2022年八年级数学上册轴对称与等腰三角形同步讲义提高练习题

1、第 01 课 轴对称的性质与最短路程问题线段的垂直平分线的画法：线段的垂直平分线性质及判定：定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。性质：判定：1. 已知点 a坐标为 (2a+3,3a+9)在第二象限，且a 为整数 . 根据要求完成下列各题： (1)a= ；a点坐标为； (2)a点关于 x 轴对称的点坐标为；a点关于 y 轴对称的点坐标为； a点关于原点对称的点坐标为； (3)a点关于直线x=2 对称的点坐标为；a点关于直线x=-2 对称的点坐标为；a点关于直线y=-3 对称的点坐标为； (4)连接 oa,将 oa绕点 o旋转 900，则旋转后a点对应坐标为；2

2、. 如图 , abc 内有一点 p, (1)在ba 、 bc 边上各取一点p1、p2，使 pp1p2 的周长最小 ;( 尺规作图 ) (2)若 abc=300，连接 bp1，bp2，p1p2，判断 bp1p1 形状并说明理由.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - -3. 如图所 ,mp 和 nq 分别垂直平分 ab 和 ac (1)若 bac=105 ，求 paq的度数 ;(2) 若 paq=250，求 bac的度数。4. ( 尺规作图 ) 如图 , 在直线 cd上有一动点 p,p 在

3、cd上从右往左运动的过程中, 找出点 p到a、b距离之和最小时的位置；5. ( 尺规作图 ) 如图，已知 rtabc, acb=900，ad平分 bac 与bc 交于 d点，m 、n 分别在线段 ad 、ac 上的动点，连接 mn 、mc,当mn+mc最小时，画出m 、 n的位置 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - -课堂同步练习：1. 如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）2. 如果一个三角形两边

4、的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( ) a.锐角三角形 b.直角三角形 c.钝角三角形 d.不能确定3. 已知 aob=300，点p在 aob 的内部，点 p1和点 p关于 oa 对称，点 p2和点 p关于 ob 对称，则 p1、o 、p2三点构成的三角形是（） a.直角三角形 b.钝角三角形 c.等腰直角三角形 d.等边三角形4. 如图 , abc 中,ab=ac,d是bc 的中点 ,ac的垂直平分线 ef分别交 ac,ad,ab 于点 e，f，g，那么，点 f?到abc? 的边 _?的距离相等；?点f?到 abc? 的顶点 _的距离相等第 4题图第5题图第6题图5. 如图，三

5、角形纸片abc ， ab=10,bc=7,ac=6 ，沿过点 b 的直线折叠这个三角形，使顶点c 落在 ab 边上的点 e 处，折痕为 bd，则 aed 的周长为 cm。6. 如图，点 p 在 aob 的内部，点 m 、n 分别是点 p 关于直线 oa 、ob? 的对称点，线段mn 交oa 、ob 于点e、f，若 pef 的周长是 20cm，则线段 mn 的长是 _；若 aob=320，则 epf= 7. 在等腰三角形中，一个内角为30，则另外两个内角为_. 8. 点 p（-3 ， 5）关于 y 轴对称的点的坐标为_，点 p（3，-2）关于直线 x=2 对称点的坐标是_ 9. 等腰三角形的周长

6、是45cm,一腰上的中线将周长分为3:2 两部分，则此三角形的底边长为10. 已知点 p1（a，3）和 p2（4，b）关于y轴对称，则2015ba的值为11. 若等腰三角形的两个内角之和为140，则项角的度数为。12. 英文单词mathematics中有个字母是没有对称轴的。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - -13. 如图 , 已知牧马营地在p 处, 每天牧马人要赶着马群先到河边饮水, 再带到草地吃草, 然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线14. 已知点 a坐标为 (-2a

7、+5,-3a+3)在第二象限，且a 为整数 . 根据要求完成下列各题： (1)a= ；a点坐标为； (2)a点关于 x 轴对称的点坐标为；a点关于 y 轴对称的点坐标为； a点关于原点对称的点坐标为； (3)a点关于直线x=1 对称的点坐标为；a点关于直线x=-2 对称的点坐标为；a点关于直线y=-3 对称的点坐标为； (4)连接 oa,将 oa绕点 o旋转 900，则旋转后a点对应坐标为；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - -第 01 课 测试题日期：月日时间： 20 分钟姓名：得分

8、：1. 下列图形中一定是轴对称图形的是（） a.梯形 b.直角三角形 c.角 d.平行四边形2. 下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）3. 在下列说法中，正确的是（） a.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形; b.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形; c.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; d.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形4. 如图， abc和 ade关于直线l 对称 , 下列结论： abc ade ； l 垂直平分db ； c=e； bc与 de的延长线的交点一定落在直线l 上其中错误的有（） a.0个 b.1个 c.2

9、个 d.3个5. 用棋子摆成如图所示的“t”字图案（1）摆成第一个“t”字需要 _个棋子，第二个图案需_个棋子；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10 个“ t”字需要 _个棋子，第n 个需 _个棋子6. 如图，a=90，e为 bc上一点，a点和 e点关于 bd对称，b点、c点关于 de对称，则 abc= ，c= 7. 如图，在 abc中， bc=8 ，ab的垂直平分线交bc于 d，ac的垂直平分线交bc与 e，则 ade的周长等于 _8. 如图 , 阴影部分是由5 个小正方形组成的一个直角图形, 请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

10、 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - -方形 , 使它们成为轴对称图形9. 如图， abc 中， c=900在 bc 上找一点 d，使点 d 到ab 的距离等于 dc 的长度；连结 ad ，画一个三角形与abc 关于直线ad 对称 . 10. 已知点 m (3a-b,5)，n (9,2a+3b)关于 x 轴对称，求 a ，b 的值11. 如图 , abc 中, bac=110 ,ab的垂直平分线交bc 于点 d,ac的垂直平分线交bc 于点 e,bc=10cm. (1) 求 ade的周长 ;(2) 求 dae的度数 . 12. 如图 , 在 a

11、bc中， bd 是 abc的平分线， de ab于点 e，df bc于点 f，sabc =48cm2，ab=18cm ，bc=12cm ，求 de的长。第 02 课 等腰三角形的性质与判定精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - -知识点等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高

12、、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 例1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在 abc 中， c=900， a=300，如图所示 .求证：abbc21. 例2. 如图 , 在 abc 中 ,ab=ac,bd=bc,ce ab于e ，交bd 于 h ，

13、abce21. 求证：heb 是等腰直角三角形. 例 3. 如图， ad bc ，bd=dc ，点 c在 ae的垂直平分线上，那么线段ab 、bd 、de之间有什么数量关系？并加以证明例 4. 已知 : 如图 , 在 abc中,d 为 bc上的一点 ,ad平分 edc,且 e=b,ed=dc. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - -例5. 在 abc 中,ab=ac,在ab 上取一点 d,在ac 的延长线上取一点e,使 ce=bd, 连结 de 交bc 于g.求证 :dg=ge. 课堂

14、练习：1. 已知直角三角形中30角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（） a.2cm b.4cm c.6cm d.8cm 2. 若等腰三角形的周长为26cm，一边为 11cm，则腰长为（） a.11cm b.7.5cm c.11cm 或7.5cm d.以上都不对3. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半, 则这个等腰三角形的底角是（） a.75或 30 b.75 c.15 d.75和 154. 若等腰三角形的周长为12，则腰长的取值范围是（） a.a 5 b.a5 c.4a7 d.3a”, “” ,“”或“ =” ）. 理由如下：如图2，过点 e作efbc ，交 ac于点 f. （请你完成以下解

15、答过程）12. 如图 , 已知点 d为等腰直角abc内一点 ,cad= cbd=150，e为 ad延长线上的一点, 且 ce=ca （1）求证： de平分 bdc ； （2）若点 m在 de上, 且 dc=dm, 求证： me=bd 13. 如图 , 已知 b、c、d三点共线，abc 、 cde 均为等边三角形, 连接 be 、ad,交ac 于g,交ce 于h,ad与 be精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - -交于 f点. 求证： （ 1）be=ad;（2） afb=600； （3）

16、若连接 gh ，则 cgh 为等边三角形。14. 如图，在等边abc 的顶点a、c 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1 个单位的速度由 a向 b 和由 c 向 a 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到 d,e 处，请问（ 1）在爬行过程中，cd 和 be 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着ab 和ca 的延长线爬行，eb 与 cd 交于点 q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中 cqe 的大小条件不变，求证：cqe=600. 15. 如图 ,ad 是 abc 的中线 ,be交 ac 于e,交ad 于f, 且ae=ef,求证： ac=bf. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - -16. 如图，已知 abc中， ab=ac=10cm ，bc=8cm ，点 d为 ab的中点(1) 如果点 p在线段 bc上以 3cm/s 的速度由 b点向 c点运动 , 同时点 q在线段 ca上由 c点向 a点