2022年[高三数学]上海高考数学易错题讲义

1、第一部分集合1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义. 例1、已知集|,|2 ,xpy yx xr qy yxr，求qp. 【分析： 集合 p、q 分别表示函数2xy与xy2在定义域r 上的值域， 所以),0p，),0(q，),0(qp.】例2、设集合211ay yxxr，1bx yxxr，则ab_. 【分析： 集合 p、q 分别表示函数2xy与xy2在定义域r 上的值域， 所以),0p，),0(q，),0(qp.】2. 对于空集的讨论不要遗漏 . 例3、若2|,|2xxbaxxa且ba，求a的取值范围 . 【分析：集合a 有可能是空集.当0a时，a，此时ba成立；当0a时，),(aaa，若b

2、a，则2a，有40a.综上知，4a.注意：在集合运算时要注意学会转化baaba等.】例4、已知集合2320ax xxxr，220bx xmxxr，abb ，则 m 的取值范围是 _. 【分析：abbba ，说明 b 中的解一定是a 中的解或者是无解】例5、【2003 年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c10和 a2x2+b2x+c20 的解集分别为集合m 和 n，那么“212121ccbbaa”是“ m=n ”的精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 43 页 - - - - -

3、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - -（）a充分非必要条件. b必要非充分条件. c充要条件d既非充分又非必要条件. 【分析：不要忘记两个不等式均无解】【答案： d】3. 区间端点的取舍讨论 . 例6、【长宁区 (文)】已知集合2log2 ,(, )axxba，若ab则实数a的取值范围是_【答案：4,】例7、【闵行 2011 一模第 12 题】已知条件:12px；条件:q xa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则a的取值范围是【答案：1,】例8、【2009 年上海秋季高

4、考】 已知集合|1ax x，|bx xa， 且a br，则实数 a 的取值范围是 _ . 【答案：1a】例9、若集合2280ax xxxr，01xkbxxxkr，且 ab，则实数 k 的取值范围是 _. 【答案：(, 4(1,)】4. 充分必要条件的判断例10、 【 2010年 春 季 高 考 】 若123,a aa均 为 单 位 向 量 ， 则136,33a是1233,6aaa的（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

5、- - - - - - 第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - -充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案： b】例11、 【松江区15】设,a br，则“2ab且1ab”是“1a且1b”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【答案： b】例12、 【10 年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是（）（a） “直线 a、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b 不相交”；（b）直线“ba”的充分不必要条件是“a 垂直于 b 所在的平面” ；（c）两直线“ a/ b”的充要条件是“直线a、b 与同一平面所成角相等”

6、；（d） “直线 a/ 平面”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面内的一条直线” 【答案： c】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - -第二部分不等式1. 解分式不等式时注意等价变形例1、不等式104xx的解集是 _【答案：( 4,1】例2、不等式224xx的解集是 _【答案：( 4, 2】例3、【2008 学年青浦区一模第11题)设函数(

7、)f x的定义域为 4,4， 其图像如下图，那么不等式( )0sinfxx的解集为 _. 41-2-4xyo【答案： 4,) 2,0)1, )4】2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）例1、若关于 x 的不等式220kxkx的解集为r， 则实数 k 的取值范围是 _. 【答案：| 80 xx】例2、【2011 年徐汇区一模第21 题】已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kr。（1）求上述不等式的解；（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集a中只有有限个整数？若存在，求出使得a中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由。【答案：精品学习资料 可选择p d

8、f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - -21 解： （ 1）当0k时，(,4)a； 2 分当0k且2k时，24kk4 分4(,4)(,)akk；5 分当2k时，(,4)(4,)a； （不单独分析2k时的情况不扣分）当0k时，4(,4)akk.7 分（2） 由（ 1）知：当0k时，a中整数的个数为无限个；.9 分当0k时，a中整数的个数为有限个， 11 分因为44kk，当

9、且仅当2k时取等号，12 分所以当2k时，a中整数的个数最少。.14 分】例3、【2011 闸北区一模理第9 题】若不等式02cbxax的解集为21|xx，则不等式|2xbcxba的解集为【答案：012|xx】3.不等式证明题利用特殊值法只能排除错的选项！；例1、【2007 年上海秋季高考第13 题】已知,a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是a、22abb、22aba bc、2211aba bd、baab【答案： c 】例2、【2008 年南汇一模第13 题】若0ab，则下列结论中不恒成立的是（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

10、 5 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - -aab b 11ab c 222abab d 2abab【答案： d 】例3、【2006 年春季高考第14 题】 若bacba,r、， 则下列不等式成立的是( ) （a）ba11. （b）22ba. （c）1122cbca.（d）|cbca. 【答案： c 】4. 利用基本不等式求最值时注意“一正、二定(定积定和原理 )、三相等”；若基本不等式求最值时无法取得等号，应考虑利用函数单调性（还会

11、用定义法证明）不等式证明题；例1、函数10arccosarccosyxx的最小值为 _. 【答案：10】例2、【2011 年杨浦区二模文理第11 题】已知函数)1lg()(xxf，若ba且)()(bfaf，则ba的取值范围是. 【答案】【),0(】例3、函数2254xyx的最小值为 _. 【答案：52】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - -

12、第三部分函数与方程1. 函数定义域与限制条件，并注意答案写成集合或区间的形式例1、不等式23log (583)1xx的解集为 _. 【答案：2, 1)(1, 3】例2、【2008 年秋季理科3】函数26( )1xxf xx的定义域是. 【答案：380,)(1,55】例3、【2010 年二模长宁第18 题】 如果函数|12|lg|)(xxf在定义域的某个子区间)1, 1(kk上不存在反函数，则k的取值范围是（）)2,21.a23, 1.(b)2, 1.c)2,2321, 1.(d【答案： d】2. 奇函数若在0 x处有意义，则(0)0f；奇函数的图像不一定过原点；函数具有奇偶性， 首先其定义域应

13、关于原点对称；不具有奇偶性应举反例加以否定. 例1、2,( ),21xar f xaa设是奇函数求【答案： -1】例2、(2010年 杨 浦 一 模 ) 设 函 数1xxafxx为 奇 函 数 ， 则 实 数a【答案： -1】例3、(2011 年嘉定一模 )若函数xxkkxf212)(（k为实常数）在其定义域上是奇函数，则k的值为 _【答案：1】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共

14、43 页 - - - - - - - - -3. 正确使用计算器求解根的范围例1、【2010 秋季高考理科】若0 x 是方程1312xx的解，则0 x 属于区间( ). a. 2,13b. 1 2,2 3c. 1 1,3 2d. 10,3【答案： c】例2、【2010 秋季高考文科】若x0是方程 lgx x 2 的解，则x0属于区间（）a(0,1) b (1,1.25) c(1.25,1.75) d(1.75,2) 【答案： c】例3、【 2011年 闵 行 区 二 模 理 第17题 】 设 函 数141( )log( )4xfxx、2141( )log( )4xfxx的零点分别为12xx、，

15、则（）(a) 1201x x. (b) 121x x. (c) 1212x x. (d) 122x x. 【答案： a】4. 反函数的本质是x，y交换，比如函数)2( xfy反函数不是)2(1xfy.比如函数(1)yfx反函数不是1(1)yfx. 例1、已知函数)(xfy的反函数是)(1xfy， 则函数)43(21xfy的反函数的表达式是. 【分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示, x然后将yx,互换即得反函数的表达式 .由)43(21xfy可得4)2(31)2(432)43(1yfxyfxyxf.所以函数)43(21xfy的反函数为4)2(31xfy】例2、【2010 年一模长宁】

16、已知函数( )f x定义在r 上,存在反函数,且(9)18f,若(1)yf x的反函数是1(1)yfx,则(2008)f= . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - -【答案：1981】例3、【2009 年高考理科22】已知函数1( )yfx是( )yf x的反函数。 定义：若对给定的实数 (0)a a，函数()yf xa与1()yfxa互为

17、反函数，则称( )yf x满足“a和性质 ” ；若函数()yf ax与1()yfax互为反函数， 则称( )yf x满足 “a积性质” ，（1）判断函数2( )1 (0)g xxx是否满足 “1和性质 ” ，并说明理由；（2）求所有满足 “2和性质 ” 的一次函数；【答案： 22. 解： （1）函数2( )1(0)g xxx的反函数是1( )1(1)gxxx，1(1)(0)gxx x，而2(1)(1)1(1)g xxx，其反函数为1 1(1)yxx故函数2( )1(0)g xxx不满足“ 1 和性质” 4 分（2）设函数( )()f xkxb xr满足“ 2 和性质”，0k。1( )(xbfx

18、xrk,12(2)xbfxk 6 分而(2)(2)()f xk xb xr，得反函数2xbkyk， 8 分由“ 2 和性质”定义可知22kbxbkkk对()xr恒成立。1,rkb即所求一次函数( )(rfxxb b）. 10 分】5. 判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义！ ！ ！不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,( ,baxbaxy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - -精

19、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - -的单调性 . 例1、已知函数3( )f xxax 在区间1,)上是增函数，则实数a 的取值范围是_. 【答案：3,)a】例2、【2010 年嘉定区二模第21 题】已知ar，函数1)(xaxxf（),0 x，求函数)(xf的最小值【答案：解 设12120,)xxxx+ ?、是内任意两个实数，且，则121212()()11aaf xf xxxxx-=+-+211212()()(1)(1)a xxxxxx-+1212()(1)(1)(1)axxxx-+ 4

20、 分(i)当1a -+-，即 7分因此， ( )0,)f x+ ?在上是单调增函数 ， 故min( () )( 0 )f xfa= 9 分(ii) 当1a 3时，( )(1)12111aaf xxxaxx=+=+-?+当且仅当11(10,)1axxaax+=-?+，即时，等号成立14 分于是，min( ( )(1)21f xfaa=-=-精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 43

21、 页 - - - - - - - - -15 分所以，min(1)( )21(1)a af xaa?= ?-? ?16 分】例3、【2007 年上海秋季高考第19 题】已知函数2(0,)afxxxarx（1）判断fx的奇偶性（2）若fx在2,是增函数，求实数a的范围【答案：（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数当0a时，2( )(00)af xxaxx，取1x，得( 1)(1)20( 1)(1)20ffffa，(1)( 1)(1 )ffff，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（2）解法一：设122xx，22212121)()(xa

22、xxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在 2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立121204xxx x，即)(2121xxxxa恒成立又421xx，16)(2121xxxxa的取值范围是(16，解法二：当0a时，2)(xxf，显然在 2)，为增函数当0a时，反比例函数xa在 2)，为增函数，xaxxf2)(在 2)，为增函数当0a时，同解法一 】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

23、 - - - - - - - - - 第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - -第四部分三角函数1. 三角函数的最小正周期，计算公式少掉绝对值；例1、【2011 年黄浦区二模文理第5 题】若函数( )2 cos( 4)17fxx与 函 数( )5 tan(1)2g xax的最小正周期相同，则实数a= 【答案：2a = ?】2. 三角方程解的个数；例2、【 2011 年 杨 浦 区 二 模 文 第9 题 】 方 程cos 2sin1,(0, )xxx的 解是【答案：50,66】例3、【2011 年徐汇区二模理科第5 题，文科第7 题】在abc中，, ,a b c分别是角,a

24、b c所对的边，且32 sinaca，则角c的大小为。【答案：3和23】例4、【2011 一模黄浦 6】方程sincos1xx的解集是【答案】： 【|(21)22x xnxnnzppp禳镲镲=-=-?睚镲镲铪或，】例5、【2010 一模宝山10】方程sin 4sin2xx在(0,)上的解集是 _ 【答案：5,626】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 43 页 - - - -

25、- - - - -3. 三角函数的图象平移问题例6、【2011 年徐汇区二模理科第17 题】函数2cos(2)26yx的图象按向量a平移后的函数解析式为( )yf x。当函数( )f x为奇函数时，向量a可以等于（）（a）(, 2)6（b）(,2)6（c）(, 2)6（ d）(,2)6【答案： b】例7、【2011 一模闵行7】将函数3tan 2yx的图像向右平移1 个单位，得到的图像对应的函数解析式是【答案】： 【3tan(22)yx】例8、将函数4sin213yx的图象横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移6个单位，得到的图象对应的函数解析式是_ 【答案：4sin16yx】4. 通过化简三角比

26、判断三角形形状例9、【2011 年奉贤区二模文理第15 题】在 abc 中， “cbbccoscos”是“ abc是等腰三角形”的（）（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件【答案： a】例10、【2011 奉贤一模 15】在abc中， “cossincossinaabb”是“90c”的 （）（ a） 充分非必要条件（b） 必要非充分条件（ c） 充要条件（d） 非充分非必要条件【答案】： 【b】例11、【2010 二模闵行16】已知abc中，2 2ac,2bc，则角a的取值范围精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

27、- - - - 第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - -是（）(a),63. (b) 0,6. (c) ,42. (d) 0,4. 【答案： d】5. 三角函数值域问题：例12、【2010 二模虹口6】函数xxy2sin3sin22的最大值是. 【答案：213】例13、 【2010 二模长宁7】函数3cos6sin2)(2xxxf的最大值为_【答案： 9】例14、 函数sin22sinxyx，0,2x的值域为 _ 【答案：1

28、,3】例15、 函数sin22cosxyx，的值域为 _ 【答案：2 21,221】6. 反三角函数的求值问题例16、 【2011 一模金山 4】计算：3sin arctan3_【答案：21】例17、 【2011 一模闸北 12】函数323)arccos(sinxxy的值域是（）a656，b32,6c320，d650，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 43 页 - - - -

29、 - - - - -【答案： d】例18、 【2010 一模普陀5】已知1cos()3，,02，则 . （用反三角函数表示）【答案：1arccos3】例19、 【2010 一模静安8】函数xxyarccos10arccos的最小值是 _. 【答案：10】7. 诱导公式、三角和差公式、二倍角公式应用出错例20、 【2011 年崇明县二模文理第2 题】函数44cossinyxx的最小正周期t【答案： 2】例21、 【2010 二模闸北13】已知mx)6cos(，则)3cos(cosxx（）am2bm2cm3dm3【答案： c】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

30、- - - - 第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - -第五部分数列1.数列的通项公式【例 1】 【2011 年虹口区二模文理第2 题】数列na的前n项和32nnsn，则通项公式na【答案：)2(2) 1(1nnn】【例 2】 【2011 年嘉定区一模文理第23 题】已知数列na的前n项和为ns， 对任意*nn，点),(nsn都在函数xxxf22)(的图像上（1）求数列na的通项公式；【例 3】数列na满足122111252

31、22nnaaan，则na= 2.等比数列的证明与性质【例 1】【 2011 年黄浦区二模理第21 题】 已知函数42( )(1)1xf xxxrx， 数列na满足1(1)aa aar，*1()()nnaf ann(1)若数列na是常数列，求a 的值；(2)当14a时， 记*2()1nnnabnna， 证明数列nb是等比数列， 并求出通项公式na【答案：(1)实数a的值是 1 或 2(2)1*2 22()( ) ()3 33nnnbnn*2()23()2( )13nnnann 】【例 2】 【2010 年上海高考第20 题】已知数列na的前n项和为ns，且585nnsna，精品学习资料 可选择p

32、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - -*nn，证明：1na是等比数列；【答案：略】【例 3】 【2011 年上海卢湾区二模第22 题】已知数列cba,是各项均为正数的等差数列，公差为 d（d 0） 在ba,之间和 b,c 之间共插入 n个实数，使得这3n个数构成等比数列，其公比为q（1）求证： | 1q；（2）若1,1an，求d的值；（3）若插入的n 个数中

33、，有s个位于 a,b 之间， t 个位于 b,c 之间，且, s t都为奇数，试比较 s与 t 的大小，并求插入的n 个数的乘积（用, ,a c n表示）【答案：（ 1）由题意知2ncqa，2cad ，又0,0ad，可得2211ncdqaa，即2| 1nq，故2|1nq，又2n是正数，故| 1q（2）由, ,a b c是首项为1、公差为 d 的等差数列，故dcdb21,1，若插入的这一个数位于,a b之间，则21qd，321qd，消去q可得32)1()21(dd，即320ddd，其正根为251d若插入的这一个数位于, b c之间，则qd1，321qd，消去q可得3)1(21dd，即3230dd

34、d，此方程无正根故所求公差251d（3）由题意得1sbadqaa，12tcadqbad，又0,0ad，故220()adaddaada ad，可得2adadaad，又20adad，故110stqq，即11|stqq又| 1q，故有11st，即st精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - -设3n个数所构成的等比数列为na，则123,2snaca

35、a abac，由413(2,3,4,knkna aa aac k，2)n，可得32(aa222231)()()nnnaa aa a11322()()()nnnaaaaac，又10sbqa，01bcqt，由, s t 都为奇数，则q 既可为正数，也可为负数，若q 为正数，则23a a2na12()nac，插入 n 个数的乘积为122()nacac；若 q 为负数，,32aa2,na中共有12n个负数，故32aa1(1)222( 1)()nnnaac，所插入的数的乘积为2ac1(1)22( 1)()nnac所以当42(nkkn* )时，所插入n 个数的积为122()nacac；当4 (nk kn*

36、 ）时，所插入n 个数的积为122()nacac 】3.数列求和【例 1】求和23123.nnnsxxxx【答案：2211222nnnnsnnn，当 为偶数时；（分类讨论求和），当 为奇数时 .】【例 2】【2010 年上海六校联考第23 题】 已知： 函数23( )3xfxx， 数列na对nnn,2总有111(),1nnafaa；(1) 求na的通项公式。(2) 求和：1122334451( 1)nnnnsa aa aa aa aa a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习

37、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - -【答案：（1）213nna*()nn（2）2222932679nnnnsnnn为偶数为奇数】【例 3】 【2011 年徐汇区二模理科第14 题】设函数11( )21xf xxx，o为坐标原点，na为函数( )yf x图象上横坐标为*()n nn的点，向量noa与向量(1,0)i的夹角为n，则满足125tantantan3n的最大整数n的值为。【答案： 3018】4.最大、最小项思想【例 1】 【2011 年闵行区二模文理第8 题】已知数列na是以15为首

38、项，2为公差的等差数列，ns是其前n项和，则数列ns的最小项为第项. 【答案： 8】【例 2】 【2011 年杨浦区二模文理第23 题】设二次函数)() 4()(2rkkxxkxf，对任意实数x，有26)(xxf恒成立；数列na满足)(1nnafa. （ 1） 求函数)(xf的解析式和值域；（ 2） 试写出一个区间),(ba，使得当),(1baa时，数列na在这个区间上是递增数列，并说明理由；（ 3） 已知311a，是否存在非零整数，使得对任意nn，都有12333312111logloglog12log1111222nnnaaa2log2) 1(131nn恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理

39、由. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - -【答案：（1）2k，所以xxxf22)(2， 其值域为21,(. （2）数列na在区间)21,0(上是递增数列 . 注：本题的区间也可以是)21,51、)21,41、)21,31等无穷多个】【例 3】 【2010 年嘉定区一模第23 题】已知函数xxxf12log)(2，),(111yxp、)

40、,(222yxp是)(xf图像上两点(1)若121xx，求证：21yy为定值；(2)设nnfnfnftn121，其中*nn且2n，求nt关于n的解析式；(3)对（2）中的nt，设数列na满足21a，当2n时，24nnta，问是否存在角a，使不等式211111aa12sin11nan对一切*nn都成立？若存在，求出角的取值范围；若不存在，请说明理由【答案：（1）当121xx时，21yy为定值1（2）21ntn（*nn，2n） （3）)(nf的最大值为23)1(f，的取值范围为322,32kkzk】【例 4】 【2010 年上海高考第20 题】已知数列na的前n项和为ns，且585nnsna，*n

41、n（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列ns的通项公式，并求出n 为何值时，ns取得最小值，并说明理由。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - -5.数列中的数列问题【例 1】 【2010 年金山区一模第22 题】已知等差数列na中，73a，12321aaa，令1nnnaab，数列1nb的前n项和为nt.*nn（1）求na的通项公式；2

42、3nan. *nn（2）求证：31nt；（3）通过对数列nt的探究，写出“nmttt,1成等比数列”的一个真命题并说明理由（nm1，*,nnm）. 当且仅当正整数m=2,n=16 时，nmttt,1成等比数列 . 【例 2】 【2008 年上海高考第20 题】已知以a1为首项的数列 an 满足： an1an+c，an3and， an3当 a11，c1，d3 时，求数列 an 的通项公式当 0 a11，c1，d 3 时，试用a1表示数列 an的前 100 项的和 s100当 0 a11m（m 是正整数），c1m，d 3m 时，求证：数列a21m，a3m+21m，a6m+21m，a9m+21m成等

43、比数列当且仅当d3m 【答案 ： （1）由题意得1,322,31,()3,3nnkankkznk(2) 100s13111(11)19823a（ 3）证明略 】【例 3】 【2011 年徐汇区二模理科第23 题】设等比数列na的首项为12a，公比为(q q为正 整数），且 满 足33a是18a与5a的 等差 中项； 数列nb满足2*32()0 (,)2nnntbnbtr nn。(1)求数列na的通项公式；(2)试确定实数t的值，使得数列nb为等差数列；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 43 页 - - - - - - -

44、- -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - -(3)当数列nb为等差数列时，对每个正整数k，在ka和1ka之间插入kb个 2，得到一个新数列nc。设nt是数列nc的前n项和，试求满足12mmtc的所有正整数m。【答案：（1）*2 ()nnann（2）3t（3）满足题意的正整数仅有2m。【例 4】【2010 年上海六校联考第23 题】 已知： 函数23( )3xfxx， 数列na对nnn,2总有111(),1nnafaa；（1）求 na 的通项公式。(2) 求和：1122334451(

45、1)nnnnsa aa aa aa aa a（3）若数列nb满足：nb为1na的子数列（即nb中的每一项都是1na的项，且按在1na中的顺序排列）nb为无穷等比数列，它的各项和为21。这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列nb，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。6、数列中数的讨论例 13、 【2009 年上海高考理第23 题】已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列。（1）若31nan，是否存在*mkn、，有1?mmkaaa说明理由；（2）找出所有数列na和nb，使对一切*nn,1nnnaba,并说明理由；若115,4,3,adbq试确定所有的p，

46、使数列na中存在某个连续p项的和是数列nb中的一项，请证明。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - -【答案：（1）不存在*mkn、，使等式成立。（2）01nnacb有，使对一切n，1nnnaba（3）当且仅当3 ,spsn，命题成立。 】7、数列极限【例 1】limn)2(2211aaannnn=_ 【答案：1,22,21,2aaaa】8

47、、概率与排列组合【例 1】口袋里有2个白球， 3 个红球， 5 个黑球，从中任取2 个球，求取出的两球颜色不同的概率。【答案：453145141)(1)(apap】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - -第六部分复数部分1.复数计算问题，常见的化简；说明：注意复数运算与向量运算/ 实数运算的异同例 1 【2011 年卢湾区二模文理第1 题

48、】设i为虚数单位，计算ii1 . 【答案：1i；注意计算细节21i】例 2 【2010 年长宁区二模文科第一题】设i为虚数单位，则复数_1ii【答案：12i】例 3 【2010 年嘉定区一模第一题】设i为虚数单位，计算ii13_【答案：2i】2.复数问题实数化时，设复数biaz，不要忘记条件rba,. 说明：两复数相等的条件是实部与虚部分别相等. 这是复数求值的主要依据. 根据条件，求复数的值经常作实数化处理. 若 z 为实数，则虚部为零，若z 为纯虚数，则实部为零，虚部不为零. 例 1 【2010 年闵行区二模文理第1 题】若2iabii（i为虚数单位，abr、） ，则ab【分析：211,1

49、iabiab】例 2 【2010 年静安区一模文理第3 题】若复数z满足2)1 (iz（其中i为虚数单位） ，则zre_. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - -【答案：设),(rbabiaz，原式化为()(1)2abii，得()2abab i，求得re1za】例 3 【2011 年闸北区二模文理第1 题】已知z和iz12都是纯虚数 ,

50、那么z【答案：设()zbi br，原式化为21bii是纯虚数，得2b，得2zi】3.实系数一元二次方程说明： 实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根， 则此两虚根互为共轭 . 若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断. 例 1【2010 年崇明县二模文理第8 题】 复数2)2321(iz是实系数方程012bxax的根，则ab . 【答案：211313()2222zii，则21322zi，得1212111bzzzzaa且，求得1,1ab. 所得即为1】例 2 【2010 年杨浦区二模文理第17 题】若z是实系数方程220 xxp的一个虚根，且2z，则p_.【答案：实系数一元二

51、次方程若有虚根，则两根必互为共轭，212.|4z zzp】例 3 【2011 年黄浦区二模理第8 题】已知01()mmr，是方程210 xmx的根，则|= 【答案：根据判别式可知，实系数一元二次方程有2 个虚根，则212.|1z z】例 4若方程)(022rbbxx的两根,满足2|，求实数b的值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 43 页 - - - - - - - -

52、-【答案：在复数范围内22)(|不一定成立， 但22|)(|一定成立 .对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.2b，4|8|)(|22b，则42b或122b，所以2b或32b. 】例 5 【2011 年杨浦区二模文理第22 题】设虚数z满足1000 (4tmm zm2z为实常数，01mm且，t为实数） . （1） 求z的值； （2） 当tn，求所有虚数z的实部和；【答案：（1）10050242mmzzzz）（2）z是虚数，则1002500ttmmmm，z的实部为2tm；当1,502()2221mmmmmmttnsm得且1,50221mmmmt得且22502(21mmmtnsm2491,5

53、02()222mmmmttns得且. 当01,502()21mmmmttns得且02m251525101,502()21mmmttnsm得且515201,502()22mmmttns得且. 】4.复平面轨迹方程说明：|21zz的几何意义是复平面上21,zz对应点之间的距离，rzz|0的几何意义是复平面上以0z对应点为圆心，r为半径的圆 . 例 1若4|2|0zziz表示的动点的轨迹是椭圆，则|0z的取值范围是. 【答案：首先要理解数学符号的意义：4|2|0zziz表示，复数z对应的动点到复数i 2与0z对应的两定点之间的距离之和等于4. 而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有

54、4|2|0iz，而此式又表示0z对应的点在以i2对应点为圆心，4为半径的圆内，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - -由模的几何意义知)6, 0|0z. 】例 2 【2010 年普陀区二模文理第7 题】在复平面上， 已知直线l上的点所对应的复数z满足3zizi，则直线l的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）【答案：首先根据复数模的概念，可

55、以看出原式表示复数 z 所对应的点到（0,-1 ）与其到（ 3,1 ）的距离相等，那么复数z 即为（ 0，-1 ）与（ 3,1 ）所在线段的中垂线上一点，所以直线l的斜率即为32，转化为倾斜角，注意在第二象限，所以=3arctan2。 】例 3 【2011 年卢湾区二模文理第17 题】已知复数z满足z12iz2i3 2（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为z，则点 z 的轨迹为（） a双曲线的一支 b 双曲线 c一条射线 d两条射线【答案：复数z 到(1,2)的距离减去其到( 2, 1)的距离之差等于3 2，根据双曲线定义，由于两定点之间距离也等于3 2，所以其轨迹为射线，可以看到原式

56、表示的线段中，复数 z 到(1,2)的距离显然大于其到( 2, 1)的距离，所以点 z 的轨迹为一条射线。 】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - -第七部分向量易错点1. 向量的数量积运算相关概念性问题【例 1】【2011 年闸北区二模文理第5 题】下列三个命题： 若|baba， 则0ba； 若0a，caba， 则cb； 若|baba，

57、 则ba/ 其 中 真 命 题有 （写出所有真命题的序号）【答案：】【例 2】 【2011 年长宁区二模文第16 题】设向量)0, 1(a,)21,21(b,则下列结论中正确的是（）abab22ba cabdab与b垂直【答案： d】2. 投影的概念及计算方式【例 1】 【2011 年奉贤区二模文理第6 题】已知| | 2,abab与的夹角为,3则b在a上的投影为【答案： 1】【例 2】 【2010 二模闵行区15】如图，已知正六边形abcdef ，下列向量的数量积中最大的是（）(a) ab ac. a b c d e f 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

58、 - - - - 第 28 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 43 页 - - - - - - - - -(b) ab ad. (c) ab ae. (d) ab af. 【答案： a】3. 向量夹角为钝角忽略平行的情况（其他忽略平行的情况）【例 1】 【2011 年普陀区二模理科第17 题】已知向量2cos ,2sina，,2，向量0, 1b，则向量a与b的夹角为（）a. ； b. 2； c. 2； d. 32. 【答案： c 】【例 2】已知向量1,2 ,2,abm的

59、夹角为钝角，则m 的取值范围为 _ 【答案：, 44,1】【例 3】已知直角坐标系中，1,2,0 ,1,1axbc，abc为锐角三角形，则 x 的 取值范围为 _ 【答案：111,233】4. 向量的分解定理【例 1】 【2011 年徐汇区二模文科第15 题】已知,o a b是平面上不共线的三点，若点c满足accb，则向量oc等于（）（a）oaob（b）oaob（c）1()2oaob（d）1()2oaob【答案： d】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 43 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

60、f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 43 页 - - - - - - - - -【例 2】 【2010 二模普陀11】如图，平行四边形abcd的两条对角线相交于点m，点p是md的中点 . 若2ab，1ad，且60bad，则ap cp . 【答案：2516】【例 3】 【2011 一模浦东18】点 o 在abc所在平面内，给出下列关系式：（1）0ocoboa；（2）oaococoboboa；（3）0bababcbcobababacacoa；（4）0)()(bcocobaboboa则点 o 依次为abc的（）a内心、外心、重心、垂心b重心、外心、内心、垂心