解线性方程组的直接法的Matlab实现

1、实验名称解线性方程组的直接法的mat lab实现实验时间2011年11月9日姓名王亚敏班级0209408学号020940807成绩湖北民族学院数值分析实验报告实验报告内容要求：一、实验h的与要求；二、实验内容；三、算法描述（数学原理或设计思路、计算公式、计算步骤）；四、程序代码；五、数值结果；六、计算结杲分析（如初值对结杲的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进等）; 七、实验中出现的问题，解决方法及体会（整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广 泛的问题）.一、实验目的与要求1. 掌握高斯消去法和追赶法的基本思路和迭代步骤;2. 培养编程与上机调试能力。二、实验内容

2、1.编写用高斯消元法解线性方程组的matlab程序,并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证0.101x)+2.304兀2 +3.555忑=1.1831.347西 + 3.712吃 + 4.623兀3 = 2.1372.835壬 +1.072无2 +5.643兀3 = 3.0355 兀+ 2x2 +x3 =82x + 8 兀2 - 3兀3 = 21兀-3x2 - 6x3 = 12.编写用追赶法解线性方程组的matlab程序, 法验证.并求解下而的线性方程组，然后用高斯消元法及逆矩阵解方程组的方2-1000_1-12-10000-12-10,b =000-12-10000-120(

3、1) ax=b,其中 a =(2)22丿©3、算法描述（1）、高斯消元法高斯顺序消去法:设线性方程组ax=，对增广矩阵40 顺序作初等行变换，使矩阵a化为上三角形矩阵, 再回代，从而求得线性方程组的解1 消元过程设血）工0,对"1,2,斤-1计算mik=a /a2回代过程其中ij* + l,k + 2,k ,n其中 z = n-l,k,2,lo£=労）/瞪）兀=（岁-£硝）/4：）；=/+!（2）、逆矩阵因为ax二b,得至ialax = a'b ,从而的x = alb ,即可算出结果。（3）追赶法追赶法用于求解以下形式的方程组（三对角方程组）其中

4、系数矩阵（三对角矩阵）qb2c2 an-x bn-x cn-x an bn血 |>|q|>0系数矩阵a的元素满足< |z?j >|a.| + |c.| > 0 aici ho (i = 2,-l)ll>kl>°第一步：实现a二lu的分解，按照递推公式卩厂q吨q凰）计算）=fa第二步：求解方程组ly二f,相应的递推公式卜电v）打）/©_几）x = y第三部：求解方程组咲y,相应的递推公式求得x因为计算彳 f t以t. t/t及必它它 t乍q的过程是追的过程，结出结果x。4、程序代码1、高斯消元function ra, rb, n, x

5、=gaus （a, b）b=a b;n=length (b);ra=rank (a);rb=rank(b);zhica=rb-ra;if zhica>0,dispc请注意：因为ra'rb,所以此方程组无解.)returnendif ra=rbif ra=ndispc请注意：因为ra二rb二m所以此方程组有唯一解.)x二zeros (n, 1) ; c二zeros (1, n+1);for p= l:ntfor k=p+l:nm= b(k, p)/ b(p, p); b(k, p:n+l)= b(k, p:n+l)-m* b(p, p:n+1);endendb=b(l:n, n+1

6、); a=b(1 :n, 1 :n); x(n)=b(n)/a(n, n);for q二nt :t : 1x (q) = (b (q) -sum (a (q, q+1 :n)*x(q+l :n) )/a(q, q);endelsedispc请注意：因为ra二rb5,所以此方程组有无穷多解.)endend2、迅赶法function x, y, bcta=zhuiganfa(a, b, c, f)%a, b, c是三对角阵的对角线上的兀素,f是自由项.n=lcngth(b);beta(l) =c(l)/b(l);for i=2:nbeta(i)=c(i)/(b(i)-a(i)*beta(il);e

7、ndy(l)=f(l)/b(l);for i=2:ny(i) = (f (i)-a(i)*y(i-l)/(b(i)-a(i)*bcta(i-l);endx(n)=y (n);for i=n-l：-l:1x(i)=y (i)-beta(i)*x(i+l);enddisp(sprintf ('kx(k)y(k)beta(k)');for i=0:nldisp(sprintfc %d %15. 4f %15. 4f %15. 4f', i, x (i+l), y (i+1), beta (i+1);end四、计算结果高斯消元法(1) a二0. 101,2. 304,3. 55

8、5;-1. 347, 3. 712,4. 623;-2. 835, 1.072,5. 643 ;b二1. 183,2. 137,3.035' ; ra, rb, n, x =gaus (a, b)请注意：因为ra二rb二n,所以此方程组有唯一解.ra =3rb =3x =-0. 39820.01380. 3351» a"(t)*bans =-0. 39820.01380. 3351(2)a二5, 2,1 ;2, &-3; 1,-3, -6;b=8;21;l; ra, rb, n, x=gauss2(a, b) 请注意：因为ra二rb二n,所以此方程组有唯一解

9、.ra =3rb =3n = 3x =1 2 -1ans =1.00002. 0000-1.0000二、追赶法(1)0. 83330. 66670. 50000. 33330. 16670. 50000. 33330. 25000. 20000. 1667a二0,-l,-l,-l,-l;b=2,2,2,2,2;c=l, -1, -1, -1,0;f=l,0, 0, 0, 0'kx(k)y(k)beta(k)00. 83330. 5000-0. 500010. 66670. 3333-0. 666720. 50000. 2500-0. 750030. 33330. 2000-0. 800

10、040. 16670. 16670. 0000x, y, beta=zhuiganfa (a, b, c, f)beta =-0 5000-(2) a二0, 1, 1, k0. 6667-0. 7500-0. 800002 ;b=2, 3, 1, 1 ;c=1, 1, l,0;f二1,2, 2, 0> ; x, y, beta =zhuiganfa(ax(k)y(k)beta(k)0. 00000. 50000. 50001.00000. 60000. 4000-1.00002. 33331. 66672. 00002. 00000. 0000、b, c, f)-10. 50000. 6

11、0002. 33332. 0000beta0. 5000 高斯检验0. 40001.6667a=2,-l, 0, 0,0;-1, 2,-1,0,0;0,-1, 2,-1,0;0, 0,-1, 2,-1;0, 0, 0,-1, 2 ;b二1, 0, 0, 0,0，; ra, rb, n, x=gauss2(a, b) 请注意：因为ra二rb二n,所以此方程组有唯一解.ra 二5rb =5n 二5x =0. 16670. 83330. 66670. 50000. 3333逆矩阵检验a" (t)*b ans =0. 83330. 66670. 50000. 33330. 1667(2)a=

12、2, 1,0,0; 1,3, l,0;0, 1, 1, l;0, 0, 2, 1;>> l尸l;2;2;0;» ra, rb, n, x=gauss2(a, b)ra =4rb 二41.0000 -1.0000 2.0000逆矩阵» a'(-l)*b ans =-0. 00001.0000-1.00002. 0000六、结果分析高斯的计算步骤很多要进行一系列矩阵的计算，而且必须满足矩阵a的行、列相等才有唯一解，不然就会有 不同的结果，而且计算时间很长，速度很慢，而追赶法计算比较快，不用进行矩阵的计算就可以得出结果。七、实验中出现的问题，解决方法及体会实验中出现的问题，在追赶