用因式分解法求解一元二次方程备课素材

1、第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程厂 素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入场复习导入类比导入悬念激趣之情景导入在新城区规划建设过程屮，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块长 方形土地，长方形土地的宽和正方形土地的边长相等，长方形土地的长为80加，测人员：“正 方形土地面积是长方形土地面积的一半.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积 吗？分析如果设正方形土地的边长为x/,根据题意得2x2=80x,在解此方程时，我们可以 通过直接开平方法、配方法和公式法来解决，那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其 他解法吗？今天，我们进一步探讨一元二次方程的解法.(板书课题：4用因

2、式分解法求解 一元二次方程)说明与建议说明：回顾已学一元二次方程的解法，此方程会有多种不同的解法，在此 基础之上加以引导，来探求更简便的解法，自然而然地就引入了本节课的课题.建议：利用 具体问题列出一元二次方程后，教师可以让学生去思考怎样解答，必要时可以让学生思考教 材第46页议一议提出的问题，进而引导学生的思维.要强调两边同时除以x的不合理性.复习导入 到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配 方法、公式法.下而同学们来做一道练习题，用适当的方法解下列方程：(1)/4=0； (2用 3x+l=0； (3)(x+1)225=0.思考通过做题我们发现不同特点的方程选用不同

3、的解法繁杂程度不同，因此我们在解 方程的时候要合理的选择方法，方法的多样性也为我们解方程提供了更多的选择，比如下面 的方程就有之前所学方程不具备的特点，你能根据己学知识用最简便的方法解吗？(l) x(x14)=0； (2)(x l)(x3)=0； (3)(4x l)(5x+7)=0.说明与建议说明：学生已经掌握了三种解一元二次方程的方法，通过以上题目解法的 选择，既能巩固一元二次方程的解法步骤，又能考查学生解题选择的灵活性，鼓励学生说岀 自己的不同解法，并进行对比，发现方法选择的重要性.同时，让学生感受因式分解法解一 元二次方程所要达到的形式，自然地引入到新课的探究中.建议：在练习中让学生求解

4、方程 后说明自己选择对应方法的理由，而分解因式的引入中要着重分析、强调结构特征，让学生 说出答案及依据.让学生感受“若a-b=0,则a=0或b=0”实际是对方程进行“降次”， 从而达到求解的目的.|素材二 教材母题挖掘u教材母题第47页例题解下列方程:(1)5x2=4x；(2)x(x_2)=x_2.【模型建立】因式分解法解一元二次方程，就是利用因式分解将一元二次方程的一般形式中等号左侧 的多项式分解成因式乘积的形式，进而得到各因式分别为0,最终达到降次的目的，即变2 次为1次.【变式变形】1 永州中苟 方程x2 2x=0的解是x丄=0, x?=2_2. 河南中考方程(x2)(x + 3)=0的

5、解是(d)a. x = 2 b. x=3c. x = 2, x2=3 d. x=2, x2= 33. 方程(x+4)(x-5)= 1 的根为(d)a. x=4b. x = 5c. x = 4, x2=5d.以上结论都不对4. 实数 a, b 满足(a+b)2+a+b-2=0,贝0(a+b)2 的值为(d)a. 4 b. 1 c. -2 或 1 d 4 或 15. 解下列一元二次方程：(l) x(2x-3) = (3x+2)(2x-3)；(2)(x-l)2-2(x2-1)=0；(3) 2(t-l)2+t=l.3 1答案：(1)x1 = 1, x2=2 (2)x1 = 3, x2=l (3)t!

6、= 2» 上2=1m素材三考情考向分析命题角度1利用因式分解法求解一元二次方程因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解将一元二次方程中的2次降为1 次，其结果的形式是两个因式的积等于0.例如本课素材二教材母题挖掘，注意变式变形第3 题和第5(1)题这两类易错题.命题角度2给岀两根，列方程这类题目一般开放性较强，解题思路：利用因式分解(x+a)(x+b) = 0,得x】 = a和x? =-b是方程的解.例 请写出一个根为x=l,另一个根满足一1<xv1的一元二次方程:_答案不唯一， 女口 x?x=0.命题角度3用合适的方法解一元二次方程解一元二次方程的方法主要有直接开平方

7、法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接 开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程，配方法和公式法可适用于所有方 程，所以解方程时优先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法.例选择合适的方法解下列方程：(1) x2 + 3x=0；(2)5x2-4x-1 =0；(3)x2 + 2x3=0.答案：(l)xi=0, x2=3 (2)xi = i，x2=l (3)x| = 3, x2=l|素材四教材习题答案p47随堂练习1. 用因式分解法解下列方程：(1) (x+2)(x-4)=0；(2) 4x(2x+l)=3(2x+l).解：(1)兀+2=0,或兀一4=0.= 2,兀2=4.(

8、2) 原方程可变形为4 兀(2丫+1)3(2兀+1) = 0,(2x+1)(4%-3)=0.2%+1=0,或 4%3=0.一_丄一3.兀| 2，兀2©2. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 解：设这个数为x,根据题意，得2x2 = 7x, 解得尤1=0,兀2=#答：这个数为0或弓.p47习题2.71. 用因式分解法解下列方程：(1) (4x-l)(5x+7)=0；(2) 3 兀(x1)=2一2%；(3) (2兀+3)2=4(2兀+3)；(4) 2(x-3)2=x2-9.解：(1)4兀一 1=0,或 5兀+7=0. 一丄 _z4，x25-(2) 原方程可变形为3x(x1)

9、+ 2(x1)=(),(x 1 )(3 兀+2)=0.%1=0,或 3兀+2=0. 2.兀=1, 兀2=亍(3) 原方程可变形为(2r+3)24(2x+3)=0,(2x+3)(2x1)=0.2x+3=0,或 2x1=0.3-2?(4) 原方程可变形为2(兀一3)2(兀+3)(兀一3)=0,(兀一3)2(兀一3)(x+3)=0,(x-3)(x-9)=0.兀一3=0,或 x-9=0. x = 31 兀2=9.2. 解下列方程：(1 )5(兀$ 兀)=3(* +兀)；(2) (x-2)2=(2x+3)2；(3) (x-2)(x-3)=12；2x+6 = (兀+3几(5) 2)2+4)=y+2.解：原

10、方程可变形为2?弘=0, 2x(兀 _ 4)=0.2x=0,或 x4=0.*»x =0,也=4.(2) 原方程可变形为 (x-2)2-(xv+3)2=0, (3x+l)(-x-5)=0.3卄 1=0,或一兀一5=0.兀=也=5.(3) 原方程可变形为x2-5x-6=0, (x-6)(x+l)=0.x6=0,或 x+l=0./% = 1 9 兀2 = 6.原方程可变形为(x+3)2-2(x+3) = 0, (兀+3)(兀+1)=0.兀+3=0,或x+1 =0. 兀1 = 3 9 兀2= 1 (5) 原方程可变形为2)，()，+2)(y+2)=0, (y+2)(2y1)=0.y+2=0,

11、或 2y-l=0.yi = 2, )j2=2-3. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地 一边减少了 lm,另一边减少了 2 m,剩余空地面积为12 m2,求原正方形空地的边长.<2>1211f解：设原正方形空地的边长为xm,根据题意，得（x1）（兀一2）= 12.解得兀1=5,兀2=2（舍去）.所以原正方形空地的边长为5 m.素材五图书增值练习专题一分解因式法解一元二次方程1. 三角形两边长分别为3和6,第三边是方程6x+8=0的解，则这个三角形的周 长是（）a. 11b13c. 11 或 13d.不能确定2. 求证：如果一个一元二次方程的

12、一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此 方程必有一根是一1.3. 阅读题例，解答下题：例解方程?-|x- 1| - 1=0.解：（1）当 x - 1 0,即兀21 时¥ -（兀-1） - 1=0,x2 - x=0; （2）当 x - 1 <0,即 x< 时¥+ （x - 1） - l=0,x2+x - 2=0;解得：x1 =0 （不合题设，舍去），x2=l.解得xl1 （不合题设，舍去）恋二2.综上所述，原方程的解是尸1或x=-2.依照上例解法，解方程?+2|x+2| - 4=0.4.探究下表小的奥秘，并完成填空:一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2 2

13、x+l=0x=l, x2=lx2 - 2x+l= (x - 1) (x - 1)x2- 3x+2=0x=l x2=2x2 - 3x+2= (x- 1) (x-2)3x2+x - 2=0x| , x?= - 1 3 一3x2+x - 2=3 (x - ) (x+1)32x2+5x+2=0xj=-丄，x?= _ 22912x"+5x+2=2 (x+) (x+2)274x+13x+3=0xl=， x2=4x2+13x+3=4 (x+)(x+)将你发现的结论一般化，并写岀来.专题二换元法解方程5.小明用下面的方法求出方程2低-3 = 0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的

14、解答过程填写在下面的表格屮.方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解2 長 _3 = 0令 a/x =6则 23 = 03 t = -2t = ->0229所以x = -4x+2>/x - 3 = 0x+/兀-2 -4 = 0-6=0,求 a2+b2 的值.【知识要点】1. 会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。2. 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的 多样性。3. 体会用因式分解实行降次化归的思想方法.【温馨提示】一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。要学 会根据方程本身的特点选

15、取最优方法.如果方程直接给出的是(x+m)2=«的形式，就用直接开 平方法解题；如果方程各项都有含有x的公因式，首选方法应该是提公因式，把方程分解成(兀+加)(x+w) =0的形式；如果形如(vc +z?x + c = 0(70)的方程左边能容易的进行十字相 乘分解，也首选因式分解法如果以上各种特点都不具备，就用万能方法一公式法；也可以使 用配方法优先选取顺序依次为：直接开平方法f分解因式法f公式法f配方法.学会选取最 优方法，在解一元二次方程时可以省时省力.答案1. b【解析】(x - 2) (x - 4) =0, x - 2=0 或 x-4=0, .尤=2,兀2=4.因为三角形两

16、边的长分别为3和6,所以第三边的长为4,周长二3+6+4二13.故选b2. 证明：设这个一元二次方程为 屁+(°+少+(?二0(°工0),则仏+c)(兀+1)=0.ax+c=0 或 x+1=0, x=，兀2= 1.a3. 解:当x+20,即 心 2时，原方程可化为+2 (x+2) - 4=0, x2+2x=0, 解得兀 1二0, x2= - 2；当x+2v0,即兀 -2时，原方程可化为x2 - 2 (x+2) - 4=0, , - 2a - 8=0, 解得“二4 (不合题设，舍去)，x2=-2 (不合题设，舍去).综上所述，原方程的解是尸0或尸2.4. 解：填空：丄，3；

17、4,+13x+3=4 (x+丄)(x+3)44发现的一般结论为：若一元二次方程加+eo gh0)的两个根为兀1、比，则 2ax +bx+c=a (x - xi)(兀-尤2)5.解:方程换元法得新 方程解新方程检验求原方程的解x+2>/x - 3 = 0令y/x =t,则尸+2/ 3 = 01=1，&=-3zj = 1 > 0,/2 = 3 < 0（舍去）x = 1,所以x = 1x+y/ x 2 - 4 = （.令jx_2=t,则f2+f_2 = 04=1，t2 = 2zj = 1 > 0,z2 = 2 < 0（舍去）v72=i,所以x 2 = l x =

18、 36.解：设a2+b2=yf据题意得j2 - y - 6=0,解得刃=3,旳二2. v a2+&2>0,ct+b2=3.m素材六数学素养提升一元二次方程的补充解法十字相乘法一、什么叫做十字相乘法一般地，由多项式乘法，(x+a) (x+b) =x2+ (a+b) x+ab,反过來 x'+q+blx+ab二(x+a) (x+b)。我们知道，(g+c)(吋+ 6)=aa2x2 + cic2x + a2c?r + c©=ci a+ (a© + a2c1) x + eg反过来，就得到aya2x2 +（qc2 +色5）工 +径= （g + c】）（吋+ cj我们发现，二次项的系数q分解成ag,常数项c分解成eg,并且把a】，a2, c, c：排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a. c: + a2 c-,如果它们正好等于ax' +bx + c的一次项系数b ,那么ax' +hx + c就可以分解成（7庐+ $）（6丫 + 6）,其中a：, c：位于上图的上一彳亍，a2, c2位于下一行.像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程.二、十字相乘法举例1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次顶系数，右边相乘等