2020年延庆区模高三数学测试题

1、延庆区高三模拟考试试卷2020. 3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试高三年级（数学）第1页（共4页）卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知复数a2i 2ai是正实数,则实数a的值为(3)(4)(5)(6)(A) 0已知向量(A) 1(B)(C)(D)1r(1,k), b(B)卜列函数中最小正周期为(A) y sin x (B)（k,2）,若a与b方向相同，则k等于 ©729)V2的函数是1, 、y cos x

2、(C) y tan 2x卜列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是，、1，(A) y (B) y tanx(C) yx某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为 4回，则它的表3面积为(A) 8(C) 4(2x2(D)y |sin x |(B) 124 曲(D) 20x(A) 1601 5 .一）5的展开式中,x4的系数是(B) 80(C)50e x (D) y2,x 02,x 0(D)10(7)在平面直角坐标系 xOy中，将点A(1,2)绕原点O逆时针旋转90到点B,设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为 ，则COS等于心25555(B)看(C) Y(D)(8)已知直线a, b ,平面,

3、I b,a/ , a b ,那么“a”是“(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)某企业生产A, B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A, B两种产品的年产量的增长率分别为 50%和20% ,那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量(取 lg2 0.3010 )(A) 6 年 (B) 7 年(C) 8 年(D) 9 年22(10)已知双曲线C:2 y- 1的右焦点为F ,过原点。的直线与双曲线C交于A,B两 . 169'点，且 AFB 60

4、 ,则 BOF的面积为(A) 3/3 (B)鼠3 (C) 3 (D) 92222第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知集合M x|k 1,且3 M ,则k的取值范围是. x(12)经过点M( 2,0)且与圆x2 y2 1相切的直线l的方程是.(13)已知函数 f(x) sin2 x sin 2x cos2 x ,贝U f (一).12(14)某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天

5、售出的商品至少有种.(15)在 ABC中，AB 10,D是BC边的中点.若AC 6, A 60 ,则AD的长等于；若 CAD 45 , AC 6J2,则 ABC的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是正方形，AB 4,PPD PC, O是CD的中点，PO 平面ABCD, E是棱PC上的一点，PA/平面BDE.(I)求证：E是PC的中点；(n)求证：PD和BE所成角等于90 .(17)(本小题14分)已知数列an是等差数列， 0是an的前n项和，a1016,(I)判断2024是否是数列an

6、中的项，并说明理由；(n)求Sn的最值.从a8 10 ,a8 8 ,a8 20中任选一个，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。(18)(本小题14分)A, B, C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表(单位：小时) ：A班121313182021B班1111.512131317.520C班1113.5151616.51921(I )试估计A班的学生人数;(n)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；(出)从A班抽出的6名学生中随机选取 2人，从B班抽出的7名学生

7、中随机选取 1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过 15小时的概率.(19)(本小题14分)2ax a2 1已知函数f(x) , a一1,其中a 0. x2 1(I)当a 1时，求曲线y f (x)在原点处的切线方程；(n )若函数f (x)在0,)上存在最大值和最小值，求 a的取值范围.(20)(本小题15分)22已知椭圆G:三 谷 1(a b 0)的左焦点为F( J2,0),且经过点 C( J2,1), a bA, B分别是G的右顶点和上顶点，过原点 O的直线l与G交于P, Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M .(I)求椭圆G的标准方程；(n)若PQ 3,求直线l的方程；(出

8、)若 BOP的面积是 出MQ的面积的4倍，求直线l的方程.(21)(本小题14分)在数列3中，若an N*,且a- 5，an是偶数，(门1,2,3, L ),则称%为an 3, an是奇数“ J数列”.设an为“ J数列”，记an的前n项和为Sn .(I )若a1 10 ,求S3n的值；(n)若S3 17 ,求a,的值；(出)证明：a。中总有一项为1或3.高三年级(数学)第3页(共4页)延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考、选择题：（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C2. D.3. D4. C5. B6. B7. A8.

9、 C9. B10. A高三年级（数学）第9页（共4页）、填空题：（每小题5分，共5小题，共25分）11.(,3);12. y14. 16, 29;15. 7, 42.ABFx15 .在 ACD 中,相除得：sinACsinCDAB BD在 ABD 中，sin 45 'sin 1 sin 3所以 sin A sin(453)10CD213AC1所以 S abc AB AC sin A 42 2三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16 . (I)联结AC ,设AC与BD交于F ,联结EF, PPA/ / 平面 BDE ,平面pac I平面bde = EF,所以

10、因为所以所以PA/EFABCD是正方形, F是AC的中点 E是PC的中点CB（n）（法一）因为 PO 平面AABCD ,10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率）,平行四边形的定义和性质（相邻内角互补）三角形的性质（余弦定理、面积公式） 正切两角和公式所以PO BC 7分因为ABCD 是正方形，所以BC CD因为 POI CD O所以BC 平面PDC 10分所以BC PD因为PD PC因为 BCI PC C所以PD 平面PBC 13分因为BE 平面 PBC所以PD BE所以PD与BE成90角.14分(法二)连接OF ，因为 PO 平面 ABCD ，所以 PO CD, PO O

11、F.7 分因为ABCD 是正方形，所以OF CD.所以 OF ,OC,OP 两两垂直 .以OF,OC,OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系 O xyz.8分则 P(0,0,2) , D(0, 2,0), B(4,2,0) , E(0,1,1),9 分uuuvuuuvPD (0, 2, 2), BE ( 4, 1,1), 10 分uuuv uuuvPD BE 0 ( 4) ( 2) ( 1) ( 2) 1 ( 1分)0 13 分所以所以 PD与BE成90角.14分17.解：选(I)因为泳 16, a8 10 ,所以d 3 2分所以a1a87d 1021114 分所以ana1(n 1)d11(n

12、1) 33n 14 6 分令 3n 14 2024,则 3n 2038此方程无正整数解 所以2024不是数列an中的项.不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1分.(n)142（法一）令 an 0,即 3n 14 0,解得：n 433当 n 5时，an 0,当 n 4时，an 0, 11 分当n 4时，Sn的最小值为S411 8 5 226 .13 分14分Sn无最大值只给出最小值-26 ,未说明n=4扣1分.Sn无最大值 1分(n)（法二）Snn(“ an)225一 n ,2选b2a25111分一一 3 一当n 4时，&的最小值为S

13、4 - 162Sn无最大值(I) Q a10 16, a8 8,252426 .13分14分d 4 2 分a1a87d 8 2820 4 分an a1 (n 1)d20 (n 1) 44n 24 6 分令 4n 24 2024,则 4n 2048解得 n 5122024是数列an中的第512项.8分(n)令 a。 0,即 4n 24 0,解得：n 6当 n 6 时，an 0,当 n 6时，an 0,当 n 6时，a。 0, 11 分当 n 5或 n 6时， Sn 的最小值为0 S620 16 12 8 460. 13 分Sn无最大值14分选(I) Q a10 16, a8 20,d2 2分a1

14、a87d201434 4分ana1(n1)d34(n 1) ( 2)2n 36 6分令 2n 36 2024 ，则 n994 (舍去)2024不是数列an中的项.8分(在 a1, d 的基础上利用单调性作出正确判定给满分)(n)令 an 0,即 2n 36 0,解得：n 18当 n 18 时，an 0,当 n 18 时，an 0,当 n 18 时，an 0, 11 分当 n 17或 n 18时， Sn 的最大值为高三年级（数学） 第8页（共4 页）13分S17唬旦卫)306.14分Sn无最小值.18.(本小题满分14分)解：(I)由题意知，抽出的 20名学生中，来自A班的学生有6名.根据分层抽

15、样方法，A班的学生人数估计为120 36 . 3分20只有结果36扣1分(n)设从选出的 20名学生中任选1人，共有20种选法， 4分设此人一周上网时长超过 15小时为事件D, 其中D包含的选法有 3+2+4=9种，6分P(D)工7分20由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的9概率为上_. 8分20只有结果 区而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2分.20(出)设从A班抽出的6名学生中随机选取 2人，其中恰有i (1 i 2)人一周上网超过15小时为事件Ei,从B班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超(1)从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时

16、,高三年级(数学)第9页(共4页)过15小时为事件F则所求事件的概率为:P(E2F UE1F)c；c5c3c3c2C2C15 18 1115 73514分(m)另解：从 a班的6人中随机选2人，有C(2种选法，从B班白7人中随机选1人，有C1种选法，10分故选法总数为：C2 c7 15 7 105种设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过 15小时”为E, 则E中包含以下情况：(2)从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时,11分所以P(E)2 1111C3 c5C3c3c2cc15 1815 7113514分只有P(E)2 1 1 1 1C3 c5C3c3c215 1

17、8有设或答，有c：c71511 一、11,而无文字说明，扣 1分35P(E)11 ，人,给 3519.(本小题满分14分)(I)解：当a 1 时，f (x)切线的斜率k f (0)2(1 x2)22 .(x 1)2;f(0)曲线y0f(x)在原点处的切线方程为:2x.(n) f (x)2a(x2 1) (2ax a2 1)2x22(x 1)22ax (2 2a) x 2a/ 22(x 1)(1)当 a 0时,f (x) 0x1a 0;2( ax或11)(x a)X2x0(0, 1) a1 a(L ) af (x)0f(x)a2 1递增f山 a递减1上单调递减,)a2 a则f(x)、f (x)随

18、x的变化情况如下表: f(x)在(0,1)上单调递增，在(a. .1法1：f(x)的最大值为f(-)a10分若f(x)存在最小值，则x (0,)时，f (x) f (0) a2 1 恒成立，高三年级(数学)第15页(共4页)即:2ax2 xa2 112 ax(a21)a2 12a(0,)恒成立,0.2a2aa 0,2a2 10,13分14分14分所以a的取值范围为(0,1.12法2：f(x)的最大值为f(-) a2；a当 x 1 时，2ax 2 , 2ax a2 1 a2 ax时,f(x)0;即 x 0,1时，f(x) a2 1,a2； a1 2x 一,)时，f (x) (0, a2 a若f(

19、x)存在最小值，则f(0) a2 1所以a的取值范围为(0,1.用趋近说：x时，f(x) 0,论述不严谨，扣1分.小y1 一(2)当 a 0时，f (x) 0x1a 0; x20.ax0(0, a)a(a,)f (x)-0+f(x)a2 1递减f( a)递增则f(x)、f (x)随x的变化情况如下表：f(x)在(0, a)上单调递减，在( a,)上单调递增,法1 ： f (x)的最小值为f ( a) 1 .即：2ax 2 a21x2 1a2 1一 ，2、2ax (a 1)a2 12a(0,)恒成立,a21H 0, a0,0, aa2 1法2:a的取值范围是1 (0,1.f (x)的最小值为f

20、(a)若f(x)存在最大值，则x 0,)时，f(x) a2 1恒成立解：(i)法一：依题意可得22a2a1b2 b21,解得2,J2,(试根法)5当 x a 时，2ax 2a2, 2ax a2 1a2 1 0 ,x , f (x)0 ;(论述不严谨，扣1分)即 x 0, a时，f (x) 1,a2 1 ； x a,)时，f(x) 1,0)若f(x)存在最大值，则 f(0) a2 1 0, a 1.综上：a的取值范围是(，1 (0,1.20.(本小题满分15分)所以椭圆的标准方程为 法二：设椭圆的右焦点为 F1?则 ICF1I 3,2a 4, a 2,Qc J2,所以椭圆的标准方程为(n)因为点

21、Q在第一象限，所以直线l的斜率存在,高三年级（数学）第19页（共4页）设直线l的斜率为k ,则直线l的方程为y kx ,设直线l与该椭圆的交点,y kx一 n2 2为 P(x1,y1),Q(x2,y2)由 乂2 2y2 4可彳(1 2k )x 4 04易知 0,且2 x2 0, x,x2 了,121 2k2则 | PQ7(x1 x2)2 (V1 V2)2卮 x2)2 4x1x2E° 4d? 4H 3一,.27 .14所以k2 -,k（负舍），所以直线l的方程为22用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分,（出）设点 Q(xi,yi) , Q PQ 3,229224,又 a1

22、 2y1所以直线l的方程为y *x,即OQ4,设 M (xm, ym) , Q x0, V。，则 P x°,由 A 2,0解得:14x.2y。，易知B（0,历，所以直线 AB的方程为xOQXix0 2, 0,2y 2 0.V。 1.9若使BOP的面积是 BMQ的面积的倍，只需使得OQ 4 MQ，法一：即包XQ4 cl设直线l的方程为kx得,2k2k1 、2k由X2y kX 2y2 4得，Q(y2 一1 2k22k，1-2k2代人可得14k21872k 7 0,2即：7k9 2k0 （约分后求解）解得k9.2 8，所以y149.2x .14法二：所以LUV 4 UUUVOQ OM3,44、(- Xm, - ym)'33即吟m，3 ym）.设直线l的方程为y kxr得,2y 2 02k-2k所以Q（ 38k3.2k,3 3.2k）,因为点Q在椭圆G上，所以2X042 y021,代入可得14k2 18应k 7 0,即：7k2 972k解得k9.2 814所以y9、2 8 x .14ULUV法二：所以om3Ouv 4(3X0,-y0