn的收敛性 . 【相关知识点】 收敛半径的求法：如果1nlimnnaa, 其中1,nnaa是幂级数0nnna x的相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1, 0,0,0, .r(3) 【答案】221220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy【解析】这是一个二重积分的累次积分, 改换积分次序时, 先表成：原式( , ).df x y dxdy由累次积分的内外层积分限确定积分区域d：2( , ) 01,2dx yyyxy, 即d中最低点的纵坐标0y, 最高点的纵坐标1y,d的左边界的方程是xy, 即2yx的右支 ,d的右边界的方程是22xy即222x

12、y的右半圆 , 从而画出d的图形如图中的阴影部分,从图形可见12ddd, 且xyd12o精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -2122( , ) 01,0,( , )12,02.dx yxyxdx yxyx所以2221212200010( , )( , )( , ).yxxydyf x y dxdxf x y dydxf x y dy(4)

13、 【答案】( 1)mnab【解析】由拉普拉斯展开式, 0( 1)( 1)0mnmnaca babb. 【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设a是m阶矩阵 ,b是n阶矩阵 , 则*,*aoaabbob*1*mnoaaabbbo. (5) 【答案】11260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为( )p a, 易见 , 这是一个古典型概率的计算问题, 将给出的七个字母任意排成一行 , 其全部的等可能排法为7! 种, 即基本事件总数为7!n, 而有利于事件a的样本点数为2! 2!, 即有利事件的基本事件数为4, 根据古典概型公式2! 2!1()7!1260p a.

14、 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】 (b) 【解析】 方法1:lim( )xaf x为“00”型的极限未定式, 又分子分母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则. 22( )lim( )lim( )limxxaaxaxaxaf t dtxf xf t dtaxaxa22( )lim( )1xaa fxa f a. 故应选 (b). 方法 2: 特殊值法 . 取( )2f x, 则22lim( )lim22xaxaxaxf xdtaxa. 显然 (a),(c),(d)均不正确 , 故选 (b). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式

15、：若( )( )( )( )ttf tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 则( )( )( )( )( )f ttfttft. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -(2) 【答案】 (d) 【解析】由于0 x时 ,222111cos, 1122xxxx, 故22,1cos , 11xxx是同阶无穷小 , 可见应选 (d).

16、 (3) 【答案】 (a) 【解析】齐次方程组0ax只有零解()r an. 由于()r aa的行秩a的列秩 , 现a是mn矩阵 ,()r an, 即a的列向量线性无关. 故应选 (a). 【相关知识点】对齐次线性方程组0ax, 有定理如下 : 对矩阵a按列分块 , 有12na, 则0ax的向量形式为11220nnxxx.那么 , 0ax有非零解12n,线性相关12nr,nr an.(4) 【答案】 (b) 【解析】依题意：由“当事件a与b同时发生时 , 事件c必发生”得出abc, 故()()p abp c；由概率的广义加法公式()()()()p abp ap bp ab推出()()( )()p

17、 abp ap bp ab；又由概率的性质()1p ab, 我们得出()()()( )()( )()1p cp abp ap bp abp ap b, 因此应选 (b). (5) 【答案】 (c) 【解析】根据简单随机样本的性质, 可以将12,nxxx视为取自方差为2的某总体x的简单随机样本,x与2s是样本均值与样本方差. 由于样本方差2s是总体方差的无偏估计量, 因此22,eses, 否则若es,则22()es,22()0dseses. 故不能选 (a). 对于正态总体, s与x相互独立 , 由于总体x的分布未知, 不能选 (d). 同样因总体分布未知 , 也不能选 (b). 综上分析 ,

18、应选 (c). 进一步分析 , 由于样本方差2s是2的一致估计量,其连续函数2ss一定也是的一致估计量. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -三、 ( 本题满分5 分)【解析】函数( )f x在0 xx处连续 , 则要求00lim( )()xxf xf x. 方法 1: 利用洛必达法则求极限1lim( )xf x, 因为1lim( )xf

19、 x为“00”型的极限未定式, 又分子分母在点0处导数都存在 , 所以连续应用两次洛必达法则, 有1111sin(1)ln cos(1)2tan(1)cos(1)lim( )limlimlim1sincoscos2222xxxxxxxxf xxxx221124cos (1)lim( sin)22xxx. 而(1)1f, 故1lim( )1xf x, 所以( )fx在1x处不连续 . 若令24(1)f, 则函数( )f x在1x处连续 . 方法 2: 利用变量代换与等价无穷小代换,0 x时,21cos12xx；ln(1)xx. 求极限1lim( )xf x, 令1xt, 则有1100ln cos

20、(1)ln cosln1(cos1)lim( )limlimlim1sin1cos1cos222xxttxttf xxtt222200221cos142limlim1248tttttt. 以下同方法1. 四、 ( 本题满分5 分)【解析】用分部积分法: 2arccotarccot1xxxxxxxeie deeeedxe22arccot(1)1xxxxeeedxe21arccotln(1)2xxxeexec, 其中c为任意常数 . 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题, 如果选择不当可能引起更繁杂的计算, 最后甚至算不出结果来. 在做题的时候应该好好总结, 积累经验 . 【相关知识点

21、】分部积分公式：假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数, 则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -,uvdxuvu vdx或者.udvuvvdu五、 ( 本题满分5 分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数, 重要的是要分清函数是如何复合的 . 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关, 所以本题可以先求zx,

22、 再求()zyx. 由复合函数求导法,首先求xz, 由题设121cos()xzyxyy, 再对y求偏导数 , 即得122211cos()sin()()()xyyyzxyxyxyyy12222211cos()sin()yyxxxyxyxyyyyy122222321cos()sin()xxxyxyxyyyy. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux yvx y都在点( , )x y具有对x及对y的偏导数 , 函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数, 则复合函数( ( , ),( , )zfx yx y在点( ,)x y的两个偏导数存在, 且

23、有12zz uzvuvffxuxvxxx；12zzuzvuvffyuyvyyy. 六、 ( 本题满分5 分) 【解析】两端对x求导 , 得( )2 ( )2fxf xx. 记( )2,( )2p xq xx, 有通解( )()2221( )( )( 2)2p x dxp x dxxxxf xeq x edxcexe dxccex, 其中c为任意常数 . 由原方程易见(0)0f, 代入求得参数12c. 从而所求函数211( )22xf xex. 【相关知识点】一阶线性非齐次方程( )( )yp x yq x的通解为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

24、 - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc, 其中c为任意常数 . 七、 ( 本题满分6 分) 【解析】 方法 1：令212( )arctanarccos214xf xxx, 则22222212(1)(1)( )0(1)12 (1)(1)xxfxxxxx. 因为( )f x在1,)连续 , 所以( )f x在1,)上为常数 , 因为常数的导数恒为0. 故( )(1

25、)0f xf, 即212arctanarccos214xxx. 方法 2：令212( )arctanarccos214xf xxx, 则( )f x在1, x上连续 , 在(1, )x内可导 ,由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点(1, )x, 使得( )(1)( )(1).f xffx由复合函数求导法则, 得22222212(1)(1)( )0(1)12 (1)(1)xxfxxxxx, 所以( )(1)f xf. 由(1)0f可得 , 当1x时,212arctanarccos214xxx. 【相关知识点】复合函数求导法则: 如果( )ug x在点x可导 , 而( )yf x在点( )ug x

26、可导 , 则复合函数( )yfg x在点x可导 , 且其导数为( )( )dyfug xdx或dydy dudxdu dx. 八、 ( 本题满分9 分) 【解析】对于问题(1), 先利用定积分求旋转体的公式求( )v, 并求出极限lim( )v. 问题(2) 是导数在求最值中的应用, 首先建立目标函数, 即面积函数 , 然后求最大值. (1) 将曲线表成y是x的函数 ,套用旋转体体积公式222200( )(1),( )(1),22xavy dxedxev ae2lim( )lim(1)22ve. 由题设知2(1)24ae, 得1ln 22a. (2) 过曲线上已知点00(,)xy的切线方程为0

27、0()yyk xx, 其中当0()y x存在时 , 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -0()ky x. 设切点为( ,)aa e, 则切线方程为()aayeexa. 令0 x, 得(1)ayea, 令0y, 得1xa. 由三角形面积计算公式, 有切线与两个坐标轴夹的面积为21(1)2asa e. 因2211(1)(1)(1),22a

28、aasa eaea e令0,s得121,1aa( 舍去 ). 由于当1a时,0s； 当1a时 ,0s. 故当1a时, 面积s有极大值 , 此问题中即为最大值 . 故所求切点是1(1,)e, 最大面积为2111222see. 【相关知识点】由连续曲线( )yfx、直线,xa xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：2( )bavfx dx. 九、 ( 本题满分7 分)【解析】因为ab, 故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值 . 若1p ap, 则是a的特征向量 . 求可逆矩阵p就是求a的特征向量 . (1) 因为ab, 故其特征多项式相同, 即,eaeb即2(2

29、)(1)(2)(1)(2)()xxy. 由于是的多项式 , 由的任意性 , 令0, 得2(2)2xy. 令1, 得3 ( 2)2(1)y. 由上两式解出2y与0 x. (2)由(1) 知200100202020311002. 因为b恰好是对角阵 , 所以马上可得出矩阵a的特征值 , 矩阵a的特征值是1231,2,2. 当11时, 由()0ea x,100100212012312000, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

30、- - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -得到属于特征值1的特征向量1(0, 2,1)t. 当22时, 由(2)0ea x,400100222011311000, 得到属于特征值2的特征向量2(0,1,1)t. 当32时, 由( 2)0ea x,000111222010313000. 得到属于特征值2的特征向量3(1,0, 1)t. 那么令123001(,)210111p, 有1p apb. 十、 ( 本题满分6 分)【解析】 对于条件0ab应当有两个思路：一是b的列向量是齐次方程组0ax的解； 另一个是秩的信息即()( )r ar bn.要有这

31、两种思考问题的意识. (1) 方法 1： 令12221311a, 对 3 阶矩阵a, 由0ab,0b知必有0a, 否则a可逆 , 从而11()00baaba, 这与0b矛盾 . 故122210311a, 用行列式的等价变换, 将第三列加到第二列上, 再按第二列展开, 有102215(1)0301a. 解出1. 方法 2：因为0b, 故b中至少有一个非零列向量. 依题意 , 所给齐次方程组0ax有非零解, 得系数矩阵的列向量组线性相关, 于是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学

32、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -122210311a, 以下同方法一 . (2) 反证法：对于0ab, 若0b, 则b可逆 , 那么1100aab bb. 与已知条件0a矛盾 . 故假设不成立 ,0b. 【相关知识点】对齐次线性方程组0ax, 有定理如下 : 对矩阵a按列分块 , 有12na, 则0ax的向量形式为11220nnxxx.那么 , 0ax有非零解12n,线性相关12nr,nr an.对矩阵b按列分块 , 记123(,)b, 那么123123(,)(,)(0,0,0)ab

33、aaaa. 因而0ia(1,2,3)i,即i是0ax的解 . 十一、 ( 本题满分6 分) 【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法 1： 定义法 . 因为ab、均为正定矩阵 , 由正定矩阵的性质, 故,ttaa bb,那么000000ttttaaaccbbb, 即c是对称矩阵 . 设mn维列向量(,)tttzxy, 其中1212(,),(,)ttmnxx xxyyyy, 若0z, 则,x y不同时为0, 不妨设0x, 因为a是正定矩阵 , 所以0txax. 又因为b是正定矩阵 ,故对任意的n维向量y, 恒有0ty ay. 于是0(,)00tttttaxz czx

34、yx axy ayby, 即tz cz是正定二次型 , 因此c是正定矩阵 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -方法 2： 用正定的充分必要条件是特征值大于0, 这是证明正定时很常用的一种方法. 因为ab、均为正定矩阵 , 由正定矩阵的性质, 故,ttaa bb, 那么000000ttttaaaccbbb, 即c是对称矩阵 . 设a

35、的特征值是12,mb的特征值是12,.n由,a b均正定 , 知0,0ij(1,2,1,2, )im jn. 因为00mmnneaeceaebeb11,mm于是 , 矩阵c的特征值为12,m12,.n因为c的特征值全大于0, 所以矩阵c正定 . 十二、 ( 本题满分7 分) 【解析】设事件a“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6 ”, 因为2(0,10 )xn, 即220,10exdx. 根据正态分布的性质则有：19.6( )19.6xpp apxp|0 |19.60|1.96101010xxpp11.961.961(1.96)( 1.96)10xp1 (1.96)(1(1.96)22(1.

36、96)2(1(1.96)0.05. 设y为 100 次独立重复测量中事件a 出现的次数 , 则y服从参数为100,0.05np的二项分布. 根据二项分布的定义,(1)(0,1,2)kknknp ykc ppk, 则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率为：3131012p yp yp yp yp y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - -

37、 - -0010011100 122100 210010010010.05 (10.05)0.05 (10.05)0.05 (10.05)ccc10099982100 9910.95100 0.950.050.950.052. 根据泊松定理,对于成功率为p的n重伯努利试验 , 只要独立重复试验的次数n充分大 ,而p相当小 ( 一般要求100,0.1np), 则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布, 具体应用模式为若( ,)yb n p, 则当n充分大 ,p相当小时当y近似服从参数为np的泊松分布 , 即()(1)(0,1,2)!kkkn knpnnpp ykc ppekk. 设y为 10

38、0 次独立重复测量中事件a出现的次数 , 则y服从参数为100,0.05np的二项分布 .故313101 2p yp yp yp yp y0122()( )()110!1!2!2eeeeee2551(15)0.872e. 十三、 ( 本题满分5 分) 【解析】令随机变量1,0,iixi第 个部件需调整第 个部件不需调整，1,2,3i. 依题意123,xxx相互独立 , 且123,xxx分别服从参数为0.1,0.2,0.3的0 1分布 ,即1x0 1 p0.9 0.1 2x0 1 p0.8 0.2 3x0 1 p0.7 0.3 由题意知123xxxx, 显然x的所有可能取值为0,1,2,3,又123,xxx相互独立 , 所以(1) 123123000,0,0p xp xxxp xxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - -1230 000.90.80.70.504p xp xp x, 1231231231231231231211 1,0,00,1,00,0,1