2019-2020第二学期线性代数B期中试题答案

1、aaabb12n武汉大学数学与统计学院 2019-2020 第二学期线性代数 b期中考试试卷解答一、 （5 分）若1,2,3,4,1,2都是四维列向量 , 且四阶行列式1,2,3,1m1,2,2,3n,计算四阶行列式|1,2 ,3 ,1 +2 |.解应选 b。由题设1,2,3,1m1,2,2,3n, 于是由行列式之性质得：3,2,1,(12)1,2,3,11,2,3,2m n , 故应选 b。二、（6 分）设a 是n 阶可逆矩阵 , a a, a 的每行元素之和为b . 试求： (1). a1 的行元素之和;(2). a 的代数余子式 : a a2kank 。11bb 解:(1) 方法一 :

2、由假设知 , a, (b 0) (1) 由a 可逆 , 从而得 , 1b b11111 b a1b1ba111a1 11 , 故a1 的行元素之和为1 . bb11111b 方法二 : 将a 中第2,3, n 列都加到第1列后从第1列中提出b , 再按第1列展开得 : a b( a11 a21 an1 ) , 由于a 0 故b 0 而且由上式可得: a11 a21 an1 b1 , 即 a1 的第一行中诸元素之和为b1 , 同理可证其余每行元素之和也都是b1 . 11b b 1 （2）因为a 的每一行元素之和为b , 所以a又题设a 0 故a 存在故有1b 11 b111b b 11111 a

3、1 , 即ba1 也就是 a1b 另外由 a* a a1 b 11111b 11a b 即a* aa1 (a a 0) , 所以有 a* aa1 11a a11 a21 an1 1a b b a12 即a22 an 2 1a , 故a1ka2kanka . ba a a a 1n 2n nn 1b x 2 1 x1x2x1xn三、（5 分）计算 n 阶行列式 d x2 x1x 2 1 x2 xnxn x1xn x2x 2 1 1k2n4 11 21n 1 解将原行列式增加一行一列, 得：1 x1x2 xn ri xi 1ri , 10 x 2 1 x x x xnx d 0 x2 x1 x 2

4、 1 x2 xnx2 0 1 0 0 xn x1xn x2x 2 1 xn0 0 1 1 x 2 x 2 x x x 1 n 1 2 n0 1 0 0 2 2 20 0 1 0 0 0 0 1 x11x2 xn四 、 （8 分） 计算向量组 (1, 2,3, 1, 2)t ， (2,1, 2, 2, 3)t ， (5,0,7, 5, 4)t ，1 2 3 (3, 1,5, 3, 1)t 的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。1 2 5 3 2 1 0 1解：设a(1,2,3,4)3275，先对a施行行初等变换化为行最简形1 2 5 32 3 4 11

5、1 0 1 矩阵 a 0 00，知向量组的秩r(1,2,3,4)r(a)2，易知 1、2 两列即0 0 0 1,2为1,2,3,4的一个极大无关组。且有3122，412.1 3 2 2 5 4 五、 （14 分）设a 2 1 1 , b4 2 2 ，1 2 11 4 1 （ 1）求4 a2 b2 2ba 2 ab ；（2）求a* ，这里a* 是a 的伴随阵。解： （1）4 a2 b2 2ba 2 ab (4 a2 2ba) (2 ab b2 ) (2 a b)2 a (2 a b)b (2 a b)(2 a b) 0 11 0 4 1 8 0 0 0 8 4 4 0 0 0 44 24 60

6、. 1 0 33 8 15 25 11 （2）a* 0 。2 1 2 0 六、（14 分）已知 a 0 , b 1 0 2 ，1 a b c c1 x j 1c ji 2, , 1x1x2xn1000112000000111 110281 080000 2 （ 1）问a, b, c 为何值时，r( a, b) r( a) ？（2）求矩阵方程ax b 的全部解。解：ax b 有解，须r( a ) r( a b ) , 对矩阵( a b ) 作初等行变换：1 0 1 ( a b ) 1 2 0 1 c 0 0 0 a 1 b 1 c 1 由此看出r( a) 2, 欲r ( a b ) 2 须a 1

7、, b 1, c 1. 所以 当a 1, b 1, c 1时ax b 有解。当a b c 1 时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵1 0 1 0 1 1 1 1 ( a b ) 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x11 1k1 由得x k （k 为任意常数）21 1 1x k 31 1 x12 1k2 由得x 1k （k 为任意常数）22 2 2x k 32 2 x13 1k3 由1 得x1 k （k 为任意常数）23 3 30 x k 故所求矩阵方程的通解为1k11k233 3 1k3 x k 1k 1k （k,k2,k3为任意常数） 1 2 3 k1 k2

8、 k3 七、（14 分）已知a, b 为三阶矩阵 , 且满足2 a1 b b 4e ,其中e 是三阶单位矩阵. 1（1）证明 : 矩阵a 2e 可逆;(2) 若b 1 2 0 2 0 ,求矩阵a . 0 提示与分析 (1)这类题一般先从所给矩阵等式中解出所要的矩阵, 然后再利用已知条件计算之 .(2) 利用初等变换直接求。解(1) 原方程可化为 ab 2b 4 a o . 即( a 2e)b 8e 8e 4 a o 所以有( a 2e)b 4( a 2e) 8e ( a 2e)(b 4e) 8e 故a 2e b 4e 83 0 即 a 2e 0 且b 4e 0 . 因此a 2e 可逆。(1)

9、由(1) 可知 , b 4e 0 所以b 4e 可逆 , 由题设知a 2b(b 4e)1 或(1) 3 20 1 1 1 0 4 4 知a 2e 8(b 4e)1 又(b 4e)1 1 2 0 1 3 ，故2 01212011011 1 2 1 2 1 0 1 0 0 1 a b 1212110100001011011000001001111100001011011000000 2a 11 0 0 . 2八、 （14 分）已知1 (1,0,2,3),2 (1,1,3,5),3 (1, 1,a2,1),4 (1,2,4, a8),(1)a,b为何值时 ,不能表成1,2 ,3 ,4 的线性组合 ?

10、 (1,1,b 3,5) (2)a,b为何值时 ,有1,2 ,3 ,4 惟一的线性表示式?并写出该表示式。 提示与分析 这类题一般将其转换成含参变量的线性方程组的求解。x1 x2 x3 x4 1x x 2x 1 解设 x x x x 则2 3 4 1 1 2 2 3 34 4 2x 3x (a 2)x 4x b 3 1 2 3 4 3x1 5x2 x3 (a8)x4 5能否表示成1,2 ,3 ,4 的线性组合 , 转换为上述方程组是否有解的问题。对方程组的增广矩阵施行行初等变换有 a , 所以当a 1, b 0 时, 不能表成1,2 ,3 ,4 的线性组合。当a 1时, 能表成1,2 ,3 ,

11、4 的线性组合 , 且表示式惟一即a 1 a b 12 b 3 041 a 1a 1ttt1 1 1 2 1 n ttt九、(10 分) 设,是 n 维列向量组，矩阵 a 2 1 2 2 2 n 1 2 nt t t n1n2nn试证明1,2,n线性无关的充要条件是对任意n维列向量b，方程组axb均有解。 证明：记d1,2,n由,线性无关知| d | 0 而a | d t d | | d |2 0 ，即a 可逆 , 故对任意n 维列向1 n 量b ，方程组 ax b 均有解 x a1b . 分别取b1,2,n, 由方程组axb均有解知，1,2,n与a的列向量组等价,故r( a) n ，从而a | d t d | | d |2 0 , 得| d | 0 故,线性无关。1 n 十、（10 分）设向量组1,m线性无关，而向量组1,m, ,线性相关，证明：若向量组1,m,与1,m,不等价，则与 中有且仅有一个可由1,m线性表示。证明：因为1,m, ,线性相关，故存在不全为零的数k1,km,l1,l2使k11 kmm