高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理课件7 新人教B版选修2-2

1、微积分基本定理微积分基本定理被积函数被积函数被积式被积式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限100( )lim( )nbiaif x dxfx即积分和积分和复习：复习：1、定积分是怎样定义？定积分是怎样定义？定积分的简单性质定积分的简单性质(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk为常数1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积, 0)( xf baadxxf)

2、(曲边梯形的面积的负值4321)(aaaadxxfba 1a2a3a4a复习：2、定积分的几何意义是什么？复习引入：复习引入：定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用？、3141dx？、axdx02？、dxx302)2(3？、dxx302948 825221a49微积分基本定理微积分基本定理 在爬山路线的每一点在爬山路线的每一点(x，f(x)，山坡的斜，山坡的斜率为率为f (x)。将区间将区间a，bn等分，记等分，记x=ban 我们来分析每我们来分析每一小段所爬高度一小段所爬高度与这一小段所在与这一小段所在切线的斜率的关切线的斜率的关系。系。 x h k x k +1 x k h f g

3、e即即f(xk+1)f(xk)f (xk)x. 这样，我们得到了一系列近似等式：这样，我们得到了一系列近似等式：h1=f(a+x)f(a) f (a)x，h2=f(a+2x)f(a+x)f(a+x)x,h3=f(a+3x)f(a+2x)f(a+2x)x,hn1=fa+(n1)x(a+(n2)x) f a+(n2)xx，hn=f(b)fa+(n1)x) f a+(n1)xx，微积分基本定理微积分基本定理 如果如果f (x)=f(x)，且，且f(x)在在a，b上可积，则上可积，则 ( )( )( )baf x dxf bf a其中其中f(x)叫做叫做f(x)的一个的一个原函数原函数。 由于由于f(

4、x)+c=f(x)，f(x)+c也是也是f(x)的原的原函数。其中函数。其中c为常数。为常数。 一般地，原函数在一般地，原函数在a，b上的改变量上的改变量f(b)f(a)简记作简记作f(x) ，因此，因此微积分基本定理微积分基本定理可以写成形式：可以写成形式：ba( )( )( )( )bbaaf x dxf xf bf a微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且f(x)f（x)，则，则，baafbfxxf)()(d)(这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨

5、公式牛顿莱布尼茨公式（newton-leibniz formula).).()()(d )( afbfxfxxfbaba或记作莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的

6、馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回返回微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且f(x)f（x)，则，则，baafbfxxf)()(d)().()()(d )( afbfxfxxfbaba或记作说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数只要求出被积函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数f f( (x x)

7、)，然后，然后计算原函数在区间计算原函数在区间 a,ba,b 上的增量上的增量f f( (b b) )ff( (a a) )即可即可. .该公式把计算定该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。积分归结为求原函数的问题。例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 ( )( )|( )( )bbaaf x dxf xf bf a找出找出f(x)的原函的原函数是关键数是关键 30113242cos;xxdxdxx 23211111;22dxxdxxx练习练习1: 101012023111_2_3_4_dxxdxx dxx dx1211341511nbnbaaxx dxn总结：|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公式：6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxx dx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaaxyo 例例3n例4：求曲线243yxyx与所围成图形的面积。1.微积分基本定理：微积分基本定理：( )d( )( )baf xxf bf a被积被积函数函数f(x)f(x)一