人大微积分课件104对面积的曲面积分

1、第四节对面积的曲面积分第四节对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .一、概念的引入 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, , 函数函数),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小块小块is （is 同时也表示同时也表示

2、第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）, ,设点设点),(iii 为为is 上上任意取定的点任意取定的点, ,作乘积作乘积 ),(iiif is , ,并作和并作和 niiiif1),( is , , 如果当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时, , 这和式的极限存在这和式的极限存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxf在曲面在曲面 上对面积上对面积的的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .1.1.定义定义二、对面积的曲面积分的定义即即 dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 记为记为 dszyxf),(. dszyxf),

3、( 21),(),(dszyxfdszyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 ;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：三、计算法;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx dszyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy dszyxf),(),(zyxx ：若曲面若曲面3.3.则则)

4、,(zx ：2.若曲面 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分. 例例1 1积积分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxy dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdsyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计计算算dsxyz |,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐

5、标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xds, 其其中中 是是圆圆柱

6、柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1d：122 yx显显然然 011 dxdxdyxds, 01112 ddxdyxxds讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xds 31xds 32xds（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzdzxdxdzyyx2212xoz xzddxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xds 00. 计算计算dszyx)(222 , 其中其中 为内接于球面为内接于球面2222azyx 的八面体的八面体azyx |表面表面.例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积分曲面积分曲面 也具有对称性也具有对称性 , 故原积分故原积分 18, (其其中中1 表表示示第