2022年分类讨论的思想方法---高考题选讲

1、学习必备欢迎下载分类讨论的思想方法(2) - 高考题选讲在解题时， 我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内， 正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“ 分” ，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种 “ 合分合 ” 的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，高考对分类讨论的思想的考查，有以下几个方面:一是考查有

2、没有分类意识，遇到应该分类的情况，是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如（）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形等等；（）有的运算法则和定理，公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和 q1两种情况；对数函数的单调性就分为a1，a0，a， =0 ，1，则等价于 (xa-2a-1)(x2)0. 又 2a-2a-11a-1 10，a-2a-12 原不等式的解集为；(，a-2a-1)（ 2,）；若 a1 时，则等价于(xa-2a-1)(x2)0. 由于 2a-2a-1aa-1，精品学习资料 可选择p d f -

3、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当 0a2，原不等式的解集为(2，a-2a-1).当 a0 时，a-2a-12，原不等式的解集为(a-2a-1，2).当 a0 时，原不等式为(x2)20，解集为. 综上所述：当a0 时，原不等式的解集为；(a-2a-1， 2)；当 a0 时，原不等式的解集为；当 0a1 时，原不等式的解集为；(，a-2a-1)（ 2,） . 【点拨 】：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a1 和 a1，在 a1 时，又需要讨论两个根2 与a-2a-1的大小，又分为三类，即a

4、0，a=0 和 0a 1. 例 2 在等比数列 an中， sn= a1+a2+a3+an，tn= a1a2a3 an，pn=1a1+1a2+1a3+1an，求证： (snpn)n=tn2. 解析 ：由所要证明的等式，知须分别求出sn、tn、pn，因此要用等比数列的前n 项和公式，根据公式的要求必须对公比q 进行分类讨论 .(1)当 q=1 时， sn=na1,tn= a1n， pn=na1， (snpn)n=n a1na1n=a12n，tn2= a12n，(snpn)n=tn2；(2) 当 q1 时， sn=a1(1-qn)1-q， tn= a1nqn(n-1)2，pn= 1a1(1-1qn)

5、1-1q=qn+1-qa1qn(q-1 )，snpn= a12qn-1，(snpn)n=a12nqn(n-1)， tn2= a12n qn(n-1)，(snpn)n=tn2.【点拨 】：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多， 必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性. 例 3 解关于 x 的不等式3logax-2 2 logax-1(a 0,a 1)解析 ；转化为等价不等式组，注意对于logax 的底数的a 进行讨论 . 原不等式等价于3logax- 2 0 3logax-2 0 精

6、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载由得 logax23， 由得 logax1， 由得 logax12， 23logax1，当 a1 时，所求不等式的解集为x|a23xa ；当 0a1 时，所求不等式的解集为x| a34x a23或 0 xa . 【点拨 】：本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、 不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对 a 进行分类讨论. 例 4 如图， 已知一条线段ab ，它的两个端点分别在直二面

7、角p-l-q 的两个平面内移动, 若 ab和平面 p、q所成的角分别为、 ，试讨论+ 的范围 . 解析 ：(1) 当 ab l 时，+ =90 . (2)ab 与 l 不垂直时，在平面p内作 ac l，c为垂足，连结bc ，平面 p平面 q ， ac 平面 q， abc是 ab与平面 q所成的角，即abc= ，在平面 q内作 bd l，垂足为 d，连结 ad ，同理 bad= ，在 rtbda和 rtacb中， bdbc ，bdabbcab, 即 sinsin bac, 和 bac均为锐角， bac ，而 bac+ =90 ，+ 90 . (3) 若 ab与 l 重合，则+ =0 . 综上讨论

8、可知0 + 90 . 【点拨 】：在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究. 例 5 四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？解析 ：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类. 第一类，甲前面有2 个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有a23a44( 种) ；第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：c13c13a22a44( 种) ；第三，甲前面仅有一个女孩，有：a13a55( 种) ；满足条件的站法为：a23a44+c13c13a2

9、2a44+a13a55=936( 种). 【点拨 】：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类. 例 6 函数 y=sinx|sinx|cosx|cosxtanx|tanx|cotx|cotx的值域是 ( ) a.-2,4 b.-2 ， 0,4 c.-2 ，0，2，4 d.-4 ，-2 ，0,4 解析 ：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨论. 由题意可知xk2(k z), 精品学习资料 可选择p d f - - -

10、 - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(1) 当 x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；(2) 当 x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3) 当 x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0；(4) 当 x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2. 故值域为 -2,0,4,应选 b. 【点拨 】：由于三角函数在各象限内符号不同，依此特点，从不同的象限入手分类讨论是解此类题的常见方法. 例 7 已知直角坐标平面上点q(2，0) 和圆 c：x2+y2=1，动点 m到圆

11、 c的切线长与 |mq|的比等于常数 ( 0). 求动点 m的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 解析 ：如图，设mn 切圆于 n，则由动点 m组成的集合是：p=m|mn|= |mq|， 0. on mn ，|on|=1 ， |mn|2=|mo|2-1. 设动点 m的坐标为 (x,y)，则 x2+y21=2(x-2) 2+y2 ，整理，得 ( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(4 2+1)=0. 故 m的轨迹方程是 ( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(4 2+1)=0. (1) 当=1 时，方程化为x=54，且交 x 轴于点 (54，0) 的直线；(2) 当 时，方程化为 (x 222-1)

12、2+y2=1+32( 2-1)2， 它是以点 (222-1，0) 为圆心，1+32| 2-1|为半径的圆 . 【点拨 】：点 m的轨迹方程由已知条件很容易得出，本题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x2+y2项系数 2-1 是否等于零进行了讨论. 例 8. 设 0 x0 且 a1，比较 |loga(1 x)| 与|loga(1 x)| 的大小。【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数 a 分两类情况进行讨论。【解】 0 x1 01 x1 当 0a0 ，loga(1 x)0; 当 a1 时， loga(1 x)0 ，所以|loga(1 x)| |loga

13、(1 x)| loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x2)0；由、可知，|loga(1 x)|loga(1 x)| 。【点拨 】本题要求对对数函数ylogax 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1 时其是增函数， 当 0a1 时其是减函数。 去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 9. 已知集合a和集合 b各含有 12 个元素， ab含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条

14、件的集合c的个数：. cab且 c中含有 3 个元素；. c a。【分析】由已知并结合集合的概念，c 中的元素分两类：属于a 元素；不属于a而属于 b的元素。并由含a中元素的个数1、2、3, 而将取法分三种。【解】 c121 c82c122c81c123c801084 【点拨 】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类， 达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定c中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即c203c83 1084。例10. 设 an 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， sn是 前n 项 和 。 . 证 明 ：l

15、glgssnn 220，使得lg()lg()scscnn22 lg（sn 1c）成立？并证明结论。(95 年全国理 ) 【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q1 和 q1 两种情况。【解】设an 的公比 q，则 a10，q0 当q1 时， snna1，从而snsn2 sn 12na1(n 2)a1(n 1)2a12a120；当 q1 时， snaqqn111()，从而snsn2sn 12aqqqnn1222111()()()aqqn1212211()() a12qn0；由上可得snsn2sn 12，所以

16、lg(snsn 2)lg(sn 12) ，即lglgssnn 22lgsn 1。. 要使lg()lg()scscnn22lg （sn 1c）成立，则必有(snc)(sn 2c) (sn 1c)2, 分两种情况讨论如下：当 q1 时， snna1，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(sn c)(sn 2c) (sn 1c)2 (na1 c)(n 2)a1c (n 1)a1 c2a120 当 q1 时， snaqqn111()，则 (snc)(sn 2 c) (sn 1

17、c)2 aqqn111()c aqqn1211()c aqqn1111()c2 a1qna1c(1 q) a1qn0 a1c(1 q)0 即 caq11而 sncsnaq11a qqn110, 使得lg()lg()scscnn22lg （sn 1c）成立。【点拨 】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明loglog.0 50 522ssnnlog0 5 .sn 1，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5 时，对数函数为单调递减。例 11. 设函数 f(x)ax22x 2，对于满足1x0，求实数 a 的取值范围。【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值

18、、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当a0 时， f(x)a（x1a）221a111220afa( )或1141210afaa()或14416820afa( ) a 1 或12a12； 1 4 x 1 4 x 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当 a12。【点拨 】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题

19、的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例 12. 解不等式()()xaxaa46210 (a为常数， a12) 【分析】含参数的不等式，参数a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况a0、 a0、12a0、a0 时， a12；4a0 。所以分以下四种情况讨论：当 a0 时， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： x6a；当 a0 时， x20，解得： x0；当12a0 ，解得 : x4a；当 a12时， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： 6ax0 时， x6a；当 a 0时， x0；当12a0时， x4a；当 a12时， 6ax0)， y2 2ya 解得：y11a（0a1）由上可得， z ( 11a) 或 (1 1a) 【点拨 】本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z 分两类讨论则简化了数学问题。【另解】设 z xy，代入得 x2 y22xy222xy a；xyxyaxy2222220当 y0 时， x22|x| a，解得 x ( 11a) ，所以 z ( 11a) ；当 x0 时， y22|y| a，解得 y (11a) ，所以 (1 1a) 。由上可得， z ( 11a) 或 (1 1a) 【点拨 】