二阶常系数非齐次线性

1、第五讲第五讲 二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性 微分方程微分方程 内容提要内容提要 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. 教学要求教学要求 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. . )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yyy 常见类型常见类型),(xpm,)(xmexp ,cos)(xexpxm ,sin)(xexpxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xpexfmx 一、 型

2、设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexqy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xqxqm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxqxqm 可设可设;)(xmexqy ;)(xmexxqy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可设设综上讨论综上讨论, )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到

3、上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexqxy 特别地特别地xaeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexaxepaeqpay222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy 是单根，是单根，2 ,)(2xebaxxy 设设代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方

4、程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxececy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx sincos)(xpxpexfnlx 22jeepeepexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejppejpp)()()22()22( ,)()()()(xjxjexpexp ,)()(xjexpqyypy 设设,)(1xjmkeqxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xjexpqyypy 设设,)(1xjmkeqxy xjmxjmxkeqeqexy ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrm

5、m)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxaxey 故故代入上式代入上式, 42 aj,2ja ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxcxcy （取虚部）（取虚部）例例2 2.2cos

6、的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxebaxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034abaj,9431jba ，,)9431(2*jxejxy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取实部）（取实部）

7、注意注意xaexaexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xjae .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 cxxccxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxcxcy 例例4 4小小 结结可以是复数）可以是复数） (),()()1(xpexfmx );(xqexymxk ,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ;sin)