2022年1997考研数学三真题和详解

1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 分, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案在题中横线上.) (1) 设( )(ln )f xyfx e, 其中f可微 , 则dy_. (2) 若12201( )1( )1f xxf x dxx, 则10( )f x dx_. (3) 差分方程12tttyyt的通解为 _. (4) 若二次型2221231231223(,)22f x xxxxxx xtx x是正定的 , 则t的取值范围是_. (5) 设随机变量x和y相互独立且都服从正态分布2(0,3 )n, 而19,xx和19,yy分别是来自总体xy和的简单随机样本

2、, 则统计量192219xxuyy服从 _分布 (2 分), 参数为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561 cos20( )sin,( )56xxxf xt dt g x, 则当0 x时 ,( )f x是( )g x的 ( ) (a) 低阶无穷小 (b) 高阶无穷小(c) 等价无穷小 (d) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()( )()fxf xx, 在(,0)内( )0fx, 且( )0fx, 则在(0,)内有 ( ) (a) ( )0fx,( )0

3、fx (b) ( )0fx,( )0fx(c) ( )0fx,( )0fx (d) ( )0fx,( )0fx(3) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组中, 线性无关的是 ( ) (a) 12,23,31(b) 12,23,1232(c) 122,2323,313(d) 123,1232322,123355精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - -

4、- - - -(4) 设,a b为同阶可逆矩阵, 则 ( ) (a) abba (b) 存在可逆矩阵p, 使1papb(c) 存在可逆矩阵c, 使tc acb (d) 存在可逆矩阵p和q, 使paqb(5) 设两个随机变量x与y相互独立且同分布：111,2p xp y1p x112p y, 则下列各式中成立的是 ( ) (a) 12p xy (b) 1p xy(c) 104p xy (d) 114p xy三、 ( 本题满分6 分) 在经济学中 , 称函数1( )(1)xxxq xakl为固定替代弹性生产函数, 而称函数1qak l为 cobb-douglas 生产函数 ( 简称 cd生产函数

5、). 试证明：但0 x时,固定替代弹性生产函数变为cd生产函数 , 即有0lim( )xq xq. 四、 ( 本题满分5 分) 设( , , )ufx y z有 连 续 偏 导 数 ,( )yy x和( )zz x分 别 由 方 程0 xyey和0 xexz所确定 , 求dudx. 五、 ( 本题满分6 分) 一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px( 万元 / 吨),x为销售量 ( 单位：吨 ),商品的成本函数31cx( 万元 ). (1) 若每销售一吨商品, 政府要征税t( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量；(2) t为何值时 , 政府税收总额最大. 六、 ( 本题满分6 分)

6、 设函数( )f x在0,)上连续、单调不减且(0)0f, 试证函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - -01( ),0,( )0,0,xnt f t dtxf xxx若若在0,)上连续且单调不减( 其中0n). 七、 ( 本题满分6 分) 从点1(1,0)p作x轴的垂线 , 交抛物线2yx于点1(1,1)q；再从1q作这条抛物线的切线与x

7、轴交于2p, 然后又从2p作x轴的垂线 , 交抛物线于点2q, 依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;,;nnp q p qp q. (1) 求nop；(2) 求级数1122nnq pq pq p的和 . 其中(1)n n为自然数 , 而12m m表示点1m与2m之间的距离 . 八、 ( 本题满分6 分) 设函数f t在0,)上连续 , 且满足方程222242241( )()2txytf tefxydxdy, 求( )f t. 九、 ( 本题满分6 分) 设a为n阶非奇异矩阵,为n维列向量 ,b为常数 . 记分块矩阵0,tteapqaab，其中a是矩阵a的伴随矩阵 ,e为n阶单位矩阵

8、. (1) 计算并化简pq；(2) 证明：矩阵q可逆的充分必要条件是1tab. 十、 ( 本题满分10 分) 设三阶实对称矩阵a的特征值是1,2,3 ；矩阵a的属于特征值1,2的特征向量分别是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - -12( 1, 1,1) ,(1 , 2, 1)tt. (1) 求a的属于特征值3 的特征向量；(2) 求矩阵a.

9、 十一、 ( 本题满分7 分) 假设随机变量x的绝对值不大于1；111,184p xp x；在事件11 x出现的条件下,x在( 1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 .试求x的分布函数( )f xp xx. 十二、 ( 本题满分6 分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5 分钟、 25 分钟和 55 分钟从底层起行 . 假设一游客在早晨八点的第x分钟到达底层候梯处, 且x在0,60上均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望. 十三、 ( 本题满分6 分) 两台同样自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5 的指数分布；首先开动其中一台 , 当其发生故

10、障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间t的概率密度( )f t、数学期望和方差. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - -1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题共 5 分, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案在题中横线上.) (1) 【答案】()1lnlnfxefxfxfxdxx

11、【解析】题目考察复合函数的微分法, 利用链式法则计算如下：由( )(ln )fxyfx e可知( )( )( )1lnln1lnln.fxfxf xdyfx edxfx efx dxxefxfxfxdxx(2) 【答案】4【分析】本题中10( )f x dx是个常数 , 只要定出这个数问题就解决了. 【解析】令10( )f x dxa, 则221( )11fxaxx, 两边从 0 到 1 作定积分得11220011dxaax dxx10arctan444xaa, 解得4a. 【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分1201x dx表示单位圆在第一象限部分的面积, 可直接根据几何

12、意义求得. 考生务必注意这种技巧的应用. (3) 【答案】(2)2ttyct【解析】对应的齐次差分方程是10ttyy, 显然有不恒等于零的特解1ty. 因方程的右端函数( )2tf tt, 可设非齐次差分方程的特解有形式()2tyatb, 代入方程得(2)22 ,0,1,2,.ttatabtt由于20t, 于是2,0,1,2,.atabtt可确定1,2ab, 即非齐次差分方程有一个特解是(2)2tyt. 从而 , 差分方程的通解是(2)2ttyct. (4) 【答案 】22t精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - -

13、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - -【解析】二次型123(,)f x xx对应的矩阵为210112012tat. 因为f正定a的顺序主子式全大于零. 又2123211211112,at, 故f正定21102t, 即22t. (5) 【答案】t分布 , 参数为 9 【解析】由19,xx是来自总体x的简单随机样本, 故19,xx独立 , 且都服从正态分布2(0,3 )n. 类似有19,yy相互独立 , 且都服从正态分布2(0,3 )n. 又因服从正态分布的独立

14、随机变量的线性组合也服从正态分布, 即219( ,)xxxn. 其中19()()e xe xx,219()()d xd xx. 由期望的性质 ,19129()()0e xe xxexexex；由独立随机变量方差的性质,21919()()81d xd xxdxdx, 故2(0,9 )xn. 因219,(0,3 )yyn, 故0(0,1),(1,2,9)3iyni, 所以 , 2921(9)3iiyy. 由t分布的定义 ,现已有2(0,9 )xn, 将其标准化得0(0,1)9xn, 故09 (9)9xty. 化简有 (9)9xty, 即191922221919 (9)19()9xxxxtyyyy.

15、 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - -【相关知识点】1. 数学期望的性质：()()( )e axbycae xbe yc, 其中, ,a b c为常数 . 2. 方差的性质：x与y相互独立时 ,22()()( )d axbyca d xb d y, 其中, ,a b c为常数. 3.2分布的定义：若1,nzz相互独立 , 且都服从标准正态

16、分布(0,1)n, 则22(1)iz,221( )niizn. 4. 若2( ,)zn u, 则(0,1)zun. 5.t分布的定义：若(0,1)xn,2( )yn,x y独立 , 则 ( )xtt nyn. 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 【答案】 (b) 【分析】只要求出极限0( )lim( )xf xg x就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系, 得1 cos2205640005244000sin( )(sin )sin

17、(1cos )limlimlim( )(1)5611(1cos )4limlimlim0,1xxxxxxxt dtf xxxxxg xxxxxxxxx故应选 (b). 【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttf tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 则( )( )( )( )( )f ttfttft. 2. 无穷小的比较：设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限( )lim( )xlx, (1) 若0,l称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若1,l称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小, 记为(

18、 )( )xx；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - -(3) 若0,l称在该极限过程中( )x是( )x的高阶无穷小 , 记为( )( )xox. 若( )lim( )xx不存在 (不为), 称( ),( )xx不可比较 . (2) 【答案】 (c) 【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题. 方法 1：由()( )fxfx (,)知

19、,( )f x的图形关于y轴对称 . 由在(,0)内, 0fx且( )0fx知 ,( )f x的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知, 在(0,)内,( )f x的图形单调下降, 且是凸的 , 所以应选 (c). 方法 2：由()( )fxf x可知()( ),()( )fxfxfxfx. 当(0,)x时,(,0)x, 此时由题设知0fx,()0fx, 则( )0,( )0,(0,)fxfxx, 故应选 (c). 方法 3：排除法 . 取2( )f xx, 易验证( )fx符合原题条件 , 计算可知 (a) 、(b) 、(d) 三个选项均不正确 , 故应选 (c). 方法 4：由题设可

20、知( )f x是一个二阶可导的偶函数, 则( )fx为奇函数 ,( )fx为偶函数 , 又在(,0)内( )0,( )0fxfx, 则在(0,)内( )0,( )0fxfx, 故应选 (c). (3) 【答案 】(c) 【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,)(,)c技巧相结合 . 【解析】对于(a),1223310, 即存在一组不全为零的数1, -1,1, 使得等式为零, 根据线性相关的定义可知122331,线性相关 , 排除 (a) ；对于 (b),122312320, 即存在一组不全为零的数1,1, -1, 使得等式为零, 根据线性相关的定义可知1223123,2线性相关 ,

21、排除(b) ；对于 (c), 简单的加加减减得不到零, 就不应继续观察下去, 而应立即转为计算行列式. 设有数123k ,k ,k ,使得11222331322330kkk, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - -整理得13112223322330.kkkkkka已知1,2,3线性无关 , 上式成立 , 当且仅当1312230220330k

22、kkkkk因的系数行列式101220120033, 故有唯一零解, 即1230kkk. 故原向量组122,2323,313线性无关 . 应选 (c). 或者也可以将122,2323,313用123,线性表出, 且写成矩阵形式, 有1223311231231012,23,3,220,033c记, 120c, 则c可逆 , 故两向量组是等价向量组, 由1,2,3线性无关知122, 2323,313线性无关 . (4) 【答案 】(d) 【解析】 方法 1：用排除法 . 任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律, 不一定相似 , 也不一定合同 . 例如 ,若10100302a,b, 由于特征值不同,

23、故不相似 , 又对应二次型的正、负惯性指数不同 , 故也不合同 ,(b) 、(c) 不成立；若10100302a,b, 则111012030206ab, 101111020306ba,abba. 故(a) 不成立；应取(d). 方法 2：因,a b是同阶 ( 设为n) 可逆阵 , 故有r ar bn,而rar b,a b等价存在可逆阵p,q使得paqb.( 这里只需取1pa ,qb,既有1paqa bab成立 ), 故应选 (d). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料

24、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - -或者 , 因,a b是同阶可逆阵 , 故,a b均可以通过初等行变换化成单位阵, ae,be,行变换行变换即存在初等阵1212srpp,p ,p ,ww ,ww ,使得pae,wbe, 从而有paewb, 得1pawpaqb1wq. 故(d) 成立 . (5) 【答案】 (a) 【解析】因x和y相互独立 , 而1111,1122pxp yp xp y, 故有：1111,111224pxyp xp y；1111,111224pxyp xp y；1111,11122

25、4pxyp xp y；1111,111224pxyp xp y；1111,11,1442pxyp xypxy, 故(a) 正确 ,(b) 错；11101,11,1442pxypxyp xy, 故(c) 错；11111,11,1442pxypxyp xy, 故(d) 错. 三、 ( 本题满分6 分.) 【分析】要证明0lim( )xq xq, 只须证明0lim ln( )lnxq xq即可 , 因为( )q x为指数函数 , 因此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为1ln( )lnln(1)xxq xaklx, 而且001ln(1)limln(1)lnlim(1)ln(1)lnln(),xx

26、xxxxxxklxkkllklklk l精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - -所以 , 110limln( )lnln()ln()xq xaklak l, 于是 , 10lim( )xq xak lq. 四、 ( 本题满分5 分.) 【解析】由题设有duff dyf dzdxxy dxz dx. (*) 在0 xyey中, 将y视为x的

27、函数 , 两边对x求导 , 得2()011xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy. (1) 在0zexz中, 将z视为x的函数 , 两边对x求导 , 得0zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxyx. (2) 将(1) 、(2) 两式代入 () 式, 得21dufyfzfdxxxy yxyxz. 【相关知识点】 1. 多元复合函数求导法则：若( ,)uu x y和( ,)vv x y在点( ,)x y处偏导数存在 , 函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数, 则复合函数 ( ,), ( ,)zf u x yv x y在点( ,)x y处的偏导数存

28、在, 且,zfufvzfufvxuxvxyuyvy. 五、 ( 本题满分6 分) 【分析】要求获得最大利润时的销售量, 需写出利润与销售量之间的的关系( )x, 它是商品销售总收入减去成本和政府税收. 正确写出( )x后, 满足0()0 x的0 x即为利润最大时的销售量 , 此时 ,0( )x t是t的函数 , 当商家获得最大利润时, 政府税收总额( )ttx t, 再由导数知识即可求出既保证商家获利最多, 又保证政府税收总额达到最大的税值t. 【解析】 (1) 设t为总税额 ,则ttx. 商品销售总收入为2(70.2 )70.2rpxx xxx. 精品学习资料 可选择p d f - - -

29、- - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - -利润函数为2270.2310.2(4)1rctxxxtxxt x. 令( )0 x, 即0.440 xt, 得45(4)0.42txt. 由于( )0.40 x, 因此 ,5(4)2xt即为利润最大时的销售量. (2) 将5(4)2xt代入ttx, 得5(4)2ttt25102tt. 由( )1050t tt, 得惟一驻点2t；由于( )50

30、tt, 可见当2t时t有极大值, 这时也是最大值, 此时政府税收总额最大. 六、 ( 本题满分6 分) 【分析】当0 x时,( )f x显然连续 , 故只要证0lim( )(0)xf xf, 且当0 x时,( )0fx即可 . 【解析】 方法 1：显然0 x时,( )f x连续 , 又由洛必达法则知0000( )lim( )limlim( )0(0)xnnxxxt f t dtf xx f xfx,所以( )f x在0,)上连续 . 当(0,)x时, 11022( )( )( )( )( ),0 xnnnnxf xt f t dtxfxfxfxxxx. 由于( )f x单调不减 , 故( )(

31、 )fxf, 又nnx, 从而( )( )nnx f xf. 于是有( )00fxx. 故( )f x在0,)上单调不减 . 方法 2： 连续性证明同上. 由于10200022( )( )( )( )( )( )( )0,xnnxxxnnnnxf xt f t dtfxxx fx dtt f t dtx f xt f tdtxx可见 ,( )f x在0,)上单调不减 . 【评注】本题主要考查变上限定积分求导, 洛必达法则. 请考生注意本题两种证法中对于( )fx的不同处理方法. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页

32、- - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - -o 3p2p1px1q2q3q1 2yxy【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttf tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 则( )( )( )( )( )f ttfttft.七、 ( 本题满分6 分) 【分析】先作出草图, 再求出曲线2yx在任一点2( ,)a a上的切线方程及其与x轴的交点 ,然后依此类推 , 得出一系列与x轴交点的坐标. 最后进行相应计算

33、即可. 【解析】 (1) 由2yx, 得2yx. 对于任意(01)aa, 抛物线2yx在点2( ,)a a处的切线方程为22 ()yaa xa. 且该切线与x轴的交点为(,0)2a, 故由11op可见21322111,2211 11,22 221.2nnopopopopop (2) 由于22211124nnnnnq pop, 可见11101144mnnnnnmq p. 利用几何级数求和公式01(1)1nnxxx即得1011414314mnnnmq p. 【评注】本题是级数与微分学的综合题, 本题中所得的级数仍为收敛的几何级数, 利用几何级数求和公式即可求出它的和. 八、 ( 本题满分6 分)

34、【解析】将直角坐标化为极坐标, 由于精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - -2222222200041()( )2()222ttxytrrfxydxdydfrdrrfdr, 可得2240( )2( )2ttrf terfdr. 在积分中作换元2rs, 又有200()4( )2ttrr fdrsf s ds. 于是 ,( )f t满足积分关

35、系式240( )8( )ttf tsf s dse.在上式中令0t得(0)1f. 利用变上限积分的求导公式, 将上式两端对t求导 , 得24( )8( )8tfttf tte.上述方程为关于( )f t的一阶线性微分方程, 利用一阶线性微分方程通解公式, 得224( )(4)tf ttc e, 其中常数c待定 . 由(0)1f可确定常数1c, 因此 ,224( )(41)tf tte. 【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttf tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 则( )( )( )( )( )f ttfttft.2. 一阶线性非齐次微

36、分方程的标准形式为( )( )yp x yq x, 其通解公式为( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc, 其中c为常数 .九、 ( 本题满分6 分) 【解析】 (1) 由*aaa aa e及1*aa a,有*10.0tttttteaapqaaa aaab abaa ba(2) 用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式, 有0tepaaa, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

37、 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - -2110ttap qpqabaa ba又因a是非奇异矩阵,所以0a, 故1tqa ba. 由此可知q可逆的充要条件是0q, 即10tba,亦即1tab. 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1ta是 1 阶矩阵 ,是一个数 . 【相关知识点】1. 两种特殊的拉普拉斯展开式：设a是m阶矩阵 ,b是n阶矩阵 , 则*,*aoaabbob*1*mnoaaabbbo. 2. 行列式乘积公式： 设,a b是两个n阶矩阵 ,则乘积ab的行列式等于a和b的行列式的乘积, 即aba b. 十、 ( 本题满分10 分) 【解析】 (1) 设a的属于

38、3的特征向量为3123tx ,x ,x, 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交, 故1312323123020ttxxx,xxx.解上述方程组 , 设方程组的系数矩阵为111121b, 对b进行初等行变换：111111101121030010b, 系数矩阵的秩为2, 根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为 1, 解得1 0 1t, ,即a的对应于3的特征向量为31 0 1tk, ,其中k为非零常数. (2) 方法 1：令123111120111p, 则有1100020003pap,即1app, 其中1p计算如下：精品学习资料 可选择p d f - - -

39、- - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - -21131131222313131121111 100111100120 010031110111 0010021011111103332211010011111030101022636001001111100222p e2得122211216303p, 11111002221325111200201212102661110033035213

40、app. 方法 2：因a是对称矩阵 , 不同特征值对应的特征向量互相正交, 故存在正交阵q( 对p单位化), 使1tq aqq aq,taq q, 其中11136212036111362q. 111111362333100121210020366660031111103622211111136233313251224210210263666652111133036222taqq3.方法 3： 由于矩阵a的特征值是1,2,3,特征向量依次为123, 利用分块矩阵有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - -

41、 - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - -123123(,)(,2,3)a. 因为123,是不同特征值的特征向量, 它们线性无关, 于是矩阵123(,)可逆 . 故11123123123111(,2,3)(,)1401201231111232221325111401212102 .661233035213a【评注】本题有两个难点, 一是能否由“实对称矩阵” 挖掘出隐含的信息, 通过正交性求出3,另一个难点就是反求矩阵a. 十一、 ( 本题满分7 分) 【分析】求分布函数(

42、 )f xp xx实质上是求xx的概率 . 【解析】由x的绝对值不大于1, 可得当1x时,( )0f xp xx；当1x时 ,( )1f xp xx；又111,184p xp x, 则115 1111 11848pxp xp x；由题意x在( 1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比, 那么当x的值属于( 1,1)的条件下 ,事件1xx的条件概率为：( 1)11| 111( 1)2xxpxxxkk( 其中k为比例正常数), 又11| 111pxx, 而1 111|112pxxkk, 所以1k, 故11| 112xpxxx；当11x时,1111xxxxx, 所以11, 11px

43、xpxxx. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - -由条件概率公式, 有11, 111| 11 11 1555,2816pxxpxxxpxxxpxxx( )11f xp xxp xpxx, 而11111088pxp xp x, 所以15557( )1181616xxf xp xxp xpxx, 故所求的x的分布函数为0,157( ),11161,1xxf xxx. 十二、 ( 本题满分6 分) 【解析】已知x在0,60上均匀分布 , 则其密度函数为：1,160,(