利用函数观点解决方程解问题（吕卓亮）

1、题目：利用函数观点解决方程解问题作者:吕卓亮 单位:阳春一中 科组:数学联系 邮政编码：529600 电子邮箱:feneyun060307(3) 利用函数观点解决方程解问题内容摘要：本文主要运用数形结合的思想与方法，通过将一些方程解问题灵活转化为函 数图像交点问题，巧妙而商效地解决方程解问题.关键词：方程 函数 数形结合在高中数学中，方程问题有很大局部是有关解的个数、解的分布的问题，这类问题 一般都可以利用方程自身的相关知识(如判别式等)得到解决，思路直接，容易明白. 然而有些时候，也会遇到麻烦：一是方程不是常见的一元一次、-元二次方程，判别式 等不再奏效；二是计算繁杂且容易出错.此时，我们希

2、望能另辟蹊径，找到解决此类问题 的宜.观简捷有效的方法，数形结合的思想与方法正是这样的方法，本文主要是探讨通过 将方程的根的个数及分布问题转化为函数图像的交点及分布问题，而使问题得到简捷有 效的解决.一、不含参数例1：方程2'=尸的解的个数是.分析：方程t = a-2的解的个数等价于函数y = v与y = r图像交点的个数，在同一坐标 系上画出两者的图像，易知有三个交点，从而，方程2'=尸的解的个数是3个.例2：函数v = lgx-的零点所在的大致区间是()xa. (6, 7> b. (7, 8) c. (8, 9) d. (9, 10)分析：函数y = lgx-的零点等

3、价于方程lg.r = -的根等价于函数y = lgx与y = 2图像 xxx交点的横坐标，问题转化为例1的情形，后面解答根本一致.当然此题也可利用零点存在 定理通过凝证各选项而得出正确答案，但显然没有此解法直观.二、含有参数含有参数的方程解的问题，多了 “动”的因素，因此，运用需要动态的研究，而函 数图像极好的充当了这个角色.例3：假设,-l| = k仅有一解，那么实数k的范围是. 分析：同例1、例2思路，令y = |3，-l|, y = a,那么方程仅有一解等价于水平动直线与 固定函数图像仅有个交点，在同坐标系上画出两函数图像，易知，当k=0或k>=l 时，有唯一交点，题目得解.例4：

4、己知方程3./-5x + = 0的一根分布在区间（2, 0）内，另一根分布在区间（1,3）内，求实数a的取值范围.分析：此题可通过求根公式直接求得两根，再求解不等式而得到答案，但繁杂的计算却 让人不想动笔.此时，稍加思考，不难得到其他解题思路，令f（x） = 3x2-5xa,那么问 题转化为函数图像与x轴有两个交点，且一个在（2, 0）内，另一个在（1, 3）内，/（-2）>0此时只需，解之得12vav0./<0/> 0例5：/（x） = x2+->证明：当绘3时，关于x的方程fix） = f（a）有三个实数解.x分析：原方程可整理变形为+ 6-岂） = 0,显然，x=

5、a是方程的一个解，于是要 ax证明方程有三个实数解，只需证明方程n =里有两个异于a的实数解.av思路一：令,，=工+ ，），=邑，那么可以得到两函数图像（图略），交点落在第一和第三（ix象限，由a>3,易知两交点横坐标都不等于a,从而原方程有三个实数解.思路二：方程x + a-= 0也可变形为心£=8-再令），= &, y = s-a2x9 （ix画出图像（图略），此时交点落在y轴两侧，且由反证法易得此时，两交点横坐标都不 会等于a,从而，原题得证.例6：己知a （3, 0）, b（0, 3）,抛物线c的方程是> =亍+心+1,抛物线c与线 段ab有且仅有一个公

6、共点，试求实数m的取值范围.分析：此题不算难，易转化为方程有唯解的情形而得到解决，然后此题用这种常规解 法的出错率极高，原因在于审题不清，把线段想当然的以直线看待，从而解答出错，值 得一提的是，此题如采用这种方法解答，由于中间涉及到分类讨论和繁杂的计算，仍然 很难得到完整准确的答案.下面介绍三种直观有效的解法思路：思路一：抛物线与线段有且仅有一个公共点等价于方程组v=一必+""+1有唯一解 y = 3-x(0<x<3)等价丁方程尸一(? + 1)工+ 2 = 0在区间0.3内有唯一实数解设/(x) =尸一(i + l)x + 2, 那么问题又转化为函数y=f (

7、x)的图像在0.3内与x轴有唯一交点(图略)，由 = 0且033,或，(3) = 8 3，”<0解得坏=2捉一1或川>§.3思路二：令y = x2+2, y = (/n + l).t,那么问题转化为定抛物线与动直线的图像在0,3内 有唯一交点(图略).易知有"】+ 1 = 2扼或巾+ 1 >旦，即"1 = 2龙-1或"1>§.33思路三：将原方程化为m+lf + 2,令)，=小+ 1, y = x + 2,那么问题转化为水平动直 xx线与“双勾函数”图像在0,3内只有一个交点(图略).易知有】" + 1 = 2扼或冶+ 1>¥， 即 m = 2、仔 一 1 或， > :.以上只是其中的儿个例子，我们还可以找到很多这类问题，运用数形结合的思想与 方法，灵活进行方程解与函数图像交点、函数零点的相互转化，能高效的解决问题.本 文主要探讨将方程解问题转化为函数图像交点问题而巧妙解决问题，事实上，不少函数 问题假设能转