高三数学导数及其应用

1、导数及其应用知识体系总览平均变化导 数 概瞬时变化导导数的几何数几个初等函数的导数的运算函数的单调导数在研究函数中的生活中的优化问题函数的极值和最3.1 导数的概念知识梳理1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为 s f (t ),则物体从 t 到 t t 这段时间内的平均速度 v(t, t )f (tt ) f (t) ；一般tf ( x2 )f ( x1)的，函数 f (x) 在区间 x1 , x2 上的平均变化率为x2x1。2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很

2、短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。 当平均速度 v(t, t)f (tt)f (t ) 中的tt 无限趋近于 0 时，平均速度 v(t, t)f (tt )f (t) 的极限称为在时t刻 t 的瞬时速度 v(t) ，记作 v=s = f (tt) f (t ) ( t0)。求瞬时速度的tt步骤为：(1)设物体的运动方程为 s f (t ) ；(2)先求时间改变量t 和位置改变量sf (tt )f (t);(3)再求平均速度sf (tt)f (t)v(t , t)tt(4)后求瞬时速度：瞬时速度 v= s = f (tt)f (t ) ( t0) .tt3. 求函数 y

3、f (x) 的导数的一般方法：（1）求函数的改变量 y f (xx)f ( x) （2）求平均变化率yf (xx)f (x) xxy ( x（3）取极限，得导数 y / f ( x)0) x4. yf (x)上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线方程为 yf (x0 ) f / (x0 )( x x0 ) ;3.1.1问题探索求自由落体的瞬时速度典例剖析题型一平均速度例 1已知自由落体运动的位移s(m)与时间 t(s)的关系为 s=1 gt 2，2计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、3.0001 秒.各段内平均速度（ g9.8 ）。分析：先求出s，再求出 vs ，即

4、为各段时间内的平均速度。t解：设 t(td) t 指时间改变量；s = f (t d )f (t ) 指路程改变量。则 s = f (td )f (t)1 g(td )21 gt 2gtd1 gd 2 ；222sgtd1 gd 21 gdv2gttt2所以 t 从 3 秒到 3.1 秒平均速度 v2.989 ；t 从 3秒到 3.001 秒平均速度v29.4049 ；t 从 3秒到 3.0001 秒平均速度v29.40049；评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均 速 度的 变 化 情况； 可见 某 段 时间 内 的平均 速度 vs 随tt (t d ) t d变化而

5、变化。题型二瞬时速度例2. 以初速度为 vo (vo0) 做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s(t )vo t1 gt 2 , 求物体在时刻 t=m 处的瞬时速度。2分析：先求出平均速度s , 求瞬时速度。t解：s vo (mt)1 g (mt )2(vom1 gm2 )22ss( mt)s( m)vogm1 gdtt2ys(mt)s( m)(vogm1 g t)(t 0) vogmtt2所以物体在时刻 m 处的瞬时速度 vogm 。评析：求瞬时速度， 也就转化为求极限， 瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的， 只要知道了物体的运动方程， 代入公式就可以求出瞬时速度了 .

6、备选题例 3：设函数 f ( x) x 21，求：（1）当自变量 x 由 1变到 1.1时，自变量的增量x ；（2）当自变量 x 由 1变到 1.1时，函数的增量y ；（ 3）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；解：（1） x 1.1 1 0.1（2） y(1.121)(121)0.21（3）y0.2121x0.1评析：本题也可以由yf ( xx)f (x) 直接求解。xx点击双基1. 在求平均变化率中，自变量的增量x （）x0x0x0x0解：故选 D2.一质点的运动方程是，则在一段时间1,1t 内相应得平均速度为：（） 3 t6 3 t6 3t6 3 t6解：平均速度

7、= s(1t )s(1) = 53(1t) 22 =3t 6 ，故选 D(1t)1t3、在曲线 y=x2的图象上取一点 （）及邻近一点（）+11,21+ x,2+ y,则 x 为（）yA.x+ 1 +2B.x 1xx 2C.x+2D.2+x 1x解:x = (1x) 21 (1 1) = x+2，故选 Cyx4. 一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s=2t-3 t 2 , 则物体的初速度是解：平均速度 = s(t) s( 0) =2-3t,当 t 趋向 0 时，平均速度趋向 2.t5. 一个物体的运动方程为 s1 t t 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时

8、速度是解： s(3 t )s(3)t 5( t 0) 5t课外作业：一选择题1、若质点 M 按规律 st 3 运动，则 t 3秒时的瞬时速度为（）A2B9C27D81解： s(3 t )s(3)t 29 t27(t0)27 ，故选 Ct2、任一做直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是 s 3tt 2 ，则物体的初速度是（）A 0B3C2D 3 2t解： s(0 t )s(0)t 3(t0)3，故选 Bt3、设函数 yf x ，当自变量 x 由 x0改变到 x0 x 时，函数的改变量 y为（）Af x0xf x0xf x0Bf x0xCf x0xD解： y = f x0xf x0，故选

9、D4、物体的运动方程是 s4t 216t ，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为 ()A t 1B t2C t3D t 4解： s(tt )s(t )4 t8t16(t0)8t16 0, t2，故选 Bt5、一个物体的运动方程为 s1tt 2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 1 秒末的瞬时速度是（）A3 米/秒B2 米/秒C1 米/秒D4 米/秒解： s(1 t )s(1)t 1( t0) 1，故选 Ct6、在曲线 y3 x2 的图象上取一点（ 1, 3 ）及附近一点 1x, 3y ，222则 y 为（）xA3x31B321xx32x解： y = 3x3，故选 Cx23x 31

10、2xC3x 3D27.物体的运动规律是s s(t ) ，物体在 t ,tt时间内的平均速度是（）ss( t) vs(tt )s(t )vttts(t )当t0s(tt) s(t)vt时，v0t解：由平均变化率知故选 B8. 将边长为8 的正方形的边长增加a, 则面积的增量S 为（）A16 a 2B.64C.a2 +8D.16a+ a 2解： S =S （8+a）-S（8）=（8+a )2 -82 =16 a+ a 2故选 D二填空题：9、已知一物体的运动方程是s6t 25t7 ，则其在 t_时刻的速度为 7。解： s(tt ) s(t )6 t 12t 5( t0) 12t 5 7, t 1t

11、10. 物体运动方程 y= x 2 +3x，则物体在时间段 2,4 上的平均速度为解：平均速度 = (423 4)(223 2)=94211、当球半径 r 变化时，体积 V 关于 r 的瞬时变化率是4(rr )34r 3r 2 ;所以瞬时变化率是解：v = 3r3=4 r 24 r r4r34 r 2 。三解答题：12、环城自行车比赛运动员的位移s 与比赛时间t 满足 s10t5t 2（ s的单位：米，t的单位：秒） 求 t 20, t0.1时 s与 s 。t解 s s(20t ) s(20) 21.05s21.05t210.50.113. 设一物体在 t 秒内所经过的路程为s 米，并且 s4t 22t3 ，试求物体在运动第 5 秒末的速度。解：s (5)4(5t )22(5t) 4(525) ( x 0) (42 4 t )( x0) 42t14、求函数 y=- x 2 +4x+6 在 x=2 时的瞬时变化率解：平均变化率 = ( ( x x)24( x x) 6) ( x24x 6) =-2x+4- xx当