对坐标的曲线积分

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一1第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 第九章第九章 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系四、小结与思考练习四、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一2oxyabl一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念1 nmim1 im2m1mix iy 1. 变力沿曲线所作功的计算变力沿曲线所作功的计算 ,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常

2、力所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1jyixmmiiii .abfw 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一3求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jqipfiiiiii取1( ,),iiiiiwfmm .),(),(iiiiiiiyqxpw即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一42. 对

3、坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一5返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一601( , , )dlim( ,).niiiiip x y zxpx 01( , , )lim( ,).dniiiiiq x y zyqy 01( , , )dlim( ,).niiiiir x y zzrz 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一7w( , )d( , )dllp x yxq x yy( , )d( , )dllp x yxq x yy( , )d( , )dlp x yxq x yy( ,

4、 , )d( , , )d( , , )dlllp x y zxq x y zyr x y zz( , , )d( , , )d( , , )dlp x y zxq x y zyr x y zzddlp xq ydddlp xq yr z 或返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一83. 对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质1122(ddd;)lllxp xppp x2112d()ddlllqqqyqyydd ,llkkp xp xdd ,llkkq yq y返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一912ddddddlllp xq yp xq y

5、p xq yddddllp xq yp xq y 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一10二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算( ) ,( ) ,xtyt(证明从略证明从略. )返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一11特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 则则.)(:)2(dcyyxxl，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 则则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日

6、星期一12( ) ,( ) ,( ) ,xtytzt( , , )d( , , )d( , , )dlp x y zxq x y zyr x y zz返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一13cos ,sin ,xtytdylx0coscos dtt t2 ,0 ,xxydy0.lx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一142 , ,xxyx120dd(+2 )d1ly xx yxxxx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一152, ,xyxy 120dd(2)d1ly xx yyyyy返回返回上页上页下页下页目录目录2021年

7、11月22日星期一16返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一17解解 由公式由公式 (7),32222220(cos sincossin coscos)diattatatta btt 3322201111sinsin(1)(sin2 )3222atatab tt21(1).2ab2d()dd ,lixy xxyyxz返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一18322 d3dd (3,2,1)(0,0,0).xxzyyx y zabab 计算，其中 是从点到点的直线段例5.解解: 由点向式由点向式, 直线段直线段ab的方程为的方程为tzyx12301 2

8、3: 变到由则有ttztytx322d3ddxxzyyx y z03221 (3 )33 (2 )2(3 )2 dtttttt0318787d4tt 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一19222, ,0.,.xyaixdzxyzz 求其中 为曲线且从 轴正方向看去取顺练.时针方向习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一20三、三、 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系 虽然第一类曲线积分和第二类曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的特性，但是在一定条件下，如在规定了曲线的方向之后，可建立二者之间的联系.( ) ,( ) ,xtyt (

9、),( )( ) ( ),( )( ) d( , )d( , )dlptttqtttp x yxq x yyt返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一21返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一22 由此可见，平面曲线上两类曲线积分之间有如下关系：12( , )d( , )d ( , )cos( , )cosdllp x yxq x yyp x yq x ys123( , , )d( , , )d( , , )d ( , , )cos( , , )cos( , , )cosdllp x y zxq x y zyr x y zzp x y zq x y z

10、r x y zs返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一23内容小结内容小结1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系作业作业习题习题92 2 （3）（）（5）（）（8） 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一24203 图图oyx1a(1,1)b(2,3)23123d(2,1)c1. 计算计算 d()d ,lxy xyxy其中其中 l 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线: (1) 直线段直线段 ;ab(2)22(1)1 ;acbyx抛抛物物线线: :(3)

11、adba( (三角形周界三角形周界) ).思考与练习思考与练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一25解解 (1)直线直线 l 的参数方程为的参数方程为1,0,1.12 ,xttyt故由公式故由公式(6)可得可得 d()dabxy xyxy10(1)(12 )2 dtttt12025(152)d.6ttt203 图图oyx1a(1,1)b(2,3)23123d(2,1)c返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一26d()dacbxy xyxy2221 2(1)1 2(1)14(1)dxxxxxx 232110(10323512)d.3xxxx所以所以

12、acb22(1)1,12,yxx(2)曲线曲线 为抛物线为抛物线 203 图图oyx1a(1,1)b(2,3)23123d(2,1)c返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一27(3)这里这里l是一条封闭曲线是一条封闭曲线, 故可从故可从 a开始开始, 应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.的性质的性质2, 分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线积分然后相 ,ad db ba203 图图oyx1a(1,1)b(2,3)23123d(2,1)c返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一28213d()ddd.2adadxy xy

13、xyxy xx x沿直线沿直线 :2,(13)db xyyy的线积分为的线积分为 31d()d()d(2)d0.dbdbxy xyxyyxyyy25d()dd()d.6baabxy xyxyxy xyxy 所以所以 3258d()d0.263lxy xyxy 沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可由(i)及公式及公式(5)得到得到: ba由于沿直线由于沿直线:,1(12)ad xx yx的线积分为的线积分为返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一29 2.计算计算dd ,lx yy x 这里这里 l 为为: (1) 沿抛物线沿抛物线22,yxob从从到到 的一段的一段(图图20-4); (2) 沿直线沿直线:2 ;obyx(3) 沿封闭曲线沿封闭曲线.oabo120 (4 )2dxxxx12066d2.3xxddlx yy x解解 (1)204图图oy(1, 2)b1(1,0)a2x返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日星期一30142.210dd(22 )dlx yy xxxx(2)204图图oy(1, 2)b1(1,0)a2x返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月22日