D13函数的极限1

1、目录 上页 下页 返回 结束 3.2 函数极限的性质函数极限的性质 3.3 两个重要极限两个重要极限 3.4 函数极限的存在准则函数极限的存在准则3.1 函数极限的概念函数极限的概念 第一章 第三节 函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 3.1 函数极限的概念函数极限的概念是当是当它与函数满足下列关系：一、自变量x无限趋大时的函数极限如果存在常数设是任一函数那么称恒有使得定义3.1（时的函数的极限）x + : ,)fra+ ().raar0,e 0,m$,xm ( ),f xae- 时 , 就有1sin0 xe-因此1lim sin0.xx + =目录 上页 下页 返回 结束 1. 0 xx

2、 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为a )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xax二、自变量趋于有限时函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义3.2 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当若记作aa几何解释几何解释:oax0 xy)(xfy 即,0,0当),(0 xux时, 有 axf)(axfxx)(lim0目录 上页 下页 返

3、回 结束 例例3.2 证明224lim4.2xxx-=-证证:axf)(2442xx-=-欲使,0取,de=则当02xd-时, 就有244,2xxe-因此,)( axf只要2,xe-224lim4.2xxx-=-2,xe=-2221,4442xxxx-=-+则限制021,x-22.4212xxx-+221.44xxe-因此，只要2,12xe-min1,12 ,de=取且即212 ,xe-021.x-则当时，02xd-是常数），若a时0,(0, ),eda $ 0 xx为当或,ra它与f满足下列关系：使得则称( )f x的左极限，记作：存在常数恒有0( )().f xa xx-00(0)lim(

4、 )xxf xf xa-=2. 单侧极限单侧极限 ( ),f xae-$ 则对于使得00 xx时, 恒有当( ).f xae-恒有,n$ n使得(),nf xae- 0( ).f xae-使得0(, ),xu xd$ 都取1(),nnnd+= n则,n n0(,),nnxu xd$0().nf xae-都使得不成立,假设0lim( )xxf xa=0,lim,nnnxxx=lim()nnf xa=数列但是却不成立.0()u x因此就得到n0,nd由于当时中的一个这与已知条件相矛盾，故必有0lim( ).xxf xa=目录 上页 下页 返回 结束 3.2 函数极限的性质函数极限的性质定理定理3.

5、2 设0lim( ),xxf xa=则0(),nxu x0 x(1) 唯一性唯一性. ( )f x时，0,0,md$0lim( ),xxf xa=当处是局部有界的，即( ).f xm从而有恒有部有界.0(, ),xu xd ( )1,f xa-0(, ),xu xd 0(, ),xu xd 0,a0,d$ (1) 局部保号性局部保号性.则使得若( )f x0,d$ 都与a 同号. 特别地，若a 0(若则( )( ),f xg x0(, ),xu xd 恒有使得都有( )( )( ),f xxg xj且a b, 则0lim( ).xxxaj=目录 上页 下页 返回 结束 00lim( ), li

6、m( ),xxxxf xag xb=定理定理 3.4 (有理运算法则)其中设则(3)0lim ( )( )xxf xg x=00lim( )lim( )xxxxf xg x;ab=(1)(2)0lim( ) ( )xxf x g x=00lim( )lim( )xxxxf xg x =;ab0( )lim( )xxf xg x=00lim( )lim( )xxxxf xg x=,ab(0).b 推论推论 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxp试证).()

7、(lim00 xpxpnnxx目录 上页 下页 返回 结束 1.对于多项式，直接带入即可。（由例1知）具体极限求法具体极限求法) 12(lim3xxxx2lim31lim3x51321lim23xx例：2.对于有理分式 (1) 若 直接带入即可351lim232xxxx3252122337,)()()(xqxpxr,0)(0 xq例：)(0 xx 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时,3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因(2) 若,0)(0 xq,0)(0 xp不能直接用商的运

8、算法则 .目录 上页 下页 返回 结束 “ 抓大头抓大头” x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例.934lim223xxxx) 3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231(3) 若,0)(0 xq,0)(0 xp要先约去零因子再求极限 .,分子.分母3.对于有理分式 ,)()()(xqxpxr)(x目录 上页 下页 返回 结束 例. 求.125934lim22xxxxx解解: ,分子时x.分母22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54原式,分子时x.分母目录 上页 下页 返回 结束 例. 求.52123lim232xxxxx解解: ,分子时x.分母33

9、2111115223limxxxxxx分子分母同除以,3x则0原式,分子时x.分母目录 上页 下页 返回 结束 例. 求.12352lim223xxxxx解解: 0,分子时x.分母52123lim232xxxxx12352lim223xxxxx目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当目录 上页 下页 返回 结束 4. )(331) 2)(1(limxxxx)1311(lim31xxx321131limxxxx211)2(limxxxx1111)21

10、(25. n个数求和然后求极限，应先求和，再求极限2222321limnnnnnn)11(21limnn2122) 1(limnnnn目录 上页 下页 返回 结束 6 (夹逼性)证明0limcos1.xx=000limcoslim1(1cos )1lim(1cos )1.xxxxxx=-=-=7 （定义）证明（定义）证明000lim1, lim.xxxxxxeaa=证：证：先证先证0lim1.xxe+=对于任给的对于任给的0,e利用夹逼准利用夹逼准证证: 由于由于22222201cos2sin2( ),xxxx-=所以所以0lim(1cos )0,xx-=则得则得为使为使1,xee-只要只要l

11、n(1).xe+取取ln(1),de=+时，就有时，就有则当则当0 xd1,xee-00(,),xu xd 0,( )g xu00lim( ( )lim( ).xxuuf g xf u= 说明说明: 若定理中若定理中0lim( ),xxg x 则类似可得0lim ( )xxf g xaufu)(lim目录 上页 下页 返回 结束 0lim( ),uuf ua=证证恒有使得由于故10,d$01(,),xu xd 0( ).g xuh-使得注意到已知条件：都有01min , ,dd d=取恒有0(, ),xu xd 0( ),ug xu=则0,0,eh $ ( ).f uae-故对上式中的( (

12、).f g xae-即0(, ),uu uh有00,uuh-目录 上页 下页 返回 结束 例例3.4. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxuux3lim6131lim3xx 原式 =uu61lim6166目录 上页 下页 返回 结束 例例3.5 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2目录 上页 下页 返回 结束 1sincosxxx圆扇形aob的面积3.3 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 x

13、xx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有aob 的面积aod的面积xxxcos1sin1故有注 obax1dc目录 上页 下页 返回 结束 例例3.6 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3.7 求201coslim.xxx-解解: 原式=22202sinlimxxx=2021 sinlim2xxx骣=桫122021sinlim2xxx骣=桫目录 上页 下页 返回 结束 2.

14、1lim(1)exxx+=证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnne1lim(1)exxx目录 上页 下页 返回 结束 当x, ) 1( tx则,t从而有1lim (1)xxx ) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故1lim(1)exxx说明说明: 此极限也可写为e)1 (lim10zzz时, 令目录 上页 下页 返回 结束 例例3.8 求2lim(1)

15、.xxx-解解: 令2 ,xt= -则2lim(1)xxx-=21lim(1)ttt-+ 1limt21(1) tt+21e=例例3.9 求10lim(1) .xxx+解：令 则当101lim(1)lim(1)e.xtxtxt=+=+=1,xt=0 x 故时，.t目录 上页 下页 返回 结束 例例3.10. .)23(lim2xxxx求解解:422)211 ()211(limxxxx原式.2e limx例例3.11. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1目录 上页

16、下页 返回 结束 3.4 函数极限的存在准则函数极限的存在准则确界定义确界定义设有函数设有函数( )r f:,farr彤若其值域()sup( )sup ( ) inf( )inf( ) .x ax ax ax af xr ff xr f挝挝=f上的上(下)确界，记作有上是( )( )r ff a=的上(下)界(下)界，则称 f在a上有上(下)界，并称( )r f在a上的上(下)界，称的上(下)确界是 f 在 a如果如果 f 在在a上既有上界又有下界，则称上既有上界又有下界，则称 f 在在a 上上有界.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.6 单调有界准则单调有界准则(1) 设有函数 f 在

17、区间上单调增上单调增(减减) ,)()raa+ 00(,),()( ).xxaf xf xaaee$+ 0().f xae-故必由于,x + 又由于 f 单调增，从而有即lim( ).xf xa + =( ,)xa+ 使得0,xx存在目录 上页 下页 返回 结束 (2) 设有函数设有函数 f 在在区间 i上单调增上单调增.0(, )xuxh-的任意一点的任意一点. 由于 f 单调增单调增，所以所以都有都有0( )(),f xf x从而从而 f 在在0(, )uxh-上有上界，故有上上有上界，故有上定理定理3.7 cauchy 收敛定理收敛定理类似可证类似可证0lim( )xxf x+也存在也存

18、在.设设0 x是是 i 内内确界确界.其中其中存在的存在的是任一函数是任一函数, 则则设设0:()f u xr0lim( )xxf x充分必要条件是充分必要条件是恒有恒有0,0,ed $ 120,(, ),x xu xd12()(),f xf xe-00(, )().u xu xd目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或m定义及应用2. 函数极限的性质:唯一性；思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3是否一定有1, 121,2xxxxa？局部保号性； 局部有界性单调有界准则； 柯西收敛准则夹逼性；有理运算法则； 复合运算法则运算法则：3. 函数收敛准则：目录 上页 下页 返回 结束 3.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 ,与已知条件矛盾.问目录 上页 下页 返回 结束 4. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令