2019年广州市一模理科数学试题及答案

1、绝密 启用前2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本小题共12 题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数221i1i的共轭复数是（ a

2、）1 i（b）1i（c）1i（ d）1 i（2）若集合1mx x，2,1ny yxx，则（ a）mn（b）mn（c）nm（ d）mn（3）已知等比数列na的各项都为正数, 且35412a ,a ,a成等差数列 , 则3546aaaa的值是（a）512（ b）512（c）352（d）352（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n, 则输出k的值为（a）2（b）3（c）4（d）5（5）已知双曲线c222:14xya的一条渐近线方程为230 xy,1f,2f分别是双曲线c的左，右焦点, 点p在双曲线c上, 且17pf, 则2pf等于（ a）1（b）13（c）4或10（d）1或13（6）如图 , 网格纸

3、上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么 , 没有相邻的两个人站起来的概率为（a）12（b）1532（c）1132（d）516（8）已知1f,2f分别是椭圆c2222:10 xyabab的左 , 右焦点 , 椭圆c上存在点p使12f pf为钝角 , 则椭圆c的离心率的取值范围是（a）2,12（b）1,12（c）20,2（d）10,2（9）

4、已知:0,1xpxeax成立 , :q函数1xfxa是减函数 , 则p是q的（ a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（ c）充要条件（d）既不充分也不必要条件（10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥pabc为鳖臑 , pa平面abc, 2paab，4ac, 三棱锥pabc的四个顶点都在球o的球面上 , 则球o的表面积为（ a）8（b）12（ c）20（d）24（11）若直线1y与函数2sin 2fxx的图象相交于点11,p x y，22,q xy，且12xx23，则线段pq与函数fx的图象所围成的图形面积是

5、（a）233（b）33（ c）2323（d）323（12）已知函数32331248fxxxx, 则201612017kkf的值为（a）0（b）504（c）1008（d）2016pcba第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第22 23 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4 题，每小题5 分。（13）已知1,2ab，且a()ab，则向量a与向量b的夹角是. （14）3nx的展开式中各项系数和为64，则3x的系数为.（用数字填写答案）（15）已知函数122,0,1log,0,xxfxxx若2fa, 则实数a的取值范围是. （16）设ns为数列

6、na的前n项和 , 已知12a, 对任意,p qn*, 都有pqpqaaa，则60(1nsfnnnn*)的最小值为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）如图 , 在abc中, 点p在bc边上 , 60 ,2,4pacpcapac. () 求acp; () 若apb的面积是3 32, 求sinbap. （18） （本小题满分12 分）近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516 亿元人民币， 与此同时， 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200 次成功交易，

7、并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对服务的满意率为，其中对商品和服务都满意的交易为80 次. () 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？() 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量x，求x的分布列和数学期望ex.对服务满意对服务不满意合计对商品满意80 对商品不满意合计200 edcbaedcba附：2k2n adbcabcdacbd（其中nabcd为样本容量）（19） （本小题满分12 分）如图1，在直角梯形abcd中，ad bc ab bc bd dc e

8、bc abd bd abd bcd ae ac de() 求证：ab平面adc；() 若1ad，二面角cabd的平面角的正切值为6，求二面角bade的余弦值 . 图 1 图 2 （20） （本小题满分12 分）过点, 2p a作抛物线2:4c xy的两条切线 , 切点分别为11,a x y, 22,b xy. () 证明 :1212xxy y为定值 ; () 记pab的外接圆的圆心为点m, 点f是抛物线c的焦点 , 对任意实数a, 试判断以pm为直径的圆是否恒过点f? 并说明理由 . （21） （本小题满分12 分）已知函数ln0afxxax. () 若函数fx有零点 , 求实数a的取值范围

9、; () 证明 :当a2e，1b时, 1lnfbb. 请考生在第22 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。2p kkk（22） （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中， 直线l的参数方程为3,(1,xttyt为参数). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2 2 cos.4c() 求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程; () 求曲线c上的点到直线l的距离的最大值. （23） （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲已知函数12fxxaxa. () 若13f，求实数a的取值范围 ; () 若1,axr , 求证：2f

10、x. 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）pcba理科数学试题答案及评分参考评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题（1）b （2） c （3）a （4）b （5）d （6） d （7）c （8）

11、 a （9）b （10）c （11） a （12）b 二、填空题（13）4（14）540（15）1,8,2（16）292三、解答题(17) 解:() 在apc中, 因为60 ,2,4pacpcapac, 由余弦定理得2222cospcapacap acpac, 1 分所以2222424cos60apapapap, 整理得2440apap, 2 分解得2ap. 3 分所以2ac. 4 分所以 apc是等边三角形 . 5 分所以60.acp6 分() 法 1: 由于apb是apc的外角 , 所以120apb. 7 分因为 apb的面积是3 32, 所以13 3sin22ap pbapb. 8 分所

12、以3pb. 9 分在apb中, 2222cosabappbap pbapb2223223cos120dpcba19, 所以19ab. 10 分在apb中 , 由正弦定理得sinsinabpbapbbap, 11 分所以sinbap3sin120193 5738. 12 分法 2: 作adbc, 垂足为d, 因为 apc是边长为2的等边三角形 , 所以1,3,30pdadpad. 7 分因为 apb的面积是3 32, 所以13 322ad pb. 8 分所以3pb. 9 分所以4bd. 在 rtadb中, 2219abbdad, 10 分所以4sin19bdbadab, 3cos19adbada

13、b. 所以sinsin30bapbadsincos30cossin30badbad11 分43312219193 5738. 12 分（18）解：()22列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意80 40 120 对商品不满意70 10 80 合计150 50 200 2 分2220080 1040 7011.111,150 50 120 80k3 分因为11.1116.635，所以能有99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4 分() 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且x的取值可以是0， 1，2，36 分321332723540;1;512555125

14、p xp xc212323362=55125p xc；30332383=55125p xc. 10 分x的分布列为：11 分所以2754368601231251251251255ex. 12 分或者 :由于23,5xb，则26355ex. 12 分(19) 解：() 因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，又bddc， 所以dc平面abd. 1分因为ab平面abd，所以dcab. 2分又因为折叠前后均有adab，dcadd, 3分所以ab平面adc. 4分() 由（）知ab平面adc，所以二面角cabd的平面角为cad. 5 分又dc平面abd，ad平面abd，所以dcad. 依题

15、意6tanadcdcad. 6 分因为1ad，所以6cd. 设0abx x，则12xbd. 依题意abdbdc，所以abcdadbd，即1612xx. 7分解得2x，故222,3,3abbdbcbdcd. 8 分法 1：如图所示， 建立空间直角坐标系dxyz，则)0,0,0(d,)0,0,3(b,)0,6,0(c，x0 1 2 3 p2712554125361258125zyxedcbagfedcba36,022e，36,0,33a，所以36,022de，36,0,33da.由（）知平面bad的法向量)0, 1 , 0(n.9 分设平面ade的法向量),(zyxm由0,0,m dem da得3

16、60,22360.33xyxz令6x，得3,3yz, 所以)3,3,6(m. 10分所以21|,cosmnmnmn. 11分由图可知二面角bade的平面角为锐角，所以二面角bade的余弦值为12. 12分法 2 ：因为dc平面abd，过点e作ef dc bd f ef abd因为ad平面abd，所以efad. 9 分过点f作fgad于g，连接ge，所以ad平面efg，因此adge. 所以二面角bade的平面角为egf. 10 分由平面几何知识求得2621cdef，2221abfg，所以222egeffg. 所以 cosegf=21egfg. 11 分所以二面角bade的余弦值为12. 12分（

17、20）解：() 法 1:由24xy,得214yx,所以12yx. 所以直线pa的斜率为112x. 因为点11,a x y和22,b xy在抛物线c上, 所以21114yx,22214yx. 所以直线pa的方程为21111142yxxxx. 1分因为点, 2p a在直线pa上, 所以211111242xxax,即211280 xax. 2 分同理 ,222280 xax. 3 分所以12,x x是方程2280 xax的两个根 . 所以128x x. 4 分又22212121211144416y yxxx x, 5 分所以12124x xy y为定值 . 6分法 2:设过点, 2p a且与抛物线c

18、相切的切线方程为2yk xa, 1 分由22,4 ,yk xaxy消去y得24480 xkxka, 由2164 480kak, 化简得220kak. 2分所以122k k. 3 分由24xy,得214yx,所以12yx. 所以直线pa的斜率为1112kx,直线pb的斜率为2212kx. 所以12124x x, 即128x x. 4 分又22212121211144416y yxxx x, 5 分所以12124x xy y为定值 . 6分() 法 1：直线pa的垂直平分线方程为1112222yxayxx, 7 分由于21114yx,21182xax, 所以直线pa的垂直平分线方程为111242a

19、xxayxx. 8 分同理直线pb的垂直平分线方程为222242axxayxx. 9 分由解得32xa, 212ay, 所以点23,122ama. 10 分抛物线c的焦点为0,1 ,f则23,3 .22amfapfa由于2233022aamf pf，11 分所以.mfpf所以以pm为直径的圆恒过点.f12 分另法 : 以pm为直径的圆的方程为23210.22axaxayy 11 分把点0,1f代入上方程 ,知点f的坐标是方程的解. 所以以pm为直径的圆恒过点.f12 分法 2：设点m的坐标为,m n，则pab的外接圆方程为22222xmynman，由于点1122,a x yb xy在该圆上，则

20、2222112xmynman，2222222xmynman. 两式相减得12121212220 xxxxmyyyyn, 7 分由()知2212121122112 ,8,44xxa x xyxyx,代入上式得31244420 xxamaaan, 8 分当12xx时, 得38420amaan, 假设以pm为直径的圆恒过点f,则,mfpf即,1, 30m na,得310man, 9 分由解得231,122ma na, 10 分所以点231,122maa. 11 分当12xx时, 则0a,点0,1m. 所以以pm为直径的圆恒过点.f12 分（21）解 : ()法 1: 函数lnafxxx的定义域为0,

21、. 由lnafxxx, 得221axafxxxx. 1 分因为0a,则0,xa时,0fx;,xa时,0fx. 所以函数fx在0,a上单调递减 , 在,a上单调递增 . 2 分当xa时,minln1fxa. 3 分当ln10a, 即0a1e时 , 又1ln10faa, 则函数fx有零点 . 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分法 2：函数lnafxxx的定义域为0,. 由ln0afxxx, 得lnaxx. 1 分令lng xxx，则ln1gxx. 当10,xe时, 0gx; 当1,xe时, 0gx. 所以函数g x在10,e上单调递增 , 在1,e上单调递减 . 2 分故1xe时, 函

22、数g x取得最大值1111lngeeee. 3分因而函数lnafxxx有零点 , 则10ae. 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分() 令lnh xxxa, 则ln1hxx. 当10 xe时,0fx;当1xe时,0fx. 所以函数h x在10,e上单调递减 , 在1,e上单调递增 . 当1xe时, min1h xae. 6 分于是 ,当a2e时, 11.h xaee7 分令xxxe, 则1xxxxexeex. 当01x时,0fx;当1x时,0fx. 所以函数x在0,1上单调递增 , 在1,上单调递减 . 当1x时, max1xe. 8 分于是 , 当0 x时 , 1.xe9 分显然 , 不等式、中的等号不能同时