必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

1、平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：a b b a a b 0向量表示：几何表示法 AB ;字母a表示；坐标表示：a=xi + yj =（x, y）.向量的模:uur ruirrr设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.r.飞 r2 r 2 22（|a| x y ,a |a| x y。）零向量：长度为0的向量。a = O | a|= O

2、.【例题】i.下列命题：（i）若a b,则a b。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点uuu uuir相同，终点相同。（3）若AB DC ,则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则niu nurr r r r r rr r r r r rAB DC。（5）若 a b,b c，则 a c。（6）若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是 r ruu r2.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a 3b | = 2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点.平行四边形法则的特点：起点相同连对角.三角形不等式：|a b| a b ia b.运算性质：交换律：

3、abba ；结合律：ar r r r r a 00 a a .(5)坐标运算：设 a x1,y1 ， b3、向量减法运算：r b ra 则y2X2,y2%卷Cr r mu lur uuuf a b CC三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设aX1,y2r bray1X1y2uuu设、 两点的坐标分别为 咅，x2,y2，贝Ux x2,y1 y2【例题】(1)uuuABuuu uuuBC CD；uuu unr AB ADuuirDCuuuuuuuuirunr(ABCD)(ACBD)若正方uuur uuur unrrr r r(2)形 ABCD'的边长为1，ABa,

4、BCb, AC c，则 | a b c | =4、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a. I a 11| a ； 当o时，a的方向与a的方向相同；当o时，a的方向与a的方向相反；当o时，a o.运算律：a a : aaa :a b a b.坐标运算：设a x, y，贝U a x, y x, y .1【例题】(1)若M (-3, -2)，N (6, -1)，且MP - MN，则点P的坐标为35、向量共线定理：向量a aaX1,%，bX2,y2 ，(b0) (a b)2 (|a|b|)2。【例题】(1)若向量a(x,1),b(4, x)，当 x时a与b共线且方向相同

5、(2)已知 a (1,1),b(4, x)， u a 2b，v 2a b，且 u/v，贝U x =6、向量垂直：a0 |a b| |a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a 设，卄-uuuuuu工uun uun 【例题】已知OA ( 1,2),0B(3,m)，若OA OB，则(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90，则点B的坐标是,M rr ur .ru.u(3)已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是7、平面向量的数量积：r aoo r or o80-30 -性质：设a和b都是非零向量，则a b a b 0 .当a与b同向时，a b ab

6、 ； 当 a与b反向时，ab iai|b|； a a a2 a2或a 曲.a b碉.运算律：abba :a b a b a b :abcacbc.坐标运算：设两个非零向量a 为，b x2, y2，则a b x2 y1y2.若 a x, y，贝u a $ x2 y2，或 a 贋_y.、rr设a x ,y1 ， b x2,y2 ，贝U a丄b ab = 0 X1x2 + w = 0.则 a/b a= Zb(bHO) xy = X20.ra设b都是非零向量y2X2, r by1X1,ra是a与b的夹角，贝urbrbra ray2 y1 X2 %【例题】(1)KBC中，| AB| 3，| AC | 4

7、，| BC | 5，贝U AB BC r 1 rirrrurrru(2) 已知a(1-),b (0,-),c akb,da b， c与d的夹角为一，则k等于224rr r rr r(3) 已知 a2, b 5,ago 3，贝Ua b等于(4) 已知a,b是两个非零向量，且a b a b，则a与a b的夹角为的取值范围是(5) 已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则(6) 已知向量 a =( sinx，cosx) , b =(sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1) 若 x =一，3求向量a、c的夹角;8、b在a上的投影：即|b|cos，它是一个实数，但不

8、一定大于 0则向量a在向量b上的投影为【例题】已知|a | 3，|b| 5，且a b 12，9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）(1)b J 2R sin A sin B sin C(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3) si nA ,si n AB ,si nC ,2R2R2R余弦定理附:c2c2c2附:(1)(2)(3)b2 = a2 c2 2 ac cos B.2 2 2b c a cos A -2bc11S a ha : S -bcsin A22ABC的判定:a2 b2ABC为直角2 2< a bABC为钝角> a2 b2

9、ABC 为锐角2 .2 2证明：cosC占absin21acsin B ；2 ，ZA + ZB =_2从 + ZB< -，在钝角AABC中,2 2cosC 0 a b2小2.22c 0 a b c在ZVKBC中，有下列等式成立tanA tan BtanCtan Atan B tanC .证明：因为A B C,所以tan A B tan所以 tan A tan B1 tan AtanBtanC， 结论!三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点非零向量a与方向上的单位向量练习题:、平

10、面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足a b a b ,则a与b必须满足的条件为2、若 Ab b, AC c ,贝U bc 等于()A.3、正六边形ABCDE中,BA CD EF (A.BECDCF4、在边长为1的正方形ABCD中，设 AB a, AD b, ACc，则5、在 ABC中,已知BC3BD，贝U AD等于（）A.-(AC 2AB)3.-(AB 2AC)31 C . -(AC 3AB)4i (AC 42AB)6、在 ABC中,E、F分别是AB和AC的中点，若AB a, AC b，则EF等于（A.2(a b).2(a b)1C . (ba)27、已知：向量a,b同向，且a 3,b7，

11、则2a、平面向量的基本定理及坐标表示8、若 AB 3e1, CD5e1 , . 且 |ad| |bc| ，则四边形ABCD1CA .是平行四边形B .菱形.等腰梯形.不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3,1),C( 3, 4)且 CM 3CA,Cn 2CB，试求点 M、和MN的坐标10、已知向量a ( 3, 4)，则与a同向的单位向量是(a- ( I， 5)3 4B (-，-)C ( 3, 4)D (3,4)5 511、已知A( 3,2), AB (8,0)，则线段AB中点的坐标是 12、若三点 P(1,1),A(2, 4),B(x, 9)共线，求 x13、若向量a (x 3,x2 3

12、x 4)与Ab相等地，已知A( 1,2), B(1,2)，则x的值为()A. -1 B . -1 或-4 C . 4 D . 1 或 4三、平面向量的数量积14、已知，a 2,b3,a b 3、3，则a与b的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则(AB BC) (AB AD)的值为16、已知b 5，且a b 12，则向量a在b方向上的投影为 17、已知向量a与b的夹角为120o，且a 4,b 2，(1) 求a在b方向上的投影(2) 求 3a 4b(3) 若向量a kb与5a b垂直，求实数k的值18、已知 a、b 满足 a 1, b 1 且(a b)2 3，则 a b 19、 若a b| |a

13、 b，且a与b不共线，则a与b的夹角为20、 已知a ( 2, 1),b ( ,1)，若a与b的夹角为钝角，贝U的取值范围是()1 1 1A. ( 2,2)(2,)B. (2,)C . ( ,)D .(,-)21、已知a (6,0), b ( 5,5)，则a与b的夹角为22、已知A(3,2),B( 1, 1)，若点P(x,中)在线段AB的中垂线上，贝U x= 平面向量高考经典试题、选择题1、已知向量a(5,6) , b (6,5)，贝U a 与 b2、A .垂直B .不垂直也不平行C.平行且同向平行且反向已知向量a(1, n), b (1, n)，若 2ab与b垂直，则a (3、若向量a,b满

14、足|；| |b| 1 ,C. 2r r r ra,b的夹角为60 °贝U a a a b =4、UUITLULT UULT在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD 2DB,CD1 urnCA3，则 ()1、已知向量a = 2,4,1,1.若向量b (a +b)，则实数的值是2、若向量a, b的夹角为601，则 ag a b3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为0(0,0) , B(1,1)，则5、若0、E、F是不共线的任意二点，贝U以下各式中成立的是uuu uurUUUUUUuultUUUA. EF OFOEB. EFOFOEuuuuuuruuuUUUU

15、UUTUUUC. EFOFOED. EFOFOE6、已知平面向量a(1,1),b(1,1)，则向量1 3ab2 2()A. ( 2, 1)B.(2,1)C. ( 1,0)D.(1,)、填空题uu uur ABgAC三、解答题：1已知从BC三个顶点的直角坐标分别为 A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0).(1) 若ABgAC 0，求c的值；(2)若c 5，求sin ZA的值ka b与a 3 b平2.已知 a (1,2), b (3,2),当 k 为何值时，(1) ka b 与 a 3b 垂直？ (2)行？3.已知a(cos ,sin ) , b (cos ,sin ) , (0).求证：

16、a b与a b互相垂直;4.已知a (2,1)与b (1,2)，问当实数t的值为多少时a tb最小rI jr |5.已知向量a (cos ,sin )，向量b Q3 1)，则2a b的最大值是平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：a b b a a b 0向量表示：几何表示法 AB ;字母a表示；坐标表示：a=xi + yj =(x，y).向量的模:uun rui

17、rrr设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.(|a| Jx2 y2r2 r 2 ，a |a|2 2 、x y。)零向量：长度为0的向量。a = O1 a1 = O.r-r r【例题】1.下列命题：(1)若a t),则a b o (2)两个向量相等的充要条件是它们的uuu uur起点相同，终点相同。(3)若AB DC，则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形，uuruuirrr rr r rr r r r r r则 ABDC o(5)若 ab,bc,则 a c。(6)若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是 (答：(4) ( 5)r ruur2.已知

18、a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a 3b | =(答:13);2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点.平行四边形法则的特点：起点相同连对角.AC=AB+aB= AC三角形不等式：|aa b a b .运算性质：交换律：abba ;结合律：a坐标运算：设ay1X1,y2X2,r bray23、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点坐标运算：设a,设、两点的坐标分别为,连终点，方向指向被减向量.y2X2,r bray1卷X1y2y2X2,%X1,y1X2,X1y2r r mu lur uuuf a b CC【例题】uuruuuuuuuu uur uir(1) ABBCCD

19、 AB AD DCuuuimruuruur(ABCD)(ACBD)uuu r uuu(2) 若正方形ABCD的边长为1, AB a, BCuuuu(3) 已知作用在点A(1,1)的三个力Fl (3,4), F2坐标是 (答：(9,1)uuruur(答：AD ;CB ;0 );r uurrrr r$： 2 2 );b, AC c ,则 |ab cl=(答uuirn uuur(2, 5),F3(3,1),则合力F F1 F2F3的终点4、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a. a11a ； 当o时，a的方向与a的方向相同；当o时，a的方向与a的方向相反；当 o时，a

20、 0.运算律：a a : aaa :a b a b.坐标运算：设a x, y，贝U a x, y x, y .1【例题】(1)若M (-3, -2)，N (6, -1)，且MP - MN，则点P的坐标为3(答: ( 6, -7);5、向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a .设%X1>ray2X2,ror br a/.V2【例题】(1)若向量a(x,1),b(4, x)，当x =时a与b共线且方向相同(答：2);r rr rr rr r(2)已知 a (1,1),b(4, x)，u a2b，v2a b，且 u/v，贝U x =(答：4);r rrr rr

21、r6、向量垂直：a b ai b 0|a b|a b|NX2yM 0.uuuuuuuuuuuu【例题】(1)已知OA (1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m(答：j)；(2) 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90，则点B的坐标是(答:(1,3)或(3,- 1);rr ur r u,ir(3) 已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是(答：(b, a)或(b,a)7、平面向量的数量积：r aOO r Or o80性质：设a和b都是非零向量，则a b a b o 当a与b同向时，a b ia|b ； 当a与b反向时，a br r r2 a a

22、a或a ja a .aab .运算律：a ba :IIIIb a b a b ; a b c坐标运算：设两个非零向量 a x, y1 , b若 a x, y，贝U 2 $ x2 y2，或 a JXy2 .y2X2>y2%X2X1r bra则、r设a 为，y,，bx2, y2 ，贝U a 丄 bab = 0xix2 + yiy2 = 0.则 a/b a= Zb(bHO)xy = X2yi.y2 r bra设a、 b都是非零向量，axi,y,【例题】（1） KBC中，| AB |3，|AC| 4，|BC |5，贝U AB BC(答:- 9);（2）已知；小（0,1 r r r u r r),

23、c a kb, d a b，2r uc与d的夹角为一，则k等于4(答: 1)；(3)已知 a 2, b 5,ago3，则a b等于（答：.23 ）；(答:(4)(5)(6)求向量a、已知a,b是两个非零向量，且b，则a与a b的夹角为(答:30°)已知a （ ,2 ），b （3 ,2），如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是414或 0且丄）；33已知向量 a =( sinx，cosx) , b =(sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1) 若 x =一，3c的夹角；（答：150° ；8、b在a上的投影：即|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0。【例题】

24、已知| a | 3， | b | 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为12（答:二）59、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）：(1)， bc_sin A sin B sin C2R(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC/c、 a .b . c(3) sin A ,sin AB ,sin C , 2R2R2R余弦定理附:(1)(2)(3)2 2 2b =a c2 ac cos B,2 2 2A b c a cos A -2bc11S a ha : S -bcsin A221ab sin C212acsinB ；ABC的判定:a2 b2ABC

25、为直角 ZA + ZB =_c222< a bZABC为钝角从 + ZB< -> a2 b2ABC 为锐角附:2 .2 2证明：cosC y，在钝角AABC中,2 2cosC 0 a bc20在ZVKBC中，有下列等式成立tan A ta nB tanCtan Atan B tanC .证明：因为A B C,所以tan A BtanC ,所以 tan A tan B1 tan Ata nBtanC，a2 b2 c2结论！三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点非零

26、向量a与有关系是：是a方向上的单位向量aa练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足a b a b，则a与b必须满足的条件为a,b方向相同2、若Ab b, AC c，则BC等于(BA.3、正六边形ABCDE中,BA CD EFA.BECDCF4、在边长为1的正方形ABCD中，设 AB a, AD b,ACc,则5、在 ABC中,已知BC3BD，贝U AD等于(AA.-(AC 2AB)311 -(AB 2AC) C . - (AC 3AB)D34-(AC42AB)6、在 ABC中,E、F分别是AB和AC的中点，若AB a,ACb，则EF等于(CA.2(a b).2(a b)1C .

27、(ba)22(a b)7、已知：向量a,b同向，且a 3,b7，则2a二、平面向量的基本定理及坐标表示&若 AB 3e1, CD5e1，且 |ad| |bc| ，贝U四边形ABCD1( C )A .是平行四边形B .菱形 C.等腰梯形D.不等腰梯形9、已知 A( 2,4),B(3, 1),C( 3, 4)且 CM 3CA,CN 2CB，试求点 M、N 和 MN 的坐标 199 页(答案:M (0,20), N(9,2), MN ( 9, 18)10、已知向量a ( 3, 4)，则与a同向的单位向量是( AA (-,-)B (?,4) C ( 3, 4)D (3,4)555 511、已知

28、A( 3,2), AB (8,0)，则线段AB中点的坐标是 (1, 2)12、 若三点 P(1,1),A(2, 4),B(x, 9)共线，求 x(答案：x 3 )13、若向量a (x 3,x2 3x 4)与AB相等地，已知A( 1,2), B(1,2)，则x的值为(A )A. -1 B . -1 或-4三、平面向量的数量积C . 4 D . 1 或 414、已知，a 2,b 3,a b 3、3，则a与b的夹角等于30°12515、已知ABCD为菱形，则(AB BC) (AB AD)的值为16、已知b 5，且a b 12，则向量a在b方向上的投影为17、已知向量a与b的夹角为120o，

29、且a 4,b 2，(1)求a在b方向上的投影(2) 求 3a 4b(3) 若向量a kb与5a b垂直，求实数k的值(答案:(1) -2，(2) 4,7，(3)孕)4118、已知 a、b 满足 a 1, b 1 且(a b)2 3，则 a b -19、 若a b| |a b，且a与b不共线，则a与b的夹角为90°20、已知a(2, 1),b(,1)，若a与b的夹角为钝角，贝U的取值范围是(A)A.(2,2)(2,)1B. (2,)C.(-,)1D. (, )221、已知a(6,0), b (5,5)，则a与b的夹角为135°22、已知A(3,2),B( 1, 1)，若点P(

30、x, 1)在线段AB的中垂线上，贝U x= -7、选择题平面向量高考经典试题1已知向量a ( 5,6) , b (6,5)，则a与bA .垂直B .不垂直也不平行 C.平行且同向D .2、 已知向量a(1, n), b ( 1, n)，若2a b与b垂直，则a ()A. 1B.2C. 2D. 43、若向量a,b满足| a| | b| 1 , a,b的夹角为60 °贝U a a a b =;平行且反向uuirLULT umr4、在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD 2DB,CD1 urn-CA，则 ()C.uuu uuruuuuuuuuruuuA. EF OFOEB. EFOF

31、OEuuuuuiruuuuuuuuiruuuC. EFOFOED. EFOFOE6、已知平面向量a(1,1),b(1,1)，则向量1 3ab2 2()A. ( 2, 1)B.(2,1)C. ( 1,)D.(1,)6、若0、E、F是不共线的任意二点，贝U以下各式中成立的是()二、填空题1已知向量a = 2,4, b = 1,1 .若向量b (a+ b)，则实数 的值是2、若向量a, b的夹角为60 , a b 1，则ag a b .3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0) , B(1,1)，则uu uurABgAC .三、解答题：1已知从BC三个顶点的直角坐标

32、分别为 A(3, 4)、B(0, 0)、C(c , 0).(1) 若ABgAC 0，求c的值；(2)若c 5，求sin ZA的值ka b与a 3 b平2.已知 a (1,2), b ( 3,2),当 k为何值时，(1) ka b 与 a 3b 垂直？ (2)行？3.已知a(cos ,sin ) , b (cos ,sin ) , (0).求证：a b与a b互相垂直;4.已知a (2,1)与b(1,2)，问当实数t的值为多少时a tb最小5.已知向量a (cos ,sin )，向量b(V3, 1)，贝U 2a b的最大值是6、在厶ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,tanC 3 7

33、.(1) 求 cosC ;uuu ULW 5(2) 若 CBgDA -，且 a b 9，求 c .7WABC中，a, b, c分别是三个内角A B C的对边若a 2 C寸，嗚年求 ABC的面积S .8设锐角三角形 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a 2bsin A.(I)求B的大小；(U)若a 3 3 , c 5 ,求b.139、在 ABC 中，tan A , tan B -.45(I)求角C的大小；(U)若 ABC最大边的边长为17，求最小边的边长.答案 选择题1、A.已知向量 a ( 5,6) , b (6,5) , a b 30 30 0，则；与 b 垂直。2、C 2a b= (3, n)，由2a b与b垂直可得:(3, n) ( 1,n)3 n20 n 亦,a 2。3、3解析：a ar r a b1 1 1丄3222，4、A在？ABC中,已知D是AB边上uuumuuuurmu2 UUUUUU 2UUUCDCA AD CA-ABCA -(CB33UUUUULTUUur5、B由向量的减法知EF OFOE一点，若 AD =2DB , CD=-CA CB，则3uuu1 um2 uuu2CA)CACB,= o3336、D -a 3b ( 1,2).2 2填空题1解析：已知向量a = 2,b= 1,1 量