材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算

1、第5章扭转杆件的强度和刚度计算5.1圆轴扭转时的应力和变形计算5.2圆轴扭转时的强度和刚度计算5.3非圆截面杆的自由扭转简介5.1圆轴扭转时的应力和变形计算一、描述变形的指标二、薄壁圆筒的扭转三、等直圆杆扭转的应力、描述变形的指标m*扭转角（°）:任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（刃直角的改变量m*平面假设横截面象刚性平面一样绕轴线 转过一个角度。八薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒:壁厚喇1、实验:返回:为平均半径）*实验后:m圆周线不变;纵向线变成斜直线。b-a mdx*结论各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度r所有矩形网格均歪

2、斜成同样的平行四边形o殳微小矩形单元体： 无正应力 横截面上各点， 只产生垂直于半径的 均布的剪应力万，沿周 向大小不变2、薄壁圆筒剪应力:Ar-dA-r0 = M 斤心"4二厂2疋心心MdAAo：平均半径所作圆的面积。3、剪应力互等定理、产；、7/ tdxZTtdxdy- 丁'$dxdy工阻=0纯剪切应力状态4、剪切虎克定律:T ofz y t = Gy*重要关系剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比卩是 表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材 料：匚、等直圆杆扭转的应力1、实验观察：w横截面仍为平面;返回轴向无伸缩;纵向线变形后仍为平行。2、横截面上的应力：1) 变形几何关

3、系：d(p距圆心为。任一点处的乙与到圆心的距离°成正比Od(pdx扭转角沿长度方向变化率。2) 物理关系虎克定律：t gy3) 静力学关系二 字 dAax令 Ip = fA p2AAM = Mn dx _ GIp代入物理关系Mi普得:TPMnP*讨论:MnP仅适用各向同性、线弹性材料，小变形 的圆截面等直杆。伽一横截面上的扭矩，由平衡方程求得。P该点到圆心的距离切一极惯性矩，纯几何量（3）切的计算对于实心圆截面:/# = J A q2(14D=防.2“龙=孔0332单位：mm4, m4MD对于空心圆截面：= h bdAD2=j/?2d_2z d= -(D4-)二万)327rD32(l

4、-a4)«0.1D4(l-a4) 应力分布max（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。 确定最大剪应力d2tpd2Mn% 抗扭截面系数（抗扭截面模量）mm3m3对于实心圆截面:WP=IP/R = ttD3/1 6 A 0.2D3对于空心圆截面：%=匚/尺=也3(_&4)/60.2D3(l-a4)5.2圆轴扭转时的强度和刚度计算5.2.1圆轴扭转时的强度计算5.2.2【轴扭转时的刚度计算523圆轴扭转时斜截面上的应力5.2.1圆轴扭转时的强度计算返回强度条件：T < t（t:许用剪应力）mdA L 对于等截面圆轴:*强度的

5、三种计算: 校核强度： 设计截面：%W >W实：加P/1 6jrD3空：叱（U1616求许可载荷：M<WJr"上 HiraxP' J16r=30M Pa,试校核其强度。二 1352=75 D,=70MnBC»：作扭矩图，确定危 险截面150x10"2x3.14x15.4(N-m)= 1.55(kNm)x T_M n1.55X103c max 比一力 OW/l 6= 23MPa<rNxlCPm 2m此轴满足强度要求无缝钢管制成的汽车传动轴，外径£) = 90加加, 壁丿孚 r = 2.5 加加,Mnux =.5KNm,r = 60

6、MPa,(1)、校核强度改为实心轴，强度不变，求D,并比较重量(1 ) a -d 90-2.5x2二=二 0.944D90W 广警(1，)=H±0(1_09444) = 29400 mm3.-M max _1500max w 29400 X10-9（2）强度相同= <51MPaWP=53.1mmn>3- -J 16x150°V *兀打 V3.14x51xio6（3）比较重量。空二 41厶了_41 彳（£> -）O_2）Q实 A" A nUx Ux49tf-85251J= 0.31mm5.2.2圆轴扭转时的刚度计算1、扭转时的变形由公式M

7、 = M“dx GIp长为l的两截面间相对扭转角0为(p =（当M为常量时）2、单位长扭转角&(rad/m)型(°/m)71g二收二如 dx GIp g二如二如 Ax Glp3、刚度条件6(°/m)max隘二% W® （rad/m） 叫GIP 兀4、刚度的三种计算D校核刚度:D设计截面§）求许可载荷:°rmx § &IQMnmaxG0传动轴，H = 500r/min,输入二500 马力, 输出N2 二 200马力及 N3 = 300马力，G=80GPa , t=70M Pa, 0=°/m，试确定：4B段直径&

8、#163;和BC段直径?若全轴选同一直径，应为多少?主动轮与从动轮如何安排合理?解：作内力图Nm.7,024-(kN.m)500Mn(kNm)iiiiiiiiiiiiiiiiiin400x-7.024-4.21*由强度条件500400 d > 3Mn16x70243.14x70xl06(kNm)-7.024-4.21=80mm_ J 16x4210"V3.14x70xl06=67.4mmA 1500400*由刚度条件=Mnp 32 G&Mn:kNm)32M7v G 3-7.024-4.2132x4215180_ V3.142x80xl09xl=74.4mm32仏 ttG

9、O32x7024x1803.142x80xl09xl=84 mm肚=85mm,同=7nm(2)，全轴选同一直径时 d = d = 85nmJM/Jmax越小越合理,.轮1、2应换位。此时，轴的 =75mmS maxMn f (kNm)2.814-4.215.2.3圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。分析原因铸铁试件：沿与轴线约成45。的螺旋线断开。1. 点M的应力单元体斜截面上的应力;哦n转角规定:m 才。odA +(TdAcosa)sina + (rHAsina)cosa = 0r dA-(zdAcosa)cosa + (r3Asina)sina = 0T -Tfa = -t sin 2a ; r = r cos2a%。= CFmin = T.当* 45。时，645。= qmax = T 9 厂45。= °当 tz 二 90。时,巧。=0 , 90° = Emax = T6 - -t sin 2a ; r = r cos2a ex*cr。= 0，tqo = max分析： 当a=0°时，当*二4