创新设计高中数学(苏教版)第三章第2讲用导数研究函数的单调性与极值

1、抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第2讲用导数研究函数的单调性与极值讲用导数研究函数的单调性与极值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理函数函数f(x)在在(a，b)内可导，内可导，f(x)在在(a，b)任意子区间内都不恒任意子区间内都不恒等于等于0.f(x)0f(x)为为_函数；函数；f(x)0f(x)为为_函数函数(1)判断判断f(x0)是极值的方法是极值的方法一般地，当函数一般地，当函数f(x)在点在点x0处连续时，处连续时，如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，那么，那么f(x

2、0)是是极大值；极大值；1函数的单调性函数的单调性2函数的极值函数的极值增增减减抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_ ，那么，那么f(x0)是极小值是极小值(2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤求求f(x)；求方程求方程f(x)0的根；的根；检查检查f(x)在方程在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右的根左右值的符号如果左正右负，那么负，那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得_；如果左负右正，；如果左负右正，那么那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一在这个根处取得极小值，如果左右两侧符

3、号一样，那么这个根不是极值点样，那么这个根不是极值点f(x)0f(x)0极大值极大值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个考情解读一个考情解读本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不极值也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、三角函数等知识相结合的问题综合题一般作为压等式、三角函数等知识相结合的问题综合题一般作为压轴题出现，难度较大轴题出现，难度较

4、大【助学助学微博微博】抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点自测考点自测抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2函数函数y3x26ln x的单调增区间为的单调增区间为_，单调减，单调减 区间为区间为_ 答案答案(1，)(0,1)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3若函数若函数f(x)ax33x2x恰有恰有3个单调区间，则实数个单调区间，则实数a的的 取值范围是取值范围是_ 答案答案(3,0)(0，)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析f(x)3x2a，由，由f(x)

5、在在1，)上是单调递增函上是单调递增函数，得数，得f(x)0在区间在区间1，)上恒成立，即上恒成立，即3x2a0，x1，)恒成立，故实数恒成立，故实数a3x2在在1，)上的最小上的最小值，即值，即a3.答案答案(，34已知已知a0，函数，函数f(x)x3ax在在1，)上是单调递增上是单调递增函数，则函数，则a的取值范围是的取值范围是_抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2012启东中学一模启东中学一模)若函数若函数f(x)x3x2ax4在区间在区间(1,1)内恰有一个极值点，则实数内恰有一个极值点，则实数a的取值范围是的取值范围是_ 答案答案1,5)抓住抓住2

6、个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考令令g(x)ax2x1a，x(0，)，当当a0时，时，g(x)x1，x(0，)，所以，当所以，当x(0,1)时，时，g(x)0，此时，此时f(x)0，函数，函数f(x)单调单调递减；当递减；当x(1，)时，时，g(x)0，函数，函数f(x)单调递增；单调递增；当当a0时，由时，由f(x)0，抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘

7、3年高考年高考x(0,1)时，时，g(x)0，此时，此时f(x)0，函数，函数f(x)单调递减；单调递减；x(1，)时，时，g(x)0，函数，函数f(x)单调递单调递增增抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出

8、不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论的判别式进行分类讨论抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求f(x)的单调增区间；的单调增区间；(2)若若f(x)在定义域在定义域r内单调递增，求内单调递增，求a的取值范围的取值范围解解(1)f(x)exax1，f(x)exa.令令f(x)0，得，得exa，当当a0时，有时，有f(x)0在在r上恒成立；上恒成立；当当a0时，有时，有xln a.综

9、上，当综上，当a0时，时，f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，)；当当a0时，时，f(x)的单调增区间为的单调增区间为ln a，)【训练训练1】 已知已知f(x)exax1.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在在r上单调递增，上单调递增，f(x)exa0恒成立，恒成立，即即aex，xr恒成立恒成立xr时，时，ex(0，)，a0.当当a0时，时，f(x)ex，f(x)0在在r上恒成立上恒成立故当故当a0时，时，f(x)在定义域在定义域r内单调递增内单调递增抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年

10、高考年高考考向二考向二利用导数解决函数的极值问题利用导数解决函数的极值问题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考x(0,1)(1，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递减单调递减单调递减单调递减极小值极小值f(e)单调递增单调递增由表得函数由表得函数f(x)的单调减区间为的单调减区间为(0,1)及及(1，e)，单调增区间，单调增区间为为(e，)所以存在极小值为所以存在极小值为f(e)e，无极大值，无极大值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 (1)求函数单

11、调区间与函数极值时要养成列表的求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能(2)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点点抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)若若f(x)为为r上的单调函数，上的单调函数，则则f(x)在在r上不变号，结合与条件上不变号，结合与条件

12、a0，知，知ax22ax10在在r上恒成立，上恒成立，因此因此4a24a4a(a1)0(a0)，解得，解得0a1.所以所以a的取值范围为的取值范围为(0,1 抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】 (2011江苏江苏)已知已知a，b是实数，函数是实数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和和g(x)分别是分别是f(x)和和g(x)的导函数，的导函数，若若f(x)g(x)0在区间在区间i上恒成立，则称上恒成立，则称f(x)和和g(x)在区间在区间i上单调性一致上单调性一致考向三考向三利用导数求参数的取值范围问题利用导数求参数的取值范围问题(1)设

13、设a0.若若f(x)和和g(x)在区间在区间1，)上单调性一致，求上单调性一致，求b的取值范围；的取值范围；(2)设设a0，故，故3x2a0，进而进而2xb0，即，即b2x在在1，)上恒成立，上恒成立，所以所以b2.因此因此b的取值范围是的取值范围是2，)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 若若f(x)在区间在区间d上单调增上单调增(减减)，则对任意的，则对任意的xd，恒有，恒有f(x)0(f(x)0)，由此可求出含参数的取值，由此可求出含参数的取值范围，另外，还可由范围，另外，还

14、可由af(x)(af(x)恒成立恒成立af(x)min(af(x)max)，由，由f(x)单调性求出单调性求出f(x)的最大的最大(小小)值，从而可确定参数值，从而可确定参数a的取值范围的取值范围抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 由于函数的单调性可以用来求最值、解不等式和求解由于函数的单调性可以用来求

15、最值、解不等式和求解恒成立问题，所以要灵活应用单调性解题恒成立问题，所以要灵活应用单调性解题 要善于将有关问题转化成单调性问题求解，比如分离要善于将有关问题转化成单调性问题求解，比如分离参数，构造函数等参数，构造函数等规范解答规范解答4函数的单调性及其应用函数的单调性及其应用抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考当当x(0,1)时，时，g(x)0，故，故(0,1)是是g(x)的单调减区间，的单调减区间，当当x(1，)时，时，g(x)0，

16、故，故(1，)是是g(x)的单调增的单调增区间，区间，因此，因此，x1是是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为最小值点，所以最小值为g(1)1.(4分分)抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考点评点评 本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函数的单调性和最值数的单调性和最值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012重庆卷改编重庆卷改编)设函数设函数f(x)在在r

17、上可导，其导函数为上可导，其导函数为f(x)，且函数，且函数y(1x)f(x)的图象如图所的图象如图所示则示则f(x)的极值点分别为的极值点分别为_高考经典题组训练高考经典题组训练解析解析当当x3，则，则f(x)0；当；当2x 1时，时，01x3，则，则f(x)0，所以函数有极大值，所以函数有极大值f(2)当当1x2时，时，11x0，则，则f(x)2时，时，1x0，所以函数有极小值，所以函数有极小值f(2)答案答案2或或2抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考又由又由f(x)ex1x知，当知，当x(，0)时，时，f(x)0，所以，所以f(x)在在(，0)上单调递上单调递减，在减，在(0，)上单调递增上单调递增抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)当当a1，b2时，求曲线时，求曲线yf(x)在点在点(2，f(2)处的切线处的切线方程；方程；(2)设设x1，x2是是f(x)的两个极值点，的两个极值点，x3是是f(x)的一个零点，且的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数证明：存在实数x4，使得，使得x1，x2，x3，x4按某按某种顺序排列后构成等差数列，并求