321 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1、3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章第三章数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入复数加减及其几何意义复数加减及其几何意义人教版选修1-2 请你谈谈对复数的理解与思考.知识回顾意大利数学家卡丹！刚好等于乘确的责备，但是，的的确不管我的良心受到多大40155155德国数学家莱布尼茨的平方根。那个我们称为虚的栖怪物存在与不存在之间的两理想的端兆，那个介于是那个到了超凡的显示，这就圣灵在分析的奇观中找1德国数学家高斯。而神奇的色彩即可消失侧向一，那么这层朦胧向一和，而称之为向前一，反叫做正一，负一和虚一，。我认为只要不把一层朦胧而神奇

2、的色彩蒙上了病的概念，以致给虚数把虚数归结为一个有毛程度上数的考虑，依然在很大至目前为止，人们对虚111知识回顾1、复数的概念：形如_的数叫做复数，a，b分别叫做它的_。2、复数z1=a1+b1i与z2=a2+b2i 相等的充要条件是_。a1=a2，b1=b2a+bi(a，br)实部和虚部 复数复数z z = a+bi(a、b r)实数实数小数小数a (b=0)有理数有理数无理数无理数分数分数正分数正分数负分数负分数零零无限不循环小数无限不循环小数虚数虚数a+bi (b 0)00)00)abab纯虚数bi(，非纯虚数a+bi(，3、复数的几何意义是什么？复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标

3、系中的点直角坐标系中的点z(a,b)z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量oz 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaz(a,b)z=a+bix x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )（数）（数）（形）（形）3、复数的几何意义是什么？(a,b)xoz=a+biyz (a,b)对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=a+biz=a+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点z(z(a a, ,b b) )到原点的到原点的距离。距离。oz oz |

4、 z | = 22ba 4、复数的绝对值(复数的模)的几何意义是什么？思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zr)|z|=5(zr)的的z z值有几个？值有几个？ (2) (2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构在复平面上构成怎样的成怎样的图形图形？ xyo设设z=x+yi(x,yrz=x+yi(x,yr) )满足满足|z|=5(z|z|=5(zc)c)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz2522 yx图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆上圆上5xyo设设z=x+yi(x,

5、yrz=x+yi(x,yr) )满足满足3|z|5(zc)3|z|5(zc)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎样复平面上将构成怎样的图形？的图形？555533335322yx25922yx图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心, , 半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内猜想：猜想：探讨、两个复数：探讨、两个复数：z1a1+b1i ，z2=a2+b2i z1+z2=? 设问设问1:是否学习过某些复数的加减运算？能否用复是否学习过某些复数的加减运算？能否用复数形式表达数形式表达?若能，从复数的概念角度如何解释？若能，从复数的概念角度如何解释？ 问题探索 实数实数2与与3的

6、和有的和有235写成复数形式为写成复数形式为z1=2+0i,z2=3+0i显然，此时式子显然，此时式子z1+z2=(2+3)+(0+0)i=5 对一般的两个复数相加有什么猜想，即对一般的两个复数相加有什么猜想，即z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？ 猜想归纳（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的加法法则：点评点评: :（1 1）复数的加法运算法则是一种规定。）复数的加法运算法则是一种规定。当当b=0b=0， d=0d=0时与实数加法法则保持一致。时与实数加法法则保持一致。 （2 2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的）两个复数的和仍然是一个复数。对

7、于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。加法可以推广到多个复数相加的情形。点评：点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集实数加法运算的交换律、结合律在复数集c c中依然中依然成立。成立。问题探索设问设问2、复数的加法满足交换律，结合律吗？复数的加法满足交换律，结合律吗？即:对于任意的 ,有czzz321,1221zzzz321321)()(zzzzzz同理可证则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i， z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i证：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3r)类比猜想设问设问3、类比复数的加法

8、法则、类比复数的加法法则,你认为你认为复数有减法吗复数有减法吗?复数的减法法则如何呢？复数的减法法则如何呢？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）（c+di）（a+bi）（c+di）=(ac)+(bd)i点评：点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。复数的减法法则： ),(rdcbaidbcadicbia归纳:复数可以求和差，虚实各自相加减。归纳总结一、复数

9、加法与减法的运算法则例1、计算(23i )+(-83i) (34i)解： (23i )+(-83i) (34i) = (283)+(-33+4)i = -92i .例题讲解点评：点评：复数可以求和差，虚实各自相加减复数可以求和差，虚实各自相加减练习:计算下列各式 (2+4i)+(3-4i) (4-i)+3i (34i)+(2+i)(15i) (2i)(2+3i)+4i学以致用复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量oz 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaz(a,b)z=a+bi二、复数加法与减法运算的几何意义?由此出发探讨复由此出

10、发探讨复数加法的几何意义数加法的几何意义(a,b)xoyz1(a,b)z2(c,d)z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=oz=oz1 1 +oz+oz2 2 = oz= oz符合符合向量向量加法加法的平的平行四行四边形边形法则法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ?问题探索xoyz1(a,b)z2(c,d)复数复数z1z2向量向量z2z1符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?问题探索二、复数加法与减法运算的几何意义xyz z 1z z 2 z z 0(1)xyz z 1z z 2 0(

11、2) 复数的和对应向量的和复数的和对应向量的和 复数的差对应向量的差复数的差对应向量的差归纳总结练习、如图的向量 对应复数z，试作出下列运算的结果对应的向量 xyooz)2(3211izizzz几何意义运用 例3 已知 求向量 对应的复数. 变式1 已知复平面内一平行四边形aobc顶点a,o,b对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点c对应的复数.,2 ,23,iioboa对应复数是ab几何意义运用变式1 已知复平面内一平行四边形aobc顶点a,o,b对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点c对应的复数.解:复数-3+2i ,2+i,0对应点a(-3,2),b(2,1),o(0,0

12、),如图. 点c对应的复数是-1+3i 在平行四边形 aobc中,xya 0cb) 3 , 1() 1 , 2()2 , 3(ocoboaoc几何意义运用xoyz1(a,b)z2(c,d)复数复数z2z1向量向量z1z2符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点z z1 1 ,z,z2 2的距离的距离转化推广复平面内两点间距离xyz z 1z z 2 0设z z = a+ bi , =c+di 它们在复平面内分别对应于点z z1 1 ,z ,z2 2 1z z 22221)()(|)()( |db

13、caidbcazz复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模转化推广(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 已知复数已知复数z z对应点对应点a,a,说明下列各说明下列各式所表示的几何意义式所表示的几何意义. .点点a a到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点a a到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点a a到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点a a到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离 第四个顶点对应的复数是6+4i，-4+6i，-2-i变式 已知复平面内一平行四边形abc三个顶点对应复数是 -3+2i, 2+i, 1+5i求第四个对应的复数.xy复数加减复数加减复平面的点坐标运算复平面的点坐标运算一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应平面向量加减平面向量加减1.复数代数形式的加减运算: 复数