2022年函数的单调性与导数教学设计

1、1.3.1 函数的单调性与导数教学目标知识与技能 理解利用导数判断函数单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤。过程与方法1.通过问题的探究，体会知识的类比迁移；2.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法。情感态度与价值观通过师生互动， 生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。教学重点利用导数判断函数的单调性教学难点 探究函数的单调性与导数的关系 如何用导数判断函数的单调性教学方法实验，归纳探究式教学建议可使用多媒体课件、师生互动课时安排3 课时教师活动学生活动设计意图、创设情境，引入新课问题

2、1 高台跳水（幻灯片 1）已知起跳t 秒后，运动员相对于水面的高度h（单位： m）可用函数h(t)= 4.9t26.5t10 表示。问：你能确定该函数的单调区间吗？师：说的非常具体。因为二次函数的图像我们非常熟悉。请同学们画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？（师在黑板上画出函数图像）师赞同学生2 的说法，强调定义域。师：还有其他方法吗？师：的确，定义是解决问题的最根本方法，同学们不要瞧不起定义啊！并简略回顾其步骤，但定义法较繁琐。问题 2 （幻灯片2）试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。师：你能画出该函数的图像吗？定义法又太繁，那该如何解决呢？学生积极举

3、手发言学生 1：画出该函数的图像，从图像上直观获知其单调区间学生 2：t(0,0.66) h(t)单调递增t(0.66,2.24) h(t)单调递减要注意函数的定义域学生思考，并积极举手发言学生 3：利用函数的单调性定义学生陷入沉思？创设情境，引导学生复习回顾研究函数单调性的方法：观察图像的变化趋势 （图像必须能画出）利用单调性的定义（较繁琐）由问题 2 的提出发现这两种方法的局限性与缺点，产生认知冲突。产生探究新方法的求知欲，引入新课。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -揭示并板书

4、课题：函数的单调性与导数、探究新知问题3 仍以函数h(t)= 4.9t26.5t10 为例来考察单调性与导数有什么关系。下面请结合函数的图像与导数来研究。师生共同总结，教师板书：t(0,0.66) h(t)单调递增切线斜率大于0 即 h (t)0 t(0.66,2.24) h(t)单调递减切线斜率小于0 即 h (t)0 问题4 这种规律是否具有一般性呢？我们可否再举一些函数看看？（幻灯片3）1. 先看函数y=x y=x2 y=x3 y=1/x 的图像 ,验证其是否具有这种规律 . 2. 让学生任意举一个函数,(学过的和没学过的 )验证结论是否成立. 这里教师利用几何画板作图，一一验证。师：通

5、过以上，你发现了什么现象？师生共同总结： （幻灯片4）一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内如果 f (x)0，那么函数y=f(x) 在（ a,b）上单调递增；如果 f (x)0， 那么函数 y=f(x) 在（ a,b）上单调递减；（教师简要板书）问题 5 反思1 上面的结论还可能有其探究活动 1 学生根据函数的图像， 探索研究单调性与导数的关系。学生 3 回答（略）学生思维活跃， 积极搜索已学函数,例举各种函数. 如 y=sinx; y=lnx; y=x2+x3; y=x+1/x; y=ex-x 学生状态兴奋，踊跃发言学生 4 ：函数的单调性与导数有着密切的关系

6、从旧知中探究发现新知。 让学生体会， 如何研究一个新问题。并会在以后的学习中尝试运用。体会数形结合思想的运用引导学生寻找实例支持从中不仅验证单调性与函数的关系，更培养 学 生 如 何 发 现 规律。体会从特殊到一般的研究问题的思想方法启发学生发现问题，并培养学生发现问题0.66 2.24 y x h(t) 0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -他情况吗？同学们可讨论讨论。师：好！提出问题比解决问题更重要！数学正是在不断的提出问题，并解决问题中发展的！那下面谁能解决这个问题？教师给与

7、表扬！并归纳板书。注：若f(x) 在某个区间内恒有f” (x)=0 ，则 f(x) 为常数函数。反思2 从上述探究过程，我们是怎样解决问题的？教师归纳：结论的探究思路或方法：归纳推理从特殊到更多，从简单到复杂，但仍然是由有限的例子归纳出的结论，在数学上是不严谨的，有时也不可靠的，但确是一种重要的思维方式。这里就不证明了（待后证）学生再次陷入沉思，并讨论。 让学生代表发言学生 5：在（ a,b）内，若恒有f” (x)=0, 那f(x) 的 单 调 性 如 何呢？学生 6：f(x) 在（ a,b）内是常数函数！学生 7: 从特殊中发现规律， 再推广到一般的思维方法。的意识及知道他的重要意义！养 成

8、 反 思 的 学 习 习惯，形成锲而不舍的钻研精神。养成合作交流的科学态度！在这一系列发现问题并解决的过程中让学生获得一种成就感！从而更加喜爱数学！养成反思的习惯；反思探究过程，让学生体会并明确什么是归纳推理，知道归纳推理的意义，并在以后的学习中加以运用! . 应用举例(幻灯片 5) 例1已知导函数f (x) 的下列信息当 1x4 时，f (x)0 当 x1 或 x4 时， f (x)0 当 x=1 或 x=4 时，f (x)=0 试画出函数f(x) 的图像的大致形状。教师投影若干学生的作业情况。并和学生共同分析。注： “临界点”例2 用导数研究高台跳水的函数h(t)= 4.9t26.5t10

9、 的单调性注：教师带领学生完成，并与前面图像法对比。强调定义域；作出导函数h (t)的图像与h(t)的学生思考，并在纸上画出函数图像f(x) f(x) 学生跟随老师， 学会如何用导数让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！学会如何用导数求单调区间，同时再次验1 4 0 x 1 4 y y x 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -图像作对比。例 3 试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。

10、教师给与规范的板书。 （略）注：强调步骤的完整性，最后要下结论。问题6：反思你有算法意识吗？你能归纳出用导数求函数单调区间的算法步骤吗？课堂练习：课本p93 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）f(x) x22x4; （2）f(x) exx 求函数单调区间学生尝试解决。由学生归纳教师补充。确定函数定义域求函数的导函数解不等式 f (x)0，f (x) 0 下结论学生练习，并报出答案证用导数求导与图像求 导 的 结 果 的 一 致性！应用新知识解决之前不能解决的问题。从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题。从算法角度明确如何操作，更清晰，易掌握渗透算法思想，多题归一思想，提高学习效

11、率培养解题后反思意识及时巩固所学，形成技能。课堂小结与作业师：谈谈本节课你的收获？1.教师给与归纳：1.知识点总结2.思想方法总结2.思考：结合函数的单调性定义，思考在某个区间上函数y=f(x) 的平均变化率的几何意义与导数的正负的关系3.作业：1 全品p7 课时（五）（六）2 预习 1.3.2 学生纷纷举手发言总结所学知识，并养成总结的学习习惯！课下思考，揭示导数为什么能反映函数单调性的本质。 （留待下节课）0.66 2.24 y x h(t) 0 0.66 h(t) 0 y x 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页

12、 - - - - - - - - -1.3.2 函数的极值与导数教学目标 ：知识与技能：?了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；?掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；?了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。过程与方法：?培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。情感态度与价值观：?体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；?培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；?激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。教学重点和教学难点 ：教学重点： 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极

13、值的一般方法。教学难点： 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。教法学法分析 ：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习 成果展示 合作探究 教师点拨 巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的 “ 再创造 ” 过程。学法分析；通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。课时安排 ：3 课时教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前让学生预习，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。通过检查学案，了解学生自主学

14、习的情况，设计导学思路与措施。培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。以小组为单位进行汇报展示。培养学生互相合作的精神， 提高学生语言表达的能力，增强学生学习的自信心。三、合作探究：对 学 生解 决 不 了 的问题，重点讲解 思 路 与 方法， 引导学生最 终 去 解 决问题，以生成新目标、新知识、新能力。分 组 讨 论 展示北京奥运会奖牌榜：北京奥运会中国跳水队获得全部8 枚金牌中的7 枚。用高台跳水的例子研究：(1)当 ta 时 h(t)的单调性是_ (3)当 t=_时运动员距水面高度最大，h(t)在此

15、点的导数是 _ (4)导数的符号有什么变化规律？用几何画板制作动画演示在t=a 附近：1、函数值的比较：h(t)-h(a) 的正负号；激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神.引起学生兴趣， 激起学生的求知欲。用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识， 发挥学生的主体作用。( )0httata ta精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -小 组 汇 报 教师点拨。分 组 讨 论 小 组 汇 报 教师点拨。学生展示：2、动点切线斜率（即导数）的发展变化. 如图，函数y=)(xf在 a,b

16、,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=)(xf在这些点的导数值是_,在这些点附近，y=)(xf的导数的符号有什么规律？定义： 在 x=a 附近，)(xf先减后增，)( xf先_后_，)( xf连续变化，于是有)( af=0)(af比在点 x=a 附近其它点的函数值都小。我们把点a 叫做函数y=)(xf的_,)(af叫做函数的 _. 在 x=b 附近，)(xf先增后减，)( xf先_后 _，)( xf连续变化， 于是有)( bf=0)(bf比在点 x=b 附近其它点的 函 数 值 都 大 。 我 们 把 点b叫 做 函 数y=)(xf的_,)(bf叫做函数的

17、_. 极小值点和极大值点统称为_， 极大值和极小值统称为 _。用信息技术辅助教学，突破难点。再用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、 归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践。培养学生大胆创新、勇于探索、 互相合作的精神。根据探究， 总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、 极值的定义。培养学生的归纳能力。四、教师点拨：1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化情况 ; 2、极值点是自变量的某个值，极值指的是其函数值; 3、函数的极值与导数的关系。(1)如果)( 0 xf=0, 并且在0 x附近的左侧)( xf0 ， 右侧)( xf0, 那么 f(0 x)是极大值。(

18、2)如果)( xf=0, 并且在0 x附近的左侧)( xf0, 那么 f(0 x)是极小值。通过教师的点拨，帮助学生构建知识体系， 巩固、 完善、深化对知识、规律内涵的认识。体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。五、巩固提高：对 学 案 中 的例题和习题，例 4：求函数4431)(3xxxf的极值。解：)( xf=(31x34x+4) =x24=(x+2)(x 2) 通过典型例题巩固学生对新知识的理解。通过对典型例题的板演，让学生明cxydef ogijhyxoba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - -

19、- - - - - - -先让学生做，并 让 尽 可 能多 的 学 生 板演， 在学生相互 点 评 的 基础上，教师引导 学 生 总 结思 路 方 法 技巧， 并进行变式 训 练 予 以拓展。教师板演：学生总结：分组讨论：令)( xf=0，解得 x1=2，x2= 2下面分两种情况讨论：(1) 当)( xf0，即 x2,或-2 时；(2) 当)( xf0，即 -2x2 时。当 x 变化时，)( xf，)(xf的变化情况如下表：x)2,(-2 (-2,2) 2 2,)( xf+ 0 0 + )(xf单调递增283单调递减43单调递增 当x= 2 时 ，)(xf有 极 大 值 ， 并 且 及 极 大

20、 值 为)2(f=328当 x=2 时，)(xf有极小值并且及极小值为)2(f=34。函数4431)(3xxxf的图像如图所示f(x)=13x3-4x+42-2xoy解题方法总结：求函数 y=f(x) 极值 (极大值、极小值)的方法：(1)求导；(2)求极值点；(3)讨论单调性；(4)列表；(5)写出极值 .变式训练：求出函数593)(23xxxxf的极值。拓展提高：拓展 (1)、导数为0 的点一定是函数的极值点吗？如3)(xxf若)(0 xf是极值，则)( 0 xf=0。反之，)( 0 xf=0，)(0 xf不一定是极值y=f(x) 在一点的导数为0 是函数 y=f(x) 在这点取得极值的必

21、要条件。函数 y=f(x) 在点 x0取极值的充分条件是：确求极值的方法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力， 形成严谨的科学态度。作图时先作出两个极值点， 再根据单调性作图。 通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤。学生总结解题方法，培养归纳能力。通过变式训练， 进一步突出重点。 使学生从感性认识升华到理性认识。通过拓展1，突出判断极值点的条件，从而突破难点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -自主完成：函数在点x0处的导数值为0 在点附近的左侧导数大于（小于）零，

22、右侧小于（大于）零。拓展 (2)、极大值一定比极小值大吗？不一定极值是函数的局部性概念拓展 (3)、下图是导函数)( xfy的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。当堂练习：1.求下列函数的极值：(1)27)(3xxf(2) 3126)(xxxf2.函数3)(xxf是否有极值 ?通过拓展2 帮助学生理解极值是函数的局部性质。拓展3 给的图像是导函数的图像，进一步让学生区分如何用导函数的图像判断函数的极大值与极小值。从而突出重点、突破难点。我分层设计练习题，让各层面学生都能学有所获， 不断增强学习的信心。六、课外作业：1 全品p8课时（七）2. 预习 1.3

23、.3y x o x1 x2x3x4x5 x6 ba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -1.3.3 函数最大（小）值与导数教学目标知识与技能1明了极值与最值的区别2会利用导数求函数在a,b上的最值过程与方法1结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法；2培养学生结合图形分析问题、总结问题的能力情感、态度与价值观通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养教学重点利用导数求函数的最值教学难点含参函数最值的求解课时安排2课时教学环节教学内容设计意图师生互动复习回顾1、 单调性与导数2、 极值的判定3、 极值的求解步骤回顾旧知，为最值的推导作准备生：回答问题师：屏幕展示问题探究观察上图定义在 , a b上的函数( )yf x的图象，我们可以发现图中：_是极小值，_是极大值在区间 , a b上函数的最大值是_最小值是 _ 通过观察与比较发现规律师：引导学生观察图象，提出问题生：回