浅谈高等数学中的哲学思想

1、浅谈高等数学中的哲学思想【摘要】哲学是一切科学的基础，是对具体科学的概括、总结，并指导各门学科；数学在自然科学中的作用，就如同哲学在整个科学体系中的作用一样 研究整个世 界，得出普遍规律；数学是总结自然界普遍存在的空间形式 和数量关系，从而指导自然科学的发展，从高等数学理论的 形成与发展进程中，高等数学里蕴含着许多哲学思想：量变 与质变、微分与积分、有限与无限、离散与连续、直线与曲 线、特殊与一般等，它们既对立又统一，其内在的哲学思想 是人类心灵的智慧结晶，给人类解决实际问题提供正确的方 法论，对人类的思维发展又提供更大的启迪作用。【关键词】髙等数学 哲学思想 对立统一思想 辩证思一、量变到质

2、变在进行高等数学的很多相关运算的过程中，实际上实现 了事物从一个数量层次到另一个数量层次的质变，这种质变 是经历了一个无限的量变过程才发生的；很多不可求的量， 比如面积、体积、变力做的功、变速直线运动的位移、物体 在变化压强作用下所受的压力，都可以转化为一些微元的无 限累积和，这都体现了哲学中的量变引起质变的思想；在现 实生活中，由于人的能力的局限，我们对事物的研究不可能穷其所有，亦不可能面面俱到，我们所看到、听到的仅仅是 事物的一部分，我们可以将对一个事物局部的个别的认识上 升为对整体的具体一般规律性的认识，哲学上的方法叫“归 纳”，与微分相对应，数学上叫积分。由此相应地我们就可 以“由点到

3、线”、“由线到面”、“由面到体”，由此 从量变引起质变；哲学与数学相互促进相互照应，哲学对于 高数的学习有指导作用，通过高数学的学习，也体现了的哲 学思想在高数中的实际应用。二、微分与积分在高等数学中，我们知道微分是对象按某种方式分解为微观组成单位,直至无穷小;积分是微观单位、以至于无穷小的单位按照某种方式组合成一个宏观对象。当牛顿、莱布 尼茨证明了微积分的基本定理时，同时也指出了微分与积分 互为逆运算，是一对矛盾概念，既对立又统一。很多在大区 间不可求的量，把大区间分割成无穷多个“小”区间，先求 这个量的微元，然后求微元的累积和，即积分，便得到在大 区间上的这个量的宏观值，这就是高等数学中的

4、“微元法” 思想，它充分体现了微分与积分思想在同一问题中的综合应 用；微积分基本定理构成了微积分研究内容的最重要部分， 在微分与积分是高等数学课程主要矛盾的观点下，求微分或 积分的问题不再对一个个问题来处理，而是有了统一的方 法；微分中的一条定理，积分中也应有相应的定理，反之亦 然，两者之间相互对应，又统一，是一个事物的两个方面。三、有限与无限高等数学中的有限与无限也是对立的统一，高等数学 中通过有限认识无限；反过来，也通过无限来确定有限。高 等数学的理论基础是极限理论，运用极限理论，高等数学 中许多量实现了有限与无限的转化。极限是讨论处于无限变 化过程中变量的变化趋势的，极限概念是有限与无限

5、的对立 统一。无限是有限的发展，无限个数目的和不是一般的代数 和，把它定义为”部分和"的极限，我们只有借助极限，才 能够认识无限。无限可分概念仅存在于人类的思维之中，在 现实世界是不可能存在的，人们只能通过运用日常生活的有 限来认识自然万物，任何超越有限而抽象地谈无限是没有任 何意义的，正如爱因斯坦曾说过：”抽掉任何物理内容的空 间概念是不存在的。高等数学中几乎所有的无限的量都可以通过有限的量 得到；通过有限个矩形面积的和，去认识整个曲边梯形面积 等有限蕴含无限的哲学思想都随处可见。反之，一些有限的 量也可以通过无限的量得到，有限与无限这对矛盾，在高等 数学中贯穿始终，既对立，又统一

6、。四、高等数学中的辩证思想高等数学中微积分的创立标志着数学由”常量数学” 时代进入到”变量数学”时代，这种转变具有重大的哲学意 义。变量数学中的一些基本概念如变量、函数、极限、微分、 积分、微分法和积分法等从本质上看是辩证法思想在数学中 的运用。正如恩格斯所指出的：”数学中的转折点是笛卡儿 的变数。”有了变数，运动思想进入了数学，有了变数，辩 证法思想进入了数学，有了变数，微分和积分的思想也就顺 理而成了。辩证法思想在微积分中体现了曲线形和直线形、 无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一。 它使得过程与状态，阶段与瞬间；局部与整体，微观与宏观 之联系更加明确；使我们既可以居高临下，既从整体角度考 虑问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题。再如，近 似和精确是既对立又统一，二者在一定条件下可以相互转 化，这就是微积分中通过求极限而获得精确值的重要方法。 魏晋南北朝时期，我国数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的 周长、面积以及圆周率的基础。其方法是”割之