kmr隐式差方程课件fmj

1、 2.3 隐式差分格式隐式差分格式 与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如 ），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的。 11111,nmnmnmuuu2.3.1 古典隐式格式现在对热传导方程推导其最简单的隐式差分逼近古典隐式格式。由故 式中左边如果仅保留二阶导数项，且以 替代 ，则得差分格式 或者 （2.41）格式用图2.5表示，其截断误差阶为 ,与古典差分

2、格式相同。 图2.5：22xutunmxnmukdu)exp(21nmnmxxnmnmxuudkkduukd142212)211()exp(221xh2xdnmnmnmnmnmnmxuruurruuuhk11111122)21 ()1 ()(22hk m,n+1 m,n m+1,n+1 m-1,n+1 为了求得第（n+1）时间层上的 的值，必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式（2.41）通常称为古典隐式格式。 我们也可以通过直接用差分算子代替 的方法，即代入微分方程，得到格式（2.41）。1nmu2,xxdd211111122112)()(huuuxu

3、kuutunmnmnmnmnmnmnm2.3.2 crank-nicolson隐式格式 crank-nicolson隐式差分格式是解热传导方程（2.26）的常用的差分格式，为了推导它，由式（2.24），有由得 （2.42）两边仅保留前二项，用 代替 ，则得差分格式 （2.43）这是一个隐式差分格式，称为crank-nicolson差分格式，截断误差阶为 ，也可写为nmxxnmxxxnmnmukdkdukdkddluklukl)21(21211 )21(21211 )21exp()21exp(222122221221xh2xdnmxnmxurur)211 ()211 (212)(22hk （2.

4、44） 由于格式（2.44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.6所示）。 图2.6 也可将 代入微分方程（2.26），得到crank-nicolson格式。)(21)1 ()(21)1 (1111111nmnmnmnmnmnmuururuurur m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1 m-1,n m,n m+1,n 2221)()(2112111112122121huuuhuuutukuutunmnmnmnmnmnmnmnmnmnm 基于如同crank-nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在前式（2.42）中仅保留直到 的项，即有由式(2.19

5、.3),可令则可得代入上式，则有如下差分格式： （2.45） 它称为douglas差分格式，具有截断误差阶 。2xd122222222212)1211(1)1211(1)211()211(xxxnmxxnmxnmxnmxhduhudukdukdnmxnmxurur)61(211)61(211212)(42hk 例2.1 解初边值问题 0),(),0(sin022tutuxuxututttxttx000 ;0 应用（1） crank-nicolson差分格式，（2）douglas差分格式解上述问题。对每一种情况，令 （r的这个值对douglas格式有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通过上述

6、二个格式的每一个逐层求出 的值。一般而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上述定解问题的理论解，记为 ， 有 记 分别为用高速数字计算机解出的crank-nicolson格式的解，而 分别表示它们对精确解的误差，在 ，时间层n上， 。它们的值由表2.2给出。 201,20rhnmursxeutsindcnss,drdcnrcnssesse,2xnktn0.994 497 915 6300.0000110.000 000 000 0260.489 026 104 192 0.000 022-0.000

7、000 000 051 0.978 172 634 773 0.000 040-0.000 000 000 101 0.956 821 703 419 0.000 079 -0.000 000 000 1980.915 507 772 1340.000 151 -0.000 000 000 3790.643 146 895 7930.000 531 -0.000 000 000 3310.413 637 929 5680.000 683-0.000 000 001 7120.171 096 336 778 0.000 564-0.000 000 001 4170.629 273 956 459

8、0.000 194-0.000 000 000 4850.012 108 818 7400.000 100-0.000 000 000 25780064032016080168421tttttttttttnrscnede 表2.22.3.3 加权六点隐式格式 前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式，古典显示格式及crank-nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。 由得即两边去掉高于二阶导数的项，且用 代替 ，则得差分格式或者 （2.46）这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。 nmxxnmxxnmxnmxn

9、mxnmudkkdudkkdukdukdukdu)1(21)1(121111 ,)1exp()exp()exp(42221422221221221xh2xd10 ,)1 (21 )()(1 ()21 ()1 (1 )1 (1111111212nmnmnmnmnmnmnmxnmxuruuruurururur 显然，当 时，加权六点格式为古典显示格式；当 时，加权六点格式为crank-nicolson隐式格式；当 时，加权六点格式为古典隐式格式。 加权六点格式亦可直接由差商代替导数得到 m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1 m-1,n m,n m+1,n 图2.7：10211nmxnmxnm

10、nmuhuhkuu2212211)1 (1 2.3.4 系数依赖于x,t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导 考虑方程 （2.47）的差分逼近。 已知由其taylor展开式可得据此，可得 （2.48）令代入式（2.48），则因此得差分方程 （2.49.1）22),(xutxatu)21sinh(2xxhd)(12624222hdhdhxxx）（）（24212222124214422122122)1(121)()(121)()(21khtuaxhtuakhxuhxuuuhnmnmnmnmnmnmx)()(111)1(22121222122khuukahtuaxnmnmnmxnm)()(11121)(1)(212412122121122khuuahruukauuhnmnmnmxnmnmnmnmnmx)611(21)611(21)(12121212121nmnmxnmnmxnmnmnmuraurauura 格式（2.49.1）