矢量分析与场论ppt课件

1、第一章第一章 矢量分析与场论矢量分析与场论标量场和矢量场标量场和矢量场梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度矢量场的初等运算矢量场的初等运算矢量场的微、积分矢量场的微、积分 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理场的图示法场的图示法1.1 1.1 常用坐标系正交系常用坐标系正交系 - -x x X=C X=C；是一截距为；是一截距为C C且与且与X X轴轴的平面的平面直角直角 x,y,z - x,y,z -y y Y=C Y=C；是一截距为；是一截距为C C且与且与Y Y轴轴的平面的平面 - -z z Z=C Z=C；是一截距为；是一截距为C C且与且与Z Z轴轴的平面的平面 0 0 =C=C；是一；是一Z Z轴

2、为轴心半径为轴为轴心半径为C C的柱的柱面面圆柱圆柱 , ,z 0 ,z 0 2 2 =C=C；是一过；是一过Z Z轴的半平面子午面轴的半平面子午面 - -z z Z=C Z=C；是一截距为；是一截距为C C且与且与Z Z轴轴的平面的平面 0r 0r r=C r=C；是一；是一O O点为中心点为中心C C为半径的球为半径的球面面球面球面 r, r, , 0 0 =C=C；O O为顶点为顶点Z Z为中心轴为中心轴C C为半为半顶角顶角 的圆锥面的圆锥面 0 0 2 2 =C=C；是一过；是一过Z Z轴的半平轴的半平面子午面面子午面方式方式 坐标坐标 取值范围取值范围 几何意义几何意义z z z

3、zz zx xy yOOOOOOx xx0 y0 z0 x0 y0 z0r r x xy y0 0 0 z00 z0r0 r0 0 0 0 0 三种正交系的相互关系三种正交系的相互关系z zx xy y r r X=cos = rsin cosY=sin = rsin sinZ=rcosr2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2= rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r)cos = (x/r) cos = (y/r)cos = (z/r)cos2 +cos2 +cos2 = 11.2 1.2 标量与矢量标量与矢量物理量通常是时间和空间的函数物理量通常是时间和空间

4、的函数描画空间的数学言语是坐标描画空间的数学言语是坐标描画物理量的数学言语是标量和矢量描画物理量的数学言语是标量和矢量标量标量A A：只需大小没有方向的物理量：只需大小没有方向的物理量矢量矢量A A：即有大小又有方向且符合平行四边形法那么的物理量。：即有大小又有方向且符合平行四边形法那么的物理量。 算数量：算数量：0 0代数量：代数量：00不变量：不变量：ABAB标量与矢量复数1.3 1.3 标量场与矢量场标量场与矢量场物质粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场

5、能同时占有同一空间位置。场：某一物理量在空间的分场：某一物理量在空间的分布称场布称场标量场：其物理量为标量的标量场：其物理量为标量的场场矢量场：其物理量为矢量的矢量场：其物理量为矢量的场场场物理量场场 A或或A静态场静态场: AM 均匀场均匀场: At动态场动态场 均匀平面场均匀平面场: Az,t) 普通时变场普通时变场: A(M,t)1.4 1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量单位矢量 eA : eA : 模模( (大小大小) )为为1,1,以矢量以矢量 A A 的方向为方向的矢量。的方向为方向的矢量。 坐标单位矢量：指坐标线矢量上的单位矢量。坐标单位矢量：指坐标

6、线矢量上的单位矢量。 假设将坐标线标上方向那么该坐标线称坐标(线)矢量e直角：直角：球面：球面：ex ey ez圆柱：圆柱： e ej ezerej对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：常矢：大小和方向均不变的矢量。常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。有了单位矢量,矢量A就可表现为如下方式： = Axex + Ay ey + Az ez = A e + Ae + Az ez= Ar er+Ae+AeA = A eA ？eexerezeyeejA矢量场的不变性A eAA1eA = A/A 1.5 1.5 源点、场点、矢

7、径、间隔矢量源点、场点、矢径、间隔矢量矢径矢径(r)(r)：由：由O O点指向空间任一点点指向空间任一点MM的矢量的矢量OM OM 用用 r r 表示称矢径。表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。源点：源所占有的空间位置称源点，用符号源点：源所占有的空间位置称源点，用符号SS表示。表示。场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P P表示。表示。间隔矢量间隔矢量 R R：由源点指向场点的矢量，：由源点指向场点的矢量，

8、用符号用符号 R R 表示。表示。 R = r - r R = r - r场点：场点：r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r err = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er源点：源点：r = xex + yey + zez = e+zez = r = xex + yey + zez = e+zez = rerrer源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：SPRrr1.5 1.5 源点、场点、矢径、间隔矢量源点、场点、矢径、间隔矢量例：知，例：知，A = xyex + z2

9、ey + y ez 求：求：A及及r 在点在点P(1,2,2)的值，且图示。的值，且图示。 留意：矢径和矢量的区别留意：矢径和矢量的区别解：解： 求值求值 r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入将此代入A及及r 得：得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez rA 图示图示P(1,2,2)1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提加减乘设：A = Axex + Ay ey + Az ez， B = Bxe

10、x + By ey + Bz ezAB = (Ax Bx ) ex + (Ay By ) ey + ( Az Bz ) ez 标乘点乘叉乘A = Axex + Ay ey + Azez AB = ABcos(AB ) = AxBx + AyBy + Az Bz 性质：1、假设 AB = 0 那么 AB 2、 AA = A2 AB = ABsin(AB )en = ex ey ez Ax Ay AzBx By Bz性质：1、假设 AB = 0 那么 AB 2、 AA = 0ABABen1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量初等运算规那么(设：A 、B、C 都是矢量)A+B = B+A

11、; A(BC) = (AB ) CAB =BA ; A(B+C) = AB+ACAB = - BA ; A (B+C) = AB+AC A(BC) = B (CA) = C (AB)(AB) C A (BC) ; A (BC) (AB) CA (BC) = (A C) B - (AB) C Ax Ay Az ABC = BCA = CAB = Bx By Bz Cx Cy Cz 假设假设 B=C 那么那么 AB = A C及及AB = A C 成立成立假设假设 AB = A C及及AB = A C 那么那么 B=C不一定成立不一定成立结论：等式两边可同时“点和“叉， 但不能随意消去一样的量CA

12、B1.7 1.7 坐标变换坐标变换1、不同坐标系的变换、不同坐标系的变换例：例：=1/x2 + y2 + z2 = 1/2 + z2 = 1/ r2、坐标平移、坐标平移例：假设电荷例：假设电荷q位于坐标原点位于坐标原点O，那么电位，那么电位=kq /x2 + y2 + z2 假设将电荷假设将电荷q 置于坐标点置于坐标点 s(xyz)处处,求电位求电位的表达式。的表达式。解：将坐标点解：将坐标点 s定义为新坐标系定义为新坐标系(u,v,w)的原点的原点O那么：那么：=kq /u2 + v2 + w2 = kq /(x-x)2 + (y-y)2 + (z-z)2OOuwvzxyqq3、坐标旋转、坐

13、标旋转坐标系是一钢架，坐标系是一钢架，当某一轴替代另一轴时，当某一轴替代另一轴时， 其它轴也应相应变换。其它轴也应相应变换。OxzyOyxzOxzy原坐标原坐标新坐标新坐标1.7 1.7 坐标变换坐标变换4 4、坐标单位矢量的变换、坐标单位矢量的变换设：设：u u 和和 v v 分别为正交坐标系分别为正交坐标系ev1 = cos(ev1eu1)eu1ev1 = cos(ev1eu1)eu1 cos(ev1eu2)eu2 cos(ev1eu2)eu2cos(ev1eu3 )eu3 cos(ev1eu3 )eu3 = (ev1 eu1 ) eu1 = (ev1 eu1 ) eu1 (ev1 eu2

14、) eu2 (ev1 eu2) eu2(ev1 eu3 ) (ev1 eu3 ) eu3 eu3 同理：同理： ev2 = (ev2 eu1 ) eu1 ev2 = (ev2 eu1 ) eu1 (ev2 eu2) eu2 (ev2 eu2) eu2(ev2 eu3 ) eu3 (ev2 eu3 ) eu3 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 (ev3 eu2) eu2 (ev3 eu2) eu2(ev3 eu3 ) eu3 (ev3 eu3 ) eu3 用矩阵表示：用矩阵表示： ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 ev1 eu1 e

15、v1 eu2 ev1 eu3 eu1ev1 eu3 eu1 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 eu3 eu2ev2 eu3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 eu3 eu3 ev3 eu3 eu3 eu1eu3eu2ev1以上讨论的是普通正交系的转换，由此可得：以上讨论的是普通正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间

16、单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换exezeyer方法一：方法一：由普通式，且设：由普通式，且设：u u为直角坐标系、为直角坐标系、 v v为球坐标系，那么有：为球坐标系，那么有： er er ex er ey er er ex er ey er ez exer ez ex e = e ex e ey e = e ex e ey e ez eye ez ey e e ex e ey e e ex e ey e ez ez e ez ez cos cos cos ex = er(+90,) ex er(+90,) ey er(+90,) ez ey er(90,+90)ex er(9

17、0,+90)ey er(90,+90)ez ez sin cos sin sin cos ex= sin(+90) cos sin (+90) sin cos (+90) ey sin90 cos(+90) sin90 sin(+90) cos90 ez sin cos sin sin cos ex= cos cos cos sin -sin ey -sin cos 0 ez 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换方法二：方法二：exezeyer er = sin cos ex + sin sin ey+ cos ezeze

18、xeysinsinsinere = cos cos ex + cos sin ey sin ezexezeyerezexeycoscosercosee = -sin ex + cos ey exeye例：知，在点例：知，在点P(1,1,0)处有一常矢量处有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez 求：求：A在该点的球坐标表达式。在该点的球坐标表达式。 求：求：A在在(2,2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。点处的直角坐标和球坐标表达式。对于点对于点(1,2,2)： sin = 1， sin=1/ 2， cos=0， cos=1/ 2 因此：因此：ex = 1/2er-1/2e ，

19、 ey = 1/2er+1/2e , ez = e A = 32er 2 e +2 e对于点对于点(2,2,2) ： sin = sin= cos= cos=1/2 因此：因此：ex = 1/2er+1/2e -1/2e , ey = 1/2er+1/2e +1/2e ez = 1/2 er-1/2 e 球：球： A =(3+2)er +(3 -2)e 2e 直：直：ex ,ey ,ez为常矢为常矢 ，因此，因此A不随点变化不随点变化 A = 2ex +4ey +2ezex = sin cos er + cos cos e - sin e ey = sin sin er + cos sin e

20、 + cos e ez = cos er sin e 解：解：以上结果显示：以上结果显示： 同一矢量同一矢量 ，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由矢量场的不变性可知：但由矢量场的不变性可知：对于点对于点(1,2,2)： A = 32er 2 e +2 e = 2ex + 4 ey + 2 ez对于点对于点(2,2,2) :A =(3+2)er +(3 -2)e 2e= 2ex +4ey +2ez 同一常矢量同一常矢量 ，在不同点其直坐标下的表达式是不变的，在不同点其直坐标下的表达式是不变的， 而球坐标下的表达式是完全不同的。而球坐标

21、下的表达式是完全不同的。这提示我们不要由于表达式的差别而忘了它们的不变性这提示我们不要由于表达式的差别而忘了它们的不变性即：无论他选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。即：无论他选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。这阐明除直坐标外：这阐明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也能够变。坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也能够变。对于每一种坐标系每个坐标点都与独一的一组坐标轴对应对于每一种坐标系每个坐标点都与独一的一组坐标轴对应对于柱或球坐标系每条对于柱或球坐标系每条或或r射线都与独一的一组坐标轴对应射线都与独一的一组坐标轴对应1.8 1.8 微分元微分元 微分元是矢量微、积分的根

22、底。微分元是矢量微、积分的根底。坐标线元坐标线元dxdxdydydzdzdddddzdzdrdrrdrd rsind rsind 坐标平面元坐标平面元dd 假设假设: : 那么那么d=d=x=c, dydzx=c, dydzy=c, dxdzy=c, dxdzz=c, dxdyz=c, dxdy=c, =c, ddzddz=c, ddz=c, ddzz=c, z=c, ddddr=c, r=c, r2sinddr2sindd=c, =c, rsindrdrsindrd=c, =c, rdrdrdrd坐标体元坐标体元dvdvdxdydzdxdydz dddz dddz r2sindrddr2si

23、ndrdddx=dy=dz=d=d=dz=dr=d=d=ex ey ez e ej ezer e e坐标元坐标元恣意元恣意元坐标元坐标元dxdx直直 dy dydzdzdd柱柱 d ddzdzdrdr球球 d dddendx =dy =dz =d =d =dz =dr =d =d = en en en en en en en enenyxzendxdzdydz=dxdyezdz=-dxdyezyxzdzdd=dedd=ddze yxzddrrddl = -dxex+dyey+dzez = de +dej+dzez = drer- rde +rsinde en ds dz s yxzdxdydz

24、 l dlyxzdrsinddrer-rder rdrdr 弧长元弧长元( (切线切线)dl = dle )dl = dle 直：直：= dx+dy+dz = dx+dy+dz =dxexdxexdyeydyeydzez dzez dl=dx2+dy2+dz2dl=dx2+dy2+dz2柱：柱：= d+d+dz= d+d+dz=de de dejdejdzez dzez dl=d2+(d)2+dz2dl=d2+(d)2+dz2球：球：=dr+d+d=dr+d+d=drerdrerrde rde rsinde rsinde dl=dr2+(rd)2+(rsind)2dl=dr2+(rd)2+(r

25、sind)2 曲面元曲面元( (切面切面) ds = dsen ) ds = dsen 直直: =dx+dy+dz=: =dx+dy+dz=dydzexdydzexdxdzeydxdzeydxdyez dxdyez ds=(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2ds=(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2柱柱: =d+d+dz=: =d+d+dz=ddzeddzeddzejddzejddez ddez ds=(ddz)2+(ddz)2+(dd)2ds=(ddz)2+(ddz)2+(dd)2球球: =dr+d+d =: =dr+d+d =r2sindderr2sindderrsin

26、drdersindrderdrdej rdrdej ds=(r2sindd)2+(rsindrd)2+(rdrd)2ds=(r2sindd)2+(rsindrd)2+(rdrd)2dd概念：1.8 1.8 微分元微分元坐标：空间某点的位置可用三个坐标坐标：空间某点的位置可用三个坐标( (例：例：xyz)xyz)独一确定。独一确定。坐标线：例：当坐标线：例：当y=a,z=c(a,cy=a,z=c(a,c为常数为常数) )而而 x x 延续变化所构成的轨迹延续变化所构成的轨迹 称称 x x 坐标线。显然坐标线。显然 和和 坐标线为一族同心圆和坐标线为一族同心圆和半圆。半圆。 坐标线元：指与坐标元对

27、应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与一微小线段。显然，与dd，dd对应的是一微小的曲线，对应的是一微小的曲线， 很微小，很微小，可视为直线因此与坐标轴重合。可视为直线因此与坐标轴重合。这阐明：坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。这阐明：坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。 过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。坐标面元坐标面元: :两条相关垂直的坐标线元构成的平面两条相关垂直的坐标线元构成的平面, ,显然这是一矩形。显然这是一矩形。弧长元弧长元( (切线切线

28、)dl: )dl: 由空间某点由空间某点P P可引出多条恣意曲线，由可引出多条恣意曲线，由P P点起沿点起沿某曲线取一小段某曲线取一小段( (即增量即增量l ) ,l ) ,且过且过P P点作该曲线的切线，切线上点作该曲线的切线，切线上与增量与增量l l 相应的切线元相应的切线元dl dl 称弧长元，显然它是恣意方向上的线称弧长元，显然它是恣意方向上的线元。元。曲面元曲面元( (切面切面) ds) ds：与恣意曲面在某点的增量：与恣意曲面在某点的增量s s 相对应的切面元。相对应的切面元。坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴, ,方向为坐标增大的方向。方向为坐标

29、增大的方向。 显然，只需显然，只需x,y,zx,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。会变。坐标元：坐标的微分量。坐标元：坐标的微分量。1.9 1.9 矢量积分矢量积分矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。对时间的积分对时间的积分对空间的积分对空间的积分1 1、对时间的积分、对时间的积分设：A = A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3A dt = A1eu1 dt + A2 eu2 dt + A3 eu

30、3 dt = eu1 A1 dt + eu2 A2 dt + eu3 A3 dt本教材假定所研讨的对象是不运动的，即坐标原点本教材假定所研讨的对象是不运动的，即坐标原点O O静止。静止。因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的它们可以提到积分号外。它们可以提到积分号外。例：矢量例：矢量 A = t2xex + 2ty ey + z ez A = t2xex + 2ty ey + z ez 求：求：1 A dt 1 A dt 0解：解： 1 A dt =(3t2xex + 2ty ey + z ez )dt = 3xex t2 dt + y ey2t dt+ z

31、ez dt = xex + y ey + z ez 0101010101.9 1.9 矢量积分矢量积分标性标性矢性矢性A dl = Acos(A,dl) dl =(Axdx + Ay dy + Az dz) = (Ad+Ajd+Azdz) =(Ardr+ Ard +Ajrsind) A ds = Acos(A,ds) ds =Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =Addz+Ajddz+Azdd =Arr2sindd+Arsindrd+Ajrdrdfdv =f dxdydz =f dddz = f r2sindrdd 2 2、对空间的积分、对空间的积分标性标性矢性矢性根据积分结果可

32、分为两类根据积分结果可分为两类 f dl = exfdx + eyfdy + ez fdzA dl = exAxdl + eyAydl + ezAzdl e d = ex cosd + ey sin d = 0 - - -例：例： e d e d -解：解： e = excos + eysin 一、定义：1.10 1.10 矢量微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3A (u1 +u1, u2, u3 , t) - A (u1 , u2, u3 , t) A u1 u1= limu1 0 假设：假设：二、公式：三、运算那么：称矢量那

33、么：称矢量 A A 是对自变量是对自变量 u1 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数偏导数。依此类推可得其它偏导数Au1=+ Au1u1A(AB)u1Bu1Au1 = A + B(AB)u1Bu1Au1 = A+ BCu1 = 0；(A+B)u1Bu1Au1 = +假设：假设：u1 = u1 (t),u1 = u1 (t),At那么那么: = Au1du1dt = A2u1u2A2u2u1由式可将矢量由式可将矢量A A 的偏导数用分量方式表示的偏导数用分量方式表示Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u11.10 1.10 矢量

34、微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu31 1、对坐标单位矢量的偏导、对坐标单位矢量的偏导 = 0；te时间：时间：空间空间球：(er,e ,ej ) r = 0；柱：(e ,ej , ez ) (z,r,) = 0；直：(ex , ey , ez ) (x,y,z,r,) = 0；e = ejej = -ee = ej证：证：将式代入原式： e = excos + eysin ej = - exsin + eycos e = (excos + eysin ) = - exsin + eycos = ej 与式相比，原式得证运算对时

35、间的微分对时间的微分对空间的微分对空间的微分对坐标单位矢量的偏导对坐标单位矢量的偏导对矢量函数的偏导对矢量函数的偏导设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导AtA1tA3t= eu1 + eu2 + eu3A2t直： A Ax Ay Az x x x x = ex+ ey + ez ； 时间：时间：空间空间柱：A A A Az = e + ej + ez 2 2、对矢量函数的偏导、对矢量函数的偏导 A A A Az = e + Aej + ej -

36、Ae + ez A Ar A A = er + Are + e - Aer + ej球：A Ar A A r r r r = er + e + ej = Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Ae + Ae Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u1= A e + Ae + Az ez1.11 1.11 三度、二式、一定理三度、二式、一定理以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进展了讨论以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进展了讨论下面将对数学场论作引见下面将对数学场论作引见三度：三度： 梯度、散度、旋度梯

37、度、散度、旋度二式：二式： 格林恒等式格林恒等式一定理：亥姆霍兹定理一定理：亥姆霍兹定理定义定义表达式表达式辅助量辅助量性质性质公式公式1.11 1.11 三度、二式、一定理三度、二式、一定理梯度梯度: :是一矢量，研讨数量场是一矢量，研讨数量场u u沿某途径变化率可达最大的问题。沿某途径变化率可达最大的问题。由数量场由数量场u 的某点可延伸出许多条直线途径的某点可延伸出许多条直线途径l ,而这每一个而这每一个 l 又又 分别是每一族曲线在该点的切线分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示如图示) 。由导数的定义可知，。由导数的定义可知，数量场数量场u 沿曲线只需是同一族曲线包括切线沿曲线只需是

38、同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相在内其变化率是相同的。因此可将研讨数量场同的。因此可将研讨数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变沿曲线变化的问题转化为沿直线变化的问题。显然只需沿着不同的直线途径化的问题。显然只需沿着不同的直线途径l 其变化率才不同，但其变化率才不同，但只需沿其中的一条途径只需沿其中的一条途径l 变化其变化率可达最大。变化其变化率可达最大。 du dlG最大 G = grad u = eG定义在某数量场定义在某数量场u u 中某一点中某一点M0 M0 处，存在这样的一处，存在这样的一个矢量个矢量G G，函数，函数u u 在点在点M0 M0 沿沿G G的方向发生变化，

39、其变化率最大且模的方向发生变化，其变化率最大且模G G正好等于变化率，正好等于变化率，即定义式：即定义式： 我们称矢量我们称矢量G G为为u u 在点在点M0M0处的梯度，用符号处的梯度，用符号grad u grad u 表示。由该定义可得如下关系：表示。由该定义可得如下关系：由此定义式可导出更具实意图义的表达式由此定义式可导出更具实意图义的表达式M0 ullGlG u u u x y z 直：gradu = ex+ ey + ez u u u z柱：gradu = e + ej + ez u u u r r rsin 球：gradu = er + e + ej表达式表达式 x y z = (

40、 ex+ ey + ez )u =u z= ( e + ej + ez )u =u r r rsin = ( er + e + ej )u =u 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进展有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进展梯度梯度 u u u x y z du = dx+ dy + dz 对u 求全微分，那么有：对上式两边同时除以dl ，及又dl /dl = el , 那么有:= ( ex+ ey + ez )dl u u u x y z又dl = dxex+dyey+dzez ： = ( ex+ ey + ez ) el d

41、u u u u dl x y z 推导，以直坐标为例：推导，以直坐标为例：为运算方便，令： 那么有:du/dl=A el ex+ ey + ez=A u u u x y zA是一微分矢量。当是一微分矢量。当u给定后给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的在某点的大小和方向是确定不变的el是某途径方向与是某途径方向与u无关。无关。 u可沿不同的途径可沿不同的途径l 变化，即变化，即el可变。可变。du/dl 假设要到达最大，那么u必需沿eA方向变化，即el = eA因此du/dl=A el =A eA el 应改为：du/dlA最大 =A eA eA =A 这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率

42、达最大且正好= A的模 或对上式两边同乘以eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A将此与定义相比可知， A就是梯度即：G= A 证毕假设对假设对u u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。 辅助量辅助量 方导游数方导游数数量场数量场u u沿某途径沿某途径l l 的变化率称方导游数，记作的变化率称方导游数，记作du/dldu/dl性质性质 共有共有6 6条条 1 1、标量场、标量场u u的梯度是矢量。的梯度是矢量。2、简化了全微分的表达式：、简化了全微分的表达式：du =Gdl3 3、方导游数是梯度在该、方导游数是梯度在该

43、ln ln 方向上的一个分量的模。方向上的一个分量的模。 由前面的推导中知：由前面的推导中知：du/dl=G eldu/dl=G ellil2l1Gdu/dl4 4、G G方向总是指向方向总是指向u u增大的方向，即增大的方向，即u2 u2 u1 (u1 (在在G G方向上方向上) ) 证证:lG du dlG最大 G = eG = G eGl1l2u1u2lG du dlG 即： = G 0又又 各各lnln的方向包括的方向包括lG lG 方向在内均以方向在内均以M0M0为起点向外，为起点向外， 即即 各各lnln上的上的l2l2总是总是l1 l1 这就是说，假设这就是说，假设dl = l2

44、 - l1 dl = l2 - l1 那么那么dl dl 0 0M0 du u2 - u1 dlG l2 - l1 因此： = 0 u2 - u1 0证毕证毕梯度梯度5 5、G G方向为等位线方向为等位线( (或面或面) )的法向，即的法向，即eG = eG = en en 0u 等值面：指在三维数量场等值面：指在三维数量场u(x,y,z)u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相中，将空间不同位置上但具有相等等场值的各点所连成的面。其表达式为：场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z) = Cu(x,y,z) = C证证: u(x,y,z) = C du = 0 : u(x,y,z

45、) = C du = 0 因此：因此：du/dl=G el du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 =Gcos(eG ,el )= 0 又又 G0 cos(eG ,el ) = 0 G0 cos(eG ,el ) = 0 故：故：eG eleG el 又又 el el 为等位线为等位线( (或面或面) )的切线的切线 eG = eG = en en 证毕证毕等值线：指在二维数量场等值线：指在二维数量场u(x,y,)u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相中，将空间不同位置上但具有相等等场值的各点所连成的线。其表达式为：场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,) = C

46、 u(x,y,) = C 性质性质梯度梯度eGel6 6、 u = 0u = 0或或00该式都成立，即该式不能阐明梯度场能否存在。该式都成立，即该式不能阐明梯度场能否存在。该式阐明：该式阐明： 梯度场假设存在必是无旋场。梯度场假设存在必是无旋场。en公式公式梯度梯度例：求例：求u=1-(x/a)2+(y/b)2u=1-(x/a)2+(y/b)2在点在点Mo(a/2,b/2)Mo(a/2,b/2)处处 沿曲线沿曲线1=(x/a)2+(y/b)21=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方导游数。的内法线的方导游数。Cu =CuC = 0(uv)=uv(u v)= uvvu(u/v)= (vuuv)

47、/v2f (u)= f (u) u又又 u 2x 2 x a2 a = =2a2a u 2y 2 y b2 b = =2 b2 bMoMoenG=u =( ex + ey )2a2 b那么在点那么在点MoMo处的梯度为：处的梯度为：解：解： du/dl=G el du/dl=G el 由题意由题意 el =-en el =-en 即求即求du/dl du/dl =G ( -en )=G ( -en )MoMoMoMo令：令：u=0 u=0 可见其等位线与题中的曲线一样，这意味着可见其等位线与题中的曲线一样，这意味着eG = eG = en en 另外，分析上式：另外，分析上式：eG = - e

48、n eG = - en 可见可见, du/dl =G ( -en ) =G eG = G = , du/dl =G ( -en ) =G eG = G = 2(a2 + b2 )/ab2(a2 + b2 )/abMoMoMoMoMoMoMoMo1 1、矢量线力线：一种假想的线。、矢量线力线：一种假想的线。 v矢量线上任一点的切向就是矢量矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向；在该点的方向；v矢量矢量A的大小正比于过的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面点且与力线正交的单位面v 积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征A 的大小；的大小；垂直过曲面垂直过曲面

49、通量定义中的曲面是有向曲面即通量定义中的曲面是有向曲面即S 是是 矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。 散度散度: :是一标量，研讨矢量场是一标量，研讨矢量场A A在某点处其通量对体积的变化率。在某点处其通量对体积的变化率。辅助量辅助量 通量通量散度散度力线力线通量通量2 2、矢量场的通量、矢量场的通量通量通量:指矢量指矢量A垂直经过某一曲面的矢量线的总根数。垂直经过某一曲面的矢量线的总根数。 反映了矢量场通量源的分布情况。反映了矢量场通量源的分布情况。曲面：曲面：闭曲面：闭曲面：Ads =Ads =Ads = = S S由通量及矢量由通

50、量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：的大小，不难导出求通量的表达式：散度散度定义设有一矢量场定义设有一矢量场 A(M) A(M)，于场中某一点，于场中某一点M0 M0 处处作一包含作一包含M0M0点点 在内的任一闭曲面在内的任一闭曲面(S),(S),所包的空所包的空间区域间区域 的体积大小用的体积大小用 V V表示，矢量表示，矢量A(M)A(M)穿过该曲面穿过该曲面(S)(S)的通量的通量为为。那么此通量。那么此通量 在在M0M0点对体积点对体积 V V 的变化率称矢量的变化率称矢量A(M) A(M) 在点在点M0M0处的散度，处的散度， 用符号用符号divAdivA表示。表示。 Ax

51、 Ay Az x y z 直： divA = + + A A A Az z柱： divA = + + + Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r球： divA = + + + + divA = = 称定义式称定义式 lim v0(M0) V VAds V即即: : lim v0(M0)=A=A=A表达式表达式设设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+AeM0散度散度推导，以直坐标为例：设推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez : A=Axex +Ay ey +Az ez Ads = = = Ax

52、 dydz + Ay dxdz + Az dxdy 由奥氏公式：由奥氏公式： Ax Ay Az x y z ( + + ) dV= Ax Ay Az x y z = ( + + ) VM0由中值定理：由中值定理： = ( + + )上式两端同除以上式两端同除以V V： Ax Ay Az V x y zM0对上式取极限：对上式取极限： Ax Ay Az V x y z = ( + + ) = divA(M0)M0 lim v0(M0)常数常数 M0 M0为恣意确定点故可不表现出来，即：为恣意确定点故可不表现出来，即：divA(M0) divAdivA(M0) divA Ax Ay Az x y

53、z divA = + + 证毕证毕dS=dydzex + dxdzey+dxdyez 1 1、矢量场、矢量场A A的散度是一个标量；的散度是一个标量；性质性质 共有共有4 4条条 散度散度 2 2、散度定理、散度定理( (矢量场的高斯定理矢量场的高斯定理) )： =Ads =Ads =AdV s 该公式阐明了区域该公式阐明了区域中场中场A A 与边境与边境S S上的场上的场A A 之间的关系之间的关系 3 3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；A=v 通量源密度即：即： 4 4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；、矢量场的散度代表矢量场的通量

54、源的分布特性；a) 假设假设0那么那么A0 ，闭合面内有产生矢量线的正源，闭合面内有产生矢量线的正源c) 假设假设 = 0那么那么A = 0 处处成立，闭合面内无源处处成立，闭合面内无源 A为无为无源场源场A为有源场为有源场b) 假设假设0那么那么A0 ，闭合面内有吸收矢量线的，闭合面内有吸收矢量线的负源负源(div A =0 (div A =0 无源无源(div A (div A 0 0正源正源) )(div A 0负源负源)公公 式式散度散度(CA )=CA;C = 0;(AB)=AB; (u A)= uA+Au例：知例：知 求：求： EEE= er q4per2OrqPS解：解： 选择球

55、坐标，那么选择球坐标，那么Ar = A = A =0Ar = A = A =0 q4per2Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r球： divE = + + + + E = - + = 0 q2per3q2per3r 0当当r = 0或或0时：时： =Eds s=EdV =r2sindd=q/e q4per2E= (q/e) (r)(q/e)(r)dV =1 1、环量、环量 环量的意义：假设矢量场环量为零，那么矢量场是无涡漩的流环量的意义：假设矢量场环量为零，那么矢量场是无涡漩的流动；动； 反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反

56、映了矢量场漩涡源的分布情况。映了矢量场漩涡源的分布情况。 在矢量场在矢量场A A的空间中，取一有向闭合途径的空间中，取一有向闭合途径l l ，矢量矢量A A沿沿l l 的积分的积分( (即矢量即矢量A A的环路积分的环路积分) )称称环量环量 。即：。即：Adl = =2 2、环量面密度、环量面密度rotn Arotn AAlM0enS SAdl S limS0(l M0)在场矢量在场矢量A A空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M0M0取一面元取一面元S S，其边境曲线，其边境曲线为为l l ，面元法线方向为，面元法线方向为en en 。那么。那么A A沿沿l l 的环量的环量对面元对面

57、元S S的变的变化率，称化率，称A A在点在点M0M0处沿处沿enen方向的环量面密度，用符号方向的环量面密度，用符号rotn Arotn A表示。表示。rotn A= 即：即：环量面密度意义环量面密度意义: :表示矢量场表示矢量场A A 在点在点M0 M0 处沿处沿enen方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度旋度旋度旋度旋度: :是一矢量是一矢量, ,反映矢量场反映矢量场A A在场某点处环量对在场某点处环量对面积的最大变化率面积的最大变化率旋度旋度环量环量环量面密度环量面密度辅助量辅助量定义假设在矢量场定义假设在矢量场 A(M) A(M)中某一点中某一点M0 M0 处，存在这处，存在这样的一个矢

58、量样的一个矢量R R，矢，矢 量场量场 A(M) A(M)由点由点M0M0处沿处沿R R方向所得的环量对方向所得的环量对面积的变化率面积的变化率( (即环即环 量面密度量面密度) )达最大且正好等于模达最大且正好等于模R R，那么称，那么称矢量矢量R R为矢量场为矢量场A(M) A(M) 在点在点M0M0处的旋度，用符号处的旋度，用符号rot Arot A表示。表示。由该定义可得如下关系：由该定义可得如下关系： R= rotA = eR = eR = ReR limSR0(l M0) SRSRAdl SR 即即: : limSR0(lM0)旋度旋度 显然，在场矢量显然，在场矢量A A空间中，围

59、绕空间空间中，围绕空间某点某点M0M0可取很多个边境曲线为可取很多个边境曲线为l l、 面元为面元为S S、法线方向各异、法线方向各异( (如图如图) )的平面。在点的平面。在点M0M0处沿不同处沿不同enen方向上的环量面密度方向上的环量面密度(rotn A)(rotn A)各不一样，但有一个可达最大。各不一样，但有一个可达最大。由此定义式可导出更具实意图义的表达式由此定义式可导出更具实意图义的表达式enM0旋度旋度表达式表达式设设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae= AAz Ay Ax Az Ay Axy z z x x y =

60、 ( - ) ex + ( - ) ey + ( - ) ez直： rotA = R = ex ey ez x y zAx Ay Az柱： rotA = R = = Ae ej ez zA A Az球： rotA = R = = Aer re rsinej r Ar rA rsin A 11r2sin推导，以直坐标为例：设推导，以直坐标为例：设: A=Axex +Ay ey +Az ez : A=Axex +Ay ey +Az ez 由斯托克斯公式：由斯托克斯公式：Az Ay Ax Az Ay Axy z z x x y( - )dydz + ( - )dxdz + ( - )dxdy = =