2022年七年级数学北师大版下册第三章变量之间的关系32用关系式表示的变量间关系备课素材

1、2 用关系式表示的变量间关系素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入活动内容：随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷图 321 而打电话就要交话费，下表是某同学家长调取的几次通话时间和对应的通话费用：通话时间 ( 分) 1 2 3 4 5 6 通话费用 ( 元) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 (1) 你能说出表格中的两个变量中哪一个是自变量，哪一个是因变量吗？(2) 随着通话时间的增加，通话费用是如何变化的？(3) 如果用字母x 表示通话时间，用字母y 表示通话费用，你能用字母表示它们之间的关系吗？ 说明与建议 说明： 手机是现代生活中最常

2、见的通信工具，通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣 比引入既复习了上节课用表格表示变量间的关系，又引出了关系式的概念并进行了简单的应用，让学生初步经历了用关系式表示变量间关系，培养学生学习数学、应用数学的意识建议：通过熟悉的事物让学生回顾上节所学，理解变量、自变量、因变量、常量等概念；看懂表格，准确得出信息，独立完成解答 板书课题： 2 用关系式表示的变量间关系 置疑导入同学们， 你知道你穿的鞋的长是多少厘米以及它是多少码的吗？请量一量用表格表示变量间的关系：鞋的长度 (cm) 23 24 25 26 ,鞋的码数36 38 40 42 ,(1) 表格反映的是哪两个变量之间的关系？谁是自变量？谁

3、是因变量？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -(2) 根据表格中的数据，说一说码数是怎样随长度的变化而变化的如果长度为x，码数为 y，我们能否将y 用含 x 的代数式表示出来？今天，我们就来学习用关系式表示的变量间关系 说明与建议 说明： 让学生经历动手实践，将实际问题抽象为数学问题的过程，感受数学知识与生活的联系，激发学生的学习兴趣，也

4、为新课的学习做好铺垫建议：先让学生自己量一量，然后用表格表示变量间的关系，结合表格复习回顾上节课的内容复习导入在“小车下滑的时间”中：支撑物的高度h 和小车下滑的时间t 都在变化， 它们都是 _变量 _其中小车下滑的时间t 随支撑物的高度h 的变化而变化，支撑物的高度 h 是_，小车下滑的时间t 是_ 说明与建议 说明：通过复习回顾变量、因变量、自变量的概念，加深理解变量有关的概念建议：引导学生回顾上节课“小车下滑的时间”的问题情境，回答哪些是变量？哪些是自变量？哪些是因变量？素材二教材母题挖掘教材母题第66 页做一做图 322 如图 322，圆锥的高是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时

5、，圆锥的体积也随之发生了变化(1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2) 如果圆锥底面半径为r(cm) ，那么圆锥的体积v(cm3) 与 r 的关系式为 _(3) 当底面半径由1 cm变化到 10 cm时，圆锥的体积由_cm3变化到 _cm3. 【模型建立】用关系式表示变量之间的关系，其基础是列代数式，用一个含有自变量的代数式表示因变量，而当给出自变量的值时，利用求代数式的值的方法代入计算即可【变式变形】1一根蜡烛长20 cm，每小时燃烧5 cm，点燃后剩下的高度h(cm) 与燃烧时间t(h) 之间的关系式为 _ 答案： h205t 2如图 323 所示，长方形的长为12，宽为 x

6、，若设长方形的面积为s，则面积 s与宽 x 之间精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -有什么关系图 323 (1) 若用 c表示长方形的周长，则周长c与宽 x 之间的关系是_；(2) 当 x 增加一倍时，长方形的面积s是_，周长 c是_；(3) 当 x _时，长方形会变成一条线段 答案： s 12x (1)c 2(12 x) (2)s 24

7、x c2(12 2x) (3)0 3烧一壶水，假设冷水的水温为20 ，烧水时每分钟可使水温提高8 ，烧了 x 分钟后水壶的水温为 y ，当水开时就不再烧了(1)y 与 x 的关系式为 _，其中自变量是_，它应在 010 范围内变化(2) 当 x 1 时， y _；当 x5 时， y_(3) 当 x 3.5 时， y_；当 x 7.5 时， y_ 答案： (1)y 20 8x 时间(2)28 60 (3)48 80 素材三考情考向分析 命题角度1 根据关系式进行计算在已知关系式的前提下，任意给出自变量或因变量的值都能用代入计算的方法求解另一个变量的值如课本第67 页随堂练习第1 题例声音在空气中

8、传播的速度y( 米/ 秒) 与气温 x 之间有如下关系：y35x331. (1) 在这一变化过程中，自变量是_，因变量是 _；(2) 当气温 x15 时，声音速度y_米/ 秒；(3) 当气温 x22 时，某人看到烟花燃放5 秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距 _米 答案： (1) 气温速度(2)340 (3)1721 命题角度2 动点问题中的关系式动点问题往往伴随着几何图形的面积的计算，根据动点和顶点构造的特殊几何图形，通过对其面积的表示得到相应的关系式，进而发现其变化的规律如课本第68 页习题 3.2 第 3 题例如图 324，在rtabc中，已知 c 90，边 ac 4 cm，

9、bc 5 cm，点 p为 cb边上一动点，当点p沿 cb从点 c向点 b运动时， apc的面积发生了变化精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -图 324 (1) 在这个变化过程中，自变量是_，因变量是 _；(2) 如果设 cp的长为 x cm， apc的面积为y cm2，则 y 与 x 的关系可表示为_；(3) 当点 p从点 d(点 d为

10、bc的中点 ) 运动到点 b时， 则apc的面积从 _cm2变到 _cm2. 答案： (1)cp apc的面积(2)y 2x (3)5 10 素材四教材习题答案p67 随堂练习1在地球某地，温度t( ) 与高度d(m)的关系可以近似地用t 10d150来表示 . 根据这个关系式，当d的值分别是0，200， 400， 600，800，1000 时，计算相应的t值，并用表格表示所得结果解：见下表d/m02004006008001000 t/ 108.677.3364.673.33 2. 仿照“议一议”中的(2) ， 你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？解：二氧化

11、碳排放量随自来水用量的增加而增加p68 习题 3.2 1地表以下岩层的温度y( ) 随着所处深度x(km) 的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y35x 20 来表示 . 当x的值分别是2，3，5，7，10，13 时，计算相应的y值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -解：见下表x/km23571013 y/ 9012

12、5195265370475 2. 如图，圆锥的底面半径是2 cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化(1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2) 如果圆锥的高为h(cm) ，那么圆锥的体积v(cm3) 与h的关系式为 _(3) 当高由 1 cm 变化到 10 cm 时，圆锥的体积由_cm3变化到 _cm3. 解： (1) 高是自变量，体积是因变量(2)v43h(3)434033如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是 8. (1) 梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？(2) 用表格表示当x从 4 变到 14 时( 每次增加 1) ，y的相应值；(3)

13、当x每增加 1 时，y如何变化？说说你的理由(4) 当x 0 时，y等于什么？此时它表示的是什么？解： (1)y 4x60. (2) 填表略(3)x每增加 1 时，y增加 4. 理由略(4) 当x 0 时，y 60. 此时它表示的是三角形的面积理由略4 具体计算一下你家本月的二氧化碳排放量，并与小明家相应的项目进行比较，谁家的生活更 “低碳”些？解：略素材五图书增值练习专题一用关系式表示两个变量之间的关系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - -

14、- - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -1某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数x（千克）x202040 每千克价格8 元7 元6 元若小强购买香蕉x千克（x大于 40 千克）付了y元，则y关于x的关系式为 . 2. （1）某礼堂共有25 排座位，第一排有20 个座位，后面每一排都比前一排多1 个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：当后面每一排都比前一排多2 个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式是（1n25，且n是正整数）；当后面每一

15、排都比前一排多3 个座位、 4 个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是，（ 1n25，且n是正整数）；某礼堂共有p排座位， 第一排有a个座位， 后面每一排都比前一排多b个座位， 试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式专题二用关系式求值3 一 棵 树 苗 ， 栽 种 时 高 度 约 为80厘 米 ， 为 研 究 它 的 生 长 情 况 ， 测 得 数 据 如 下 表 ：（1）此变化过程中是自变量，是因变量；栽种以后的年数n/ 年高度h/ 厘米1 105 2 130 3 155 4 180 ,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

16、 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为；（3）栽种后后，树苗能长到280 厘米4某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：每月每户用水量每吨价（元）不超过 10 吨部分0.50 超过 10 吨而不超过20 吨部分0.75 超过 20 吨部分1.50 （1）现已知小伟家四月份用水18 吨，则应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式

17、（3）若已知小伟家五月份的水费为17 元，则他家五月份用水多少吨？【知识要点】1用关系式表示两个变量间的关系两个变量间的关系有时可用一个含有两个变量的数学式子表示出来，这种表示变量间关系的方法叫关系式法 . 2根据关系式求值利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可根据因变量的值求出相应自变量的值 . 【温馨提示】1 写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式. 2 自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义. 3实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来. 【方法技巧】列关系式的关

18、键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系. 根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -答案：1y=208+207+6(x-40) 2解：（ 1）找出座位数m与排数n之间的关系：第一排：20+0；第二排： 20+1；第三排：20+2；, 第n排： 20+（n-1）. 可得规律m=n+1

19、9，1n25每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式为m=n+19， 自变量n的取值范围为1n25（2）根据题意： 第一排有20 个座位， 当后面每一排都比前一排多2 个座位， 则可以得出：每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是m=20+2 （n-1 ）， 故答案为m=2n+18；同理，当后面每一排都比前一排多3 个座位时，m=20+3（n-1 ），故m=3n+17；当后面每一排都比前一排多4 个座位时，m=20+4（n-1 ），故m=4n+16；每一排多出b个座位第n排多出b（n-1 ）个座位， 第n排的座位数为a+b （n-1）m=bn+a-b（1np），且n是正整数3解：（ 1）此变

20、化过程中是自变量栽种以后的年数，树苗的高度是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n的关系式为h=80+25n；（3）当h=280 时，n=8，故栽种后8 年后，树苗能长到280 厘米4解：（ 1）0.5 10+0.75（ 18-10 ）=11. 答：应缴纳水费11 元. （2）当 0 x 10 时，y=0.5x；当 10 x20 时，y=0.510+0.75(x-10) ；当x20 时，y=0.510+0.75(20 -10)+1.50(x-20)=1.5x-17.5. （3）0.5 10=5，0.5 10+0.75（20-10 ）=12. 5. 17 12. 5 ，他家用水必定超过了20 吨

21、. 故可设他家用水a吨，由题意得：0.5010+0.75（ 20-10 ）+1.50 （a-20）=17，解得a=23. 答：他家五月份用水23 吨 . 素材六数学素养提升如何确定两个 变量 之间的关系式表示自变量和因变量之间的关系的数学式子叫做关系式利用关系式我们可以根据任何精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -一个变量的值求出相应的因变

22、量的值，知道两个变量的变化趋势，进一步研究问题的特征那么如何才能正确地确定两个变量之间的关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式常见的表示数量之间的关系有以下几种情形：（1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数 +较小的数，较大的数=较小的数倍数增（或减）数（2）行程类问题，即路程=速度时间（3）工程类问题，即工作量=工作效率工作时间（4）浓度类问题，即溶质质量溶液质量浓度（5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系（

23、6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变（7）数字类问题，即有若个位上数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为10010cba，等等（8）经济类问题， 即利息本金利率期数；本息和本金+利息本金 +本金利率期数； 税后利息本金利率期数（ 1利息税率） ；商品的利润商品的售价商品的进价；商品的利润率商品进价商品的利润100（9）增长（或降低）率问题，即实际生产数计划数1+增长率（减少率），增长率计划数增长数100（10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等为了说明这些问题，现举几例说明，供同学们学习时参考例 1长方形的长是20，

24、宽是x，周长是y，面积是s（1）写出x和y之间的关系式；（2）写出x和s之间的关系式；（3）当200s时，x等于多少？y等于多少？（4）当x增加 1 时，y增加多少？s增加多少？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -简析 （1）由长方形的周长公式，得2(20)240yxx；（ 2）由长方形的面积公式，得20sx； （ 3）200s时，10

25、x，60y； （ 4）当x增加 1 时，有12020sx；所以， 当x增加1时，s增加20；12(1)40(240)2yxx，所以当x增加1时，y增加2说明在写关系式时要经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握例 2 圆柱的底面半径为10cm，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，（1）在这个变化过程中自变量是什么？因变量是什么？（2）设圆柱的体积为v，圆柱的高为h，则v与h的关系是什么？（3）当h每增加 2，v如何变化？简析（1）由于圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，所以自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积v；（ 2）当圆柱的体积为v，圆柱的高为h，则v与h的关系是v

26、100 h；（3）由于100200vhh(+2)=100 ，所以当h每增加 2 时，v增加 200（3cm）说明这里借助于圆柱的体积公式使问题获解例 3一根弹簧的原长是12cm，它能挂的重量不能超过15kg，并且每挂重1kg就伸长12cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的关系式，并说出x和y的最大取值简析依题意，挂重后的弹簧长度y（cm） 与挂重x（kg） 之间的关系式是y12x+12，由于挂的重量不能超过15kg，所以x的最大取值是15，而y12x+12，所以当x15 时，y1215+1219.5 ，即y的最大取值是19.5 说明一般情况下自变量与因变量的取值是相对应的例 4点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为 21 的蜡烛， 点燃 10 分钟，变短 3 6cm，设点燃x分钟后，蜡烛还剩ycm，求y与x之间的关系；此蜡烛几分钟燃烧完？简析依题意可知点燃1