高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件1 北师大版选修2-2

1、 微积分基本定理：微积分基本定理：即牛顿即牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()()(afbfxfdxxfbaba)()(xfxf它将求定积分问题转化为求原函数的问题。它将求定积分问题转化为求原函数的问题。 牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系间的关系。复习回顾复习回顾例例1 求图形中阴影部分的面积。求图形中阴影部分的面积。 例例2 求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围成平面所围成平面图形的面积。图形的面积。2xy xy2yxxysinxyxy xy 例例3 求图形中阴影部分的面积。求图形中阴影部分的面积。 求由曲线求由曲线 与直线与直线 y =

2、x + 3 所所围图围图形的面积。形的面积。322xxyxoy29)32()3(30230dxxxdxxs动手做一做动手做一做小结小结 求由两条曲线所围成平面图形的面积：求由两条曲线所围成平面图形的面积：（1）画出图形；）画出图形； （2）求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；）求出交点的横坐标，定出积分的上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；的上、下位置； （4）写出面积的定积分表达式，运用微积分公）写出面积的定积分表达式，运用微积分公式计算定积分，求出面积。式计算定积分，求出面积。思考题：思考题：试求下列曲线所围平面图形的

3、面积。试求下列曲线所围平面图形的面积。xoyxy 23xy 11xyabos)(xf)(xg 一般地，由曲线一般地，由曲线 y=f (x)，y = g (x)以及直线以及直线 x = a ， x = b 所围所围成的平面图形的面积为成的平面图形的面积为s，则，则babadxxgdxxfs)()(求由两条曲线所围成平面图形的面积：求由两条曲线所围成平面图形的面积：（1）画出图形；）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；横坐标，定出积分的上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数）确定被积函数，特别要注意

4、分清被积函数的上、下位置；的上、下位置； （4）写出面积的定积分表达式，运用微积分公）写出面积的定积分表达式，运用微积分公式计算定积分，求出面积。式计算定积分，求出面积。 阴影部分由完全对称的两个部分组成，所以只阴影部分由完全对称的两个部分组成，所以只需求出其中的一个部分的面积，就可以求出所要求的需求出其中的一个部分的面积，就可以求出所要求的面积，而第一象限内的部分面积可由积分公式求出。面积，而第一象限内的部分面积可由积分公式求出。 设第一象限内的阴影面积为设第一象限内的阴影面积为 ，则所求面积为，则所求面积为2 ，又因为，又因为1s1s001cossinxxxds2)0cos(cos s =

5、 2 =41s 阴影部分的面积阴影部分的面积是是 4 。分析：分析：解：解：xyxy22xy 与与 的交点是的交点是(0,0) 和和 (2,4) ，所围成的图形，所围成的图形如左图。设阴影部分面积如左图。设阴影部分面积为为s，2xy xy21s2s21ss 分析可知，所求面积为分析可知，所求面积为 ，21ss 其中，其中，38)02(313132032022xxdxs40222202201xxxds解析：解析：解：解：曲线曲线 与与 的的交点为交点为(0, 0)和和(1, 1)。xy xy 1x将阴影部分分成了两份，设为将阴影部分分成了两份，设为 和和 ，1s2s61213210210101023xxxdxdxxs1212122121233