2020高考文数直线与圆

1、第1讲直线与圆一、选择题已知直线11过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线12过点(2,0)且与直线11垂直,则直线11与直线12 的交点坐标为()A.(3,3)B.(2,蜴C.(1,3)D.(1,33答案 C 直线11的斜率k1=tan 300=,因为直线12与直线11垂直，所以直线12的斜率3k2=-?=-逐,又直线11过点(-2,0)，直线12过点(2,0)，所以直线11的方程为y=q(x+2)，直线12的方 cc S , c、/程为y=-3(x-2),联立得一=不仅+ 2),解得?；飞即直线11与直线12的交点坐标为(1,西). ?= -3(x-2),?=日，2 .已知圆C的

2、圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方 程是()A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8答案 A 根据题意知，圆C的圆心为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 骨1黑底亚,则圆的方程为(x+1)2+y2=2. v1 +1J3 .已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0减直线x+y=0所得线段白长度是2V2.则圆M与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B由题意知，圆M的圆心为(0,a),

3、半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度 为2茂，所以圆心M到直线x+y=0的距离d=5?=7?2(a>0),解得a=2,又圆N的圆心为(1,1), 半径r=1,所以|MN|二花，因为R-r<v2<R+r,所以两圆的位置关系为相交，故选B.4 .已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y=2x+b将圆C分成两部分，其中一部分的面积也为S,则b=()A.-v6B.场C.-v5 D.会答案 D 结合图形(图略)及题意知，圆心C(1,2)至ij y轴的距离与到直线y=2x+b的距离相等, 易知C(1,2)到y轴的距离为1,则|2 2

4、-2+?|=1解得b=±为，故选D.V22+( -1)25 .(2019河南开封模拟)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则 实数a的取值范围是()A.(-3v2,3v2)B.(-oo-3v2)U(3v2,+ oo)C.(-2v2,2v2)D.-3v2,3v2答案 A 由圆O的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆。上到直线l的距离等于1的点 至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r+1=2+1，即d=*"号<3,解彳导aC (-3,3v2).6.(2019广西南宁模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x-ky+1

5、=0与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,？?=?+?若点M在圆C上，则实数k的值为()A.-2B.-1C.0 D.1答案 C 解法一:设 A(x 1,y1),B(x2,y2g 以?；?1.,0,得(k2+1)y2-2ky-3=0，则 =4k+12(k2+1)>0,y1+y2=?2?1,x1+x2=k(y1+y2)-2=-?22+1，因为?=?+? M (-高，:?)，又 44?点M在圆C上，故E+k=4,解得k=0.解法二：由直线与圆相交于A,B两点,？?=?+?赞点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线x-ky+1=0的距离为半径的一半，为1,即=考?2=1，解得k=0.、填空题2

6、/ 87.(2019广东湛江一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点，则m=.答案 2或10解析 圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3)，半径r=6v2,因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径白一个三等分点，所以圆心到直线的距离为2V2,则有d=*=201+1解得m=2或10.8.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点，且AABC为等腰直角三角形， 则实数a的值为.答案 土解析 由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离

7、为J,所以筌=22，解得a=49.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点，PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线，A是切点，若PA 长度的最小值为2,则k的值为.答案2解析 圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是(0,1),半径r=1,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA长度的最小值为2,一 PC长度的最小值为VI2 + 22=*.由点到直线的距离公式可得-?+=v5.-. k=, /k>0, .-.k=2.10.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)过点(v2,0)的直线l与曲线丫=，量相交于A,B两点,O为坐标原点，当4AOB的面积取最

8、大值时，直线l的斜率为.答案-T3解析 解法一:设点P(法,0)，结合题意可设直线l的方程为y=k(x-v2)(k<0),将其代入y=W-？2, C 、一.2、万?修2?修-1整理得(1+k2)x?-2v2k2x+2k2-1=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=丘?2 ,xx2=1+?2, / 8A W2v2k2(2+? 2-1) 1W O-=一 1+?22当且仅当6 = "？?1即m=-西时取等号.?< 0,故当4AOB的面积取最大值2时， 直线l的斜率为1=-；：3解法三:设点P(v2,0)，则结合题意画出图形如图所示)2-4(1+k2)(2k

9、2-1)=4-4k2>0彳5 k2<1.所以弦长 |AB|=VI+? V(?1?+ ?02-4?=Vi+? 零2=24.因为点O到直线l:kx-y- v2k=0的距离d=?2J, 1所以 Saaob =21/1-? |-k| $|k| ? 1(2?2+1 -?). |AB| . d=逐x"=2i+?2i+?2i . 一.,二万,当且仅当9 / 8V2|k| = Vl-?,gp k=-时取等号.i?< 0,3故当AAOB的面积取最大值时，直线l的斜率为-±23解法二:设点P(v2,0)，结合题意可设直线l的方程为x=my+£(m<0),将其代

10、入y=<谣，整理得(1+m2)y2+2 v2my+1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=-2V2m11+?2'/ 2V2m 2(-1+? 2)1+?21+?2A =(22m)2-4(1+m2)=4m2-4>0,得 m2>1._ _1_11-是,Saaob=|Saaop-Sabop|=2 |OP| Ty1-y2|=2 |OP| ，(?？+ ?)2-4?2=-xv2x1.1.1根据图形可得 Saaob=2|QA| QBIsin/AOB'sin/AOB02,当且仅当 sin/AOB=1,即1/AOB=90时取等号.于是，当AAOB的面积取最

11、大值,时，有/ AOB=90，此时作OML,垂足 为M,易得|OM|W又|OP|二v2,所以可得/ MPO=30，故所求直线l的斜率为tan(180-30 )=-. 三、解答题11.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线 m:x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交 于M、N两点.(1)求圆A的方程；当|MN|=2高不时,求直线l的方程.解析(1)易知A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r,；r=|-1+£ =20圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)记MN的中点为Q,则/MQA=90，且|MQ|二工,在RtAAMQ中,|AQ|

12、=，|?-|MQ|2=1,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2,显然 x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k(x+2),由A(-1,2)到l的距离为1,得榨笋=1,解得k=|.所求l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.12.已知点P(2,2)，圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为 M,O为坐标原点.求M的轨迹方程；(2)当|OP|二|OM|时，求l的方程及 POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x,y),则?=(x,y-4),?(2-x,2-

13、y).由题设知？?？ ？?做 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,v2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上，又点P在圆N上，从而ONLPM.因为直线ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-1, 3故直线l的方程为y=-x+8. 33又|OM|=|OP|=2，点O到直线l的距离为妥,所以|PM|=±50，所以zPOM的面积为1.13.(2018广东广州调研)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦

14、点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)至U焦点F的距离等于3.求抛物线C的方程；过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点(A,B两点在x轴的上方)，点A关于x轴的对称点为D,且FALFB,求4ABD的外接圆的方程.解析(1)抛物线的准线方程为x=-2?所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+?=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)解法一:设直线l的方程为x=my-1(m>0).将x=my-1 代入 y2=4x,并整理得 y2-4my+4=0,由 A=-4m)2-16>0,解得 m>1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D(x1,-y1),

15、y1+y2=4m,y1y2=4,易知抛物线的焦点为F(1,0),所以？? ? 7?=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m 2,因为 FALFB,所以？?？=0, 即 8-4m2=0,结合 m>1,解得 m=v2. 所以直线l的方程为x-v2y+1=0.设AB的中点坐标为(x0,y0),贝J yo=?2?/=2m=2通xo=myo-i=3,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-26=-6(x-3).因为线段AD的垂直平分线的方程为y=0, 所以4ABD的外接圆的圆心坐标为(5,0).因为圆心(5,0)到直线l的距离d=24,且 |AB|=

16、，1+ ?，(?+ ?)2-4?=4 3,所以圆白半径r=2+ (1?)2=2而所以4ABD的外接圆的方程为(x-5)2+y2=24.解法二:依题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k>0).将直线l与抛物线C的方程联立，并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由 A =(2l2-4)2-4k4>0,结合 k>0,得 0<k<1.设 A(xi,y1),B(x2,y2),则 xi+x2=-2+Jxix2=1.所以 yiy2=k2(xix2+xi+x2+1)=4,所以？? ?<ix2-(xi+x2)+i+yiy2=8-?42,因为 FALFB,所以？?=

17、0, 所以 8-?=0,又 0<k<i,解得 k= J.以下同解法一.i4.(20i9安徽安庆模拟)已知定点M(i,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|=v2|PM|.(i)求动点P的轨迹C的方程；若A,B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA,OB,AB的斜率分别为 ki,k2,k.当kik2=3时，求k的取值范围.解析(1)设动点P的坐标为(x,y),因为 M(1,0),N(2,0),|PN|=v2|PM|,所以，(?2)2 + ?=v2 - V(?l)2 + ?.整理得,x2+y2=2.所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.(2)设点 A(xi,yi),B(X2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+b.由> 消去 y,整理得(1+k2)x2+2bkx+b2-2=0.(*) rr r* r由 A =(2bkM(1+k2)