函数的单调性、极值

1、海安县立发中学高三数学备课组海安县立发中学高三数学备课组执教者执教者 黄芳黄芳1.会用导数求函数的单调区间。2.会用导数求函数给定区间上的极值和最值。学习目标学习目标设函数设函数y=f(x)，如果在某个区间内如果在某个区间内f (x)0，则，则f(x)为该区间上为该区间上的的 ;如果在某个区间内如果在某个区间内f (x) 0，则，则f(x)为该区间为该区间上的上的 。增函数增函数 减函数减函数 知识点回顾知识点回顾1 1、函数的单调性与导数、函数的单调性与导数( )0f xyoa xbx 2yxaxbo( )0f x 1解解:(1)函数的定义域为函数的定义域为r.例例1 1 利用导数利用导数确

2、定下列确定下列函数的单调函数的单调区间区间236=3(x+ 2)(x- 2)yx 0,22yxx 令解得或0,2x 2y令解得-22+22 因此，函数的增区间是（，），（）；减区间是（,）。3(1)6yxx21(2)ln2yxx+解： 函数的定义域是（0， ）211(1)(1)(0)yxxxxxxxx 0,1yx 令解得0, 1yx令解得01+0,1因此，函数的单调增区间是（， ）；单调减区间是（）21(2)ln2yxx33yxax变题：利用导数确定函数的单调区间22333()yxaxa 解：(1)00(,)ay 当时，恒成立，因此该函数的增区间是，减区间不存在；(2)0,0ayxaxa 当时

3、 令，解得或0yaxa令，解得(,),(,)aa 因此，该函数的增区间是，(,)aa减区间是；(3)00(,)ay 当时，恒成立，因此该函数的增区间是，减区间不存在；0(,)a 综上所述，当时，增区间是；0(,),(,)aaa 当时，该函数的增区间是，(,).aa减区间是求单调区间的一般步骤是：求单调区间的一般步骤是：(3)( )0( )0fxfx解得增区间； 解得减区间.(1)确定函数的定义区间(2)( )fx求注：一般情况下，单调区间不可用注：一般情况下，单调区间不可用“u”来连接，来连接，而用而用“，”或或“和和”来连接。来连接。o11( , ( )p x f xa2xb1x( )yf

4、xyx（1）观察图象，不难发现，函数图象在点p处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（由单调增函数变为减函数）这时在点p附近，点p的位置最高，即 比它附近的函数值都大，我们称 为函数 的一个_ 2()( )f xf x类似地，图中为函数的一个1( )f x 极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为函数的_极大值极大值极小值极小值 极值极值_2 2、函数的极值与导数、函数的极值与导数1( )f x( )f xx xo11( , ( )p x f xa2xb1x( )yf xyx1()f x极大值x x2()f x极小值322( )263,f xxxxr例 已知函数因此x(-，0)0(0，2)

5、2(2，+)y+0-0+y极大值极大值3极小值极小值-5( )fx(1)求的 极 值2( )612fxxx解：6 (2)x x12( )002fxxx令，解得，列表列表因此，当因此，当x=0 x=0时，时，f(x)f(x)有极大值有极大值3 3； 当当x=2x=2时，时，f(x)有极小值有极小值-5.o32x52yo32x52y解解: :由由(1)(1)的分析可知函数的分析可知函数图象的大致形状及走向如图所图象的大致形状及走向如图所示示所以，当所以，当-5a3-5a3时，直线时，直线 与与 的图像有的图像有3 3个不同的交点，个不同的交点，即方程有即方程有3 3个不同的根个不同的根( )yf

6、xya变题答案变题答案：3-5aa或35aa 或当当-5a3时函数有时函数有3个零点个零点当当 时时函数有函数有2个零点个零点3-5aa或当当 时函数有一个零点时函数有一个零点35aa 或(2)x( )3f xaa若关于 的方程有 个不同的根，求实数 的取值范围 方程有方程有2 2个不同的根；个不同的根； 方程有方程有1 1个不同的根个不同的根 ； 试讨论函数试讨论函数h( (x)=f()=f(x)-)-a的零点个数。的零点个数。变题：已知条件改为以下几种情况，试求实数变题：已知条件改为以下几种情况，试求实数a a的取值范围。的取值范围。1 1、确定函数的定义域求极值的一般步骤2 2、求导数求

7、导数( )fx3 3、在定义域内求方程在定义域内求方程 =0 =0的根的根( )fx4 4、检查在方程的检查在方程的 =0 =0根左右的符号，如果左正右负，根左右的符号，如果左正右负，那么函数那么函数 在这个根处取得极大值；在这个根处取得极大值；如果左负右正，那如果左负右正，那么函数么函数 在这个根处取得极小值，在这个根处取得极小值，( )fx( )f x()fx( )yfx例例3 3 如果函数 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数 在区间（3， ）内是单调增函数；函数 在区间（ ，3）内是单调减函数；函数 在区间（4，5）内是单调增函数；当 =-2时，函数 有极小值；当 = 时，函数 有极大值； 当 =3时，函数 有极小值则上述判断中正确的是_.12- 3 - 2 2 3 4 51 -2x yo( )yfx1212( )yf x( )yf x( )yf x( )yf x( )yf x( )yf x( )yf xxxx-3 -2 2 3 4 51 -2x yo( )yfx( )yf x 答：答：1.(2,)24( )2f xxx函数的极大值和极小值分别是( )lnf xxx函数的单调减区间是12. (0, )e3.3.极大值极大值3,3,极小值极小值11 1、( )(2)xf xxe函数的单调减区间是巩固练习