复变课件4习题课

1、2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级幂级数数收敛半径收敛半径r r复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为复常数为复常数 )(zfnn为函数为函数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数复数列列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数二、内容提要二、内容提要41.1.复数列复数列 , 0 数数相应地都能找到一个正相应地都能找到一个正如果任意给定如果

2、任意给定 , ),(时成立时成立在在使使nnnn , 时的极限时的极限当当称为复数列称为复数列那末那末 nn 记作记作.lim nn . 收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n , ), 2 , 1( 其中其中为一复数列为一复数列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 5 nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和nnns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.2.复数项级数复数项级数,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设 nbannn 1) 定义定义62) 复级数的收敛与发散复级

3、数的收敛与发散0lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条件,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn ,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 7非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛

4、绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛8)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n3.复变函数项级数复变函数项级数 , ), 2 , 1()( 为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 d内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf94. 幂级数幂级数 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称

5、为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(10-阿贝尔阿贝尔abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)2)收敛定理收敛定理11(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.3)3)收敛圆与收敛

6、半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散外都发散.12在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo . .r收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径13方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4)4)收敛半径的求法收敛半径的求法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收

7、敛半径那末收敛半径.1 r ., 0; 0,;0,1 r即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 r14.,)(,)()1(2010rrzbzgrrzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababarz ),min(21rrr 5)5)幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质15如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf(

8、2)(2)幂级数的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,r那末那末是收敛圆是收敛圆raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)16(2)(zf在收敛圆在收敛圆raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncrazczazczzf或或 01.)(1

9、d)(nnnzaazncf 175. 泰勒级数泰勒级数, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理设设)(zf在区域在区域d内解析内解析,0z为为d 内的一内的一d为为0z到到d的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当18,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(11

10、1)3(02 nnnnnzzzzz19,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z20 6. 洛朗级数洛朗级数定理定理内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末析析内内处处处处解解在在圆圆环环域域设设dzfrzzrzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nc为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭

11、曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.1)21函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的, 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 22根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .(2) 间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的

12、方法将函数展为洛朗级数的方法(1) 直接展开法直接展开法,d)()(2110 cnnzfic 根据洛朗定理求出系数根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf 然后写出然后写出23三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因为因为发散，发散， 121nn收敛，收敛，. 21 1发散发散所以所以 nnin24三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;251)2(1 nni解解,226251 nni 因为因为, 0226lim nn. 251 1发散发散所以所以 nni25;)3(1 nnni解解

13、 541321 1iiininn因为因为 614121,51311 i . 1收敛收敛故故 nnni收敛收敛收敛收敛三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.26.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131 , 1 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛.三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.27例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径.)4(!)3(!)2()1(100022 kknnnnnnzznnznz解解

14、nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 r得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . r得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 r得得28 12)4(kkz ., 1;, 0,22knkncn即即因为级数是缺项级数因为级数是缺项级数, 1lim1 nnncr故故. 1 r29例例3 3 展开函数展开函数 成成 的幂级数到的幂级数到 项项.zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,

15、)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法利用定义来求利用定义来求.30分析：分析：采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)(21cos izizzzeeeze 因为因为21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z31nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn

16、)( z由于由于,214iei ;214iei 32例例5 5. sin 的幂级数的幂级数展开成展开成把把zzez分析：分析：利用级数的乘除运算较为简单利用级数的乘除运算较为简单.解解,! 0 nnznze因为因为,)!12()1(sin012 nnnnzz故乘积也绝对收敛故乘积也绝对收敛., 内绝对收敛内绝对收敛两级数均在两级数均在 z 2)010()01(0sin zzzez所以所以.30131532 zzzz)( z33例例6 6. 0 sec)( 的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzf设设 nnzczczcczf2210)(又又,)()(2210 zczcczfzf由泰勒展式的

17、唯一性由泰勒展式的唯一性, 0531 ccc又又,! 4! 21cos42 zzz所以所以)(! 4! 21seccos14422042 zczcczzzz解解 利用待定系数法利用待定系数法34 40242020! 4! 2! 2zccczccc 42! 45! 211sec zzz所以所以 2z比较两端系数得比较两端系数得, 10 c,! 212 c,! 454 c35例例7 7. 1 )1(1 3内的泰勒展开式内的泰勒展开式在在求函数求函数 zz分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解 )1(21)1(1 13zz因为因为)1( z所以所以 0321)1(1nnz

18、z22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z36例例8 8. 11的幂级数的幂级数展开成展开成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因为因为211)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所以所以对上式求导得对上式求导得0)()32()()1(2 zfzzfz370)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z38例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的

19、泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z39 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z两端求导得两端求导得40nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z41, 0 内内在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所