2022年初三数学直线形知识精讲

1、学习必备欢迎下载初三数学直线形知识精讲一. 本周教学内容：直线形直线形是初中平面几何的基础知识，其中三角形是构成多边形的基础图形，而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。例 1. 已知，如图，abc中， ad是高， ce是中线， dc=be ，dg ce，g是垂足，求证：（1）g是 ce的中点；（2） b=2bce 。分析：（1）欲证 g是 ce中点，即eg=cg ，由条件 dg ce ，所以只须证dg所在直线为ce中垂线，想到要连结de ，证出 dec为等腰三角形。即 de=cd 即可，由已知条件dc=be=ea ， abd为直

2、角三角形，de=be=dc，则此题得到解决。（2）由第（ 1）问知： dc=de ， bde= dec+ dce=2 dce 由 be=de ， b=bde=2 dce 。证明：（1）连结 de ， adb=90 ， e是 ab中点， de=ae=be 又 dc=be ， dc=de 又 dg ec于 g ， g是 ec中点（2） de=dc ， dce= dec edb= dec+ dce=2 dce ，又 de=be ， b=edb b=2bce 例 2. 如图， abc中， ab=ac ，d、e、f 分别为 ab、bc 、ca上的点，且bd=ce ，def= b，求证： def是等腰三角

3、形。分析： 从已知条件入手，由ab=ac ，可得 b=c 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 def= b， def= b=c 又 bef=c+ efc （三角形外角等于不相邻的两内角和）又 bef=bed+ def bed= efc ，从而得到bde cef de=ef ，即 def是等腰三角形。证明： dbe和 ecf中， bd=ce ，ab=ac ， b=c 又 bef= bed+ def= c+efc ， def= b bed= efc bde cef ， d

4、e=ef def是等腰三角形。例 3. 已知，如图，在 abc中， （ab ac ） ，d、e在 bc中，且 de=ec ，过 d作 dfba交 ae于点 f，df=ac ，求证： ae平分 bac 。分析： df=ac ，而 df、ac不在同一三角形中，也不在全等的两个三角形中，所以想到通过证三角形全等把 df与 ac移动到同一三角形中，由de=ec ，即 e是 dc中点，延长fe到 g，使 eg=ef ，可得到 def ceg ，进而得到cg=df=ac， g= gac ，又可得到gc df ab ， g= bag ， bag= gac ，即 ag平分 bac 证明： 延长 fe到 g ，

5、使 eg=ef ，连结 cg 在 def和 ceg 中， ed=ec ， def= ceg ，fe=eg def ceg ， df=gc ， dfe= g dfab， dfe= bae df=ac ， gc=ac ， g= cae bae= cae ，即 ae平分 bac 。例 4. 如图，已知ad是 abc的中线， be交 ac于点 e，交 ad于点 f，且 ae=ef ，求证： ac=bf 。分析： 要证的两条线段ac 、bf不在两个能全等的三角形中，因此证 ac=bf较困难，于是想到通过添加辅助线，把ac 、bf转化到一个三角形中。由于ad是中线，所以常采用倍长中线的方法添加辅助线，再通

6、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载过全等三角形的证明得到结论，类似于上一题。证明： 延长 ad到 h，使 dh=ad ，连结 bh ad是 abc的中线， bd=dc 又 bdh= cda ，dh=ad bdh cda bh=ca ， h= dac ae=ef ， fae= afe 又 afe=bfd ， h=bfd bh=bf ， bf=ac 例 5. 如图，在等腰rtabc中， c=90 ， d是斜边 ab上任一点， aecd于 e，bfcd交 cd的延长线于 f

7、，ch ab于 h点，交 ae于 g ，求证： bd=cg 分析： 由于 bd与 cg分别在两个三角形中，欲证bd与 cg相等，设法证cge bdf ，由于全等条件不足，所以考虑先证aec cfb ，进而得到证cge bdf的条件。证明： 在 rtaec与 rtcfb中ac=cb ，ae cd于 e，bfcd交 cd的延长线于f， aec= cfb=90 又 acb=90 ， cae=90 ace= bcf rtaec rt cfb ， ce=bf 在 rt bfd和 rtceg 中， f=gec=90 ， ce=bf fbd=90 fdb=90 cdh= ecg ，rtbfd rt ceg

8、bd=cg 例 6. 已知：如图，abc中， bac=120 ， ab=3 ，ac=2 ， bac的平分线交bc于 d，求 ad的长。分析：此题图形虽然简洁，但内涵很丰富。由已知条件，可由bac=120 ，ad平分 bac得到 bad=cad=60 。但没有特殊三角形，如直角三角形或等边三角形，所以要求ad的长，只能另想办法。这时我们想到要构造平行线，利用比例性质去求。常利用一个公式“角平分线平行线等腰三角形”。+解：法一： 过 d作 ac的平行线交ab于 e，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - -

9、 - - -学习必备欢迎下载ad平分 bac bad= cad=60 又 eda= cad=60 aed是等边设 ad=x 则 ae=de=x ， be=3 x 又，deacbeabxx233，即xad6565法二： 过 c作 ad的平行线交ba的延长线于f， bad= cad= f=acf=60 acf是等边三角形。af=cf=2 ，bf=3+2=5 adcfbabf即，adad23565法三： 过 b作 ac的平行线，交ad的延长线于p 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备

10、欢迎下载则 bap= cad= p=60 abp为等边三角形设 ad=x 则 dp=3 x， bp=3 又 bpd cad bpacpdad即323xx，即xad6565例 7. 已知：中，求的长。abcbc = 6ac = 6 3aab30分析： 此题没有给出图形，自己画图时，便要考虑它的特点，题中给出了三角形的两边长及一条边的对角，因此需要分两种情况讨论，分别求解。解： 如下两图，作cd ab于 d，在 rt acd中，a = 30ac = 6 3cdacaacsin123 3又 bc=6 ， bccd 点 d落在 ab边上，或点 d落在 ab的延长线上（1）当 d落在 ab边上时，在 r

11、t acd中，aac306 3cdac123 3adaccd229在 rt bcd中dbbccd223ab=ad+db=9+3=12 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）当点 d落在 ab的延长线上时， ad=9，bd=3 abadbd936ab的长为 12 或 6。一、填空： 1. 等腰三角形的两条边长分别为2cm和 5cm ，则该等腰三角形的周长为_。 2. 一个三角形三边的长分别为8，10， x，则 x 的取值范围是_。 3. 如图， abc中， ab=ac

12、 ，adbc于 d，ae=af ，则图中全等三角形共有_对。 4. 已知，在 abc中， c=80， a b=20，则 b的度数是 _。二、解答题： 5. 已知：如图，abc中，点 e，f分别在 ab ，ac边上，点d是 bc边中点，且ef bc ， de=df ，求证：ab=ac 。 6. 如图，在 abc中，已知ab=ac ， bac=90 ， d是 bc上一点， ecbc ，ec=bd ，df=fe ，求证： （1） abd ace ；（2）af de 。 7. 如图，在 rt abc中， c=90， m是 ab中点， am=an ，mn ac ，求证： mn=ac 。精品学习资料 可选

13、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 8. 如图， abc中， adbc于 d， b=60， c=45 ， bc3，求sabc。 9. 已知：如图，在rtabc中， acb=90 ， ac=bc ，d为 bc的中点， cead ，垂足为点e， bf ac交ce的延长线于点f，求证： ab垂直平分df。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 参考答案 一、填空题 1.

14、 12cm 2. 2x18 3. 4 4. 40二、解答题： 5. 证明： de=df ， 1=3 efbc， 1=2， 3=4 2= 4 在 dbe和 dcf中，dbdcdedf24 dbe dcf b= c， ab=ac 6. （1） ab=ac ， abc= acb 又 bac=90 ， b= acb=45 又 ec bc ， ecb=90 ， eca=45 又 bd=ce ， abd ace （2） abd ace ， ad=ae 又 df=fe ， af de 7. 连结 cm ， c=90， m是 ab的中点，am=mb=mc， 1=2 mn ac， 2=3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载am=an ， 3=n， 1=2=3= n 又 4=180 3 n 在 abc中， 1+2+5=180 5=180 1 2=180 3 n 5= 4， amn mac ， mn=ac 。 8. 设 ad=x ， ad=dc=x bd3x， b=60tan()badbdxxx333231，sbcadabc12943 34。 9.