模糊集合的基本概念与模糊关系

1、第六章 模糊集合的基本概念与模糊关系6.1模糊集的若干基本概念 6.2模糊集运算的基本性质 6.3模糊的集的代数运算 6-4模糊关系6.1模糊集的若干基本概念 模糊集设X为空间，空间中的点或元素X以来表示，即：X = x模糊集A是一个集合，是由隶属度来表示元素兀是否所属于模糊集A的特征。即：这样的函数，若：仏wM,兀wA,总有： X MM称为隶属度空间:表示x属于模糊集A的程度或等级M:0, 1A:通常意义下的集合佶u （力靠近1，则表示*属于A的程度高，但 八 靠近0,则表示X属于A的程度低，u图 6.1 A = x10xQ 0的示意模糊集相等有两个模糊集A、B,所有的x当 %gX有：LLa

2、 (%) = LLb (%)记为 A=B其中：曲 与分别是模糊集A、B的隶属度函数对应为数学关系式表示为：A = B u> “4 (x)=血(%)空集所谓模糊集A是空集，就是指对VxgX有“人（兀）=0记作 0即有：A = 0o/a=O模糊集的包含关系模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中，若A是被包含于 B的子集，表示对于 VxgX有：仏（X）曲（兀）记为：即有：ABA c B <=>(x) < “b (兀)g>vviig>vvii79囱模糊集的补集模糊集A的补集，定义为对丁 Vx G X 有:A的补集：W = i-AaW 记作：a即有：Au>“_(x

3、) = 1 “a(x)A模糊集的并集模糊集A、B的并集，定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的模糊集。记为 AUB即有：C = AJBC = AUBo“c(x)= max“A，“隶属度函数可表示为：/llc(x) = max /aA(x),/llb(%), Vxe X模糊集的交集模糊集A、B的交集记作设：定义被A, B两者包含之内最大的模糊集则其隶属度函数可表示为：Pc O）二罰血（力，仏（力用匸XC = AD B O他（兀）=讪从""旳】图6.3补集A图6.4模糊集的并集、交集与代数集6.2模糊集运算的基本性质(1)Ac A(2)Ao B, B o A则A B(3)AB,

4、 B yC则AC(4)AJA = AAAA = Aj(5)4UB = BUA、AB=BA1（AUB）UC = AU（BUC）（AAB）nc=An（Bnc）（AU（An5） = AAn（AU5）= A（8）（AU（BnC） = （AUB）n（AUC）An（Buc）=（AnB）u（Anc）(9)(10)(11)Ai)B = ABACB = AHB（德莫尔甘定律）AUn=n, Apn=AAU0 = A, AA0 = 0jA U A 7 QAQA0丿(12)6.3模糊的集的代数运算代数积模糊集的代数积，记为AB,其隶属度函数可定义:PaB 卩小B代数和 模糊集A, B的代数和，记为AB其隶属度函数定义

5、：仏田b =仏+仏一如代数和AB用代数和用补的来定义：AB=AB绝对差模糊集A, B的绝对差，以I A B|表示:可定义如下：Ha-e =曲一血图6.5模糊集A, B的绝对差6.4模糊关系模糊关系在直积空间x x y二（兀,”丘x,疋片中的模糊关系R,就是在XxY 它以隶属度函数来表示特征的模糊集R若X=Y则把X x X 中的模糊关系称为X上的模糊关系.更一般地在直积空间X = XixX2x-Xn中的n元模糊集R就是用D元隶属度函数禺（兀1，兀2,暫）来表示的模糊集R其中： Xj w Xj z 二 1,2,例1设X"为汽车，则“X比y好”这种关系就是模糊关系例2设x,y指人，则“x和

6、y相象”这种关系也是模糊关系设：乂二*小2若X是指实数轴，则“x比y大得多”隶属度函数：0二 s1+1100（兀y）?模糊关系的合成设&也为X2中的模糊关系，则K，凡 的合成，还是X）中的模糊关系 记为：R'OR?他叭（兀同二sup mm 他（兀v）,叽（v, y）简写：冷迅（兀刃=丫 冷（兀v）A叽（匕y）例4设R为% y的模糊关系:隶属度函数:0心)R°R合成模糊关系：合成隶属度函数:My1+1002y '<丿Aro'xj y)模糊关系的基本性质:性质1模糊关系的合成满足结合律(A o B) o C = A o (B o C)性质2性质3 若

7、有IoR = RoI = ROoR = RoO = OEoR = RoE = ESgTRoS yRoTS oRuT oR性质4（nnR。UK =U（RoK） i=丿z=l厂"、nor=u（k°R）i=丿/=1性质5J（n、nr。riK 二n（肌即< i=丿i=lnnru r< i=丿i=第七章模糊矩阵71模糊矩阵72模糊矩阵的运算 73模糊矩阵的基本公式7.1模糊矩阵设XXY中的模糊关系为R，能用mXn矩阵表示:，"/兀2,儿）色2）,，“/色，儿）图8.1模糊关系的矩阵表示例1模糊矩阵的例子苹果，球，四棱锥7个对象，用模糊矩阵表示的的“相似”关系0Q

8、010.700.70.50.600.7100.90.40.500010000.1©0.70.9010.40.500.50.400.410.40Q0.60.500.50.4100000.10001110 10 101 10 10 0 00 0 1 0 0 0 0110 10 0 00 0 0 0 1 0 01 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1图7.3布尔矩阵图7.2模糊关系的矩阵模糊矩阵表示:曾2% JA0<a<1简记：A =1/n7.2模糊矩阵的运算：（1）相等：A=WjB =仏A =ai2。22aa2lana2nau = h记作：A = B(2)包含:模

9、糊矩阵：A = B= b.IJA<B'0.4 0.5''0.5 0.6'<0.8 0.70.8 0.9例2aij - %(3)模糊矩阵的和：S = max aifIJIJIJ模糊矩阵C称为A与B的和的表示:A<Batj 7 b.（4）模糊矩阵的直积A = a.JB = b：ij5 = min atj模糊炬阵A与B的直积C表不为:C= 5 = A® B例3:0.5 0.30.8 05A =，B 0.4 0.80.3 0.7_0.30.80.50.80.30.7A 3= 0 50.40.5 v 0.80.3 vO.50.80.50.4 v

10、 0.30.8 v 0.70.40.8而直积A0B =0.50.40.50.30.5 a0.4 a0.30.7(5)余模糊矩阵：A模糊矩阵1_匂0.40.80.30.50.6 0.70.2 0.5-11-0.41 - an =L山1 0.8( A o B)k = Ak o Bk(6)模糊矩阵积： 模糊矩阵A = auC = A。E O “ = maxJk-_21( A o B)k = Ak o Bk( A o B)k = Ak o Bk则:Ao B =(41 A/?H)V(d!12 aZ?21)(«21 A/?H)V(d!22 A/?21)(® aZ?12)v(«

11、12 a/?22)(°21 aZ?12) v(«22 aZ?22)( A o B)k = Ak o Bk_0.8 0.7_0.2 0.4A =，B =0.5 0.30.6 0.9Ao B =(0.8 a 0.2) v (0.7/ 0.6)(0.5 a 0.2) v (0.3 a 0.6)(0.8 a 0.4) v (0.7 a 0.9)(0.5 a 0.4) v (0.3 a 0.9)_ 0.60.70.30.4( A o B)k = Ak o Bk( A o B)k = Ak o Bk同样地0.4 0.3 Bo A =0.6 0.6由此可知，一般来说在特殊情况下当Ao B

12、 B o AAoB = BoA 称A与B可换。若A、B可换，有： (AoB)k =Ak oBk转置模糊矩阵模糊矩阵转置模糊矩阵例6若设A = afj一08 0.74 =0.5 0.3转置模糊矩阵0.50.3( A o B)k = Ak o Bk(8) 单位模糊矩阵1001=010001(9) 零模糊矩阵:o=000 0(10) 全称模糊矩阵：_1 1E= 111 17. 3模糊矩阵的基本公式（1）对于一切模糊矩阵A,有o<A<E(2) A< A(3) 若 A<B,B<A,若 A<B,B<C,（自反律）A=B（反对称律）则 A<c （传递律）(5)

13、A<B A = B o A0 B = B(7)(7) A5BC5； cup DA®C<B®D（幕等律）A A = AA® A = A(7)4B = B4(8)A®B=B®A（交换律）(AB)C = A(BC)（结合律）(9)(A0B)®C = A0(B®C)(10)A (A® B) = AA® (A B) = A（吸收律）(11)A (B®C) = (A B)0(A C)A®(B C) = (A0B)(40C)（分配律）(12)A = A（对合律）(13)(A B) =A&

14、#174;B(德莫尔甘定律）(A®B) =2 丘(14)4 E =A® E = AA® O =A® O = O(15) 般地设有：布尔矩阵4 AEA® AO(互补律不成立)1=E1-0 0A® A= O0 0模糊矩阵，设0.80.50.20.50.80.50.30.8ro.20.8 0.20.50.70.80.80.50.20.50.50.20.20.80.30.20.3HO(16) 般地,(18)(19)Ao I = Io A = AA°0 = 0oA = 0(20)Ao(B®C) = (AoB)®(A

15、oC) (A B)oC = (AoC )3( BoC)Ao(BoC)(AoB)oC(17)(21)Ao(JB(x)C) = (AoJB)(x)(AoC)(A®B)oC = (AoC)®(BoC)A<B.C<D(22)AoC<BoD关于转置矩阵有(23)(Aby = at护=At0Bt oA7(24)3T = a(25)A<B,贝 iJ(Ar)<Br第八章模糊线性规划8. 1模糊环境中的线性规划8. 2基本模型与方法& 3模糊资源型问题的容差法自1970年，Zadeh和Belluimi提出模糊决策的概念之 后，形成模糊优化的研究领域。该领

16、域中较为成熟的是 模糊线性规划。8. 1模糊环境中的线性规划目标-资源型线性规划问题描述（清晰）：maxS.tAx<bx>0A g Rmxn, b g Rn c g Rn其中:A资源约束矩阵，b资源拥有量向量和c代价系数向量 在现有资源条件下获取某项目标的最大值，即:在现有资源条件下以小 投入换取最大的效益.模糊线性规划优化模型的类型： 类型I:清晰系数型1）模糊资源型一一仅仅资源约束是模糊的 max cT xs.t. Ax<bx>02）模糊目标-资源型x>0x>0maxs.t.Ax<bx>0类型II:模糊系数型1）右端项系数模糊型资源拥有量是模

17、糊数Tmax c xs.t. Ax<bx>02）目标函数系数模糊型 口 Tmax c xs.t. Ax<bx>03）资源约束模糊型 资源约束矩阵和 资源拥有量都是模糊Tmaxc x s.t.Ax<bx>04）系数全模糊型 所有系数矩阵 和向量都是模糊匚tmax c x s.t. Ax< bx>0类型in：非精确系数型1）右端项非精确型b为非精确的2）目标函数系数非精确型为非精确的3）资源约束非精确型一 衣和”是非精确的4）系数全部非精确型()()() 口.,A.b.c是非精确的82基本模型与方法 1.对称模型1970年，Belliuant 和Za

18、deh提出：模糊环境中的决策可看作模糊约束和模糊目标函数的交集。例1设目标函数“x尽可能大于10”目标的隶属度函数_(0x<10"z 一(1 + (兀_10)-2)-1x>10约束条件“X应在11附近”，则隶属度函数“C（X）= （1 + （兀-1 1）°） 1决策的隶属度函数他(X)为目标与约束两个隶属度函数的交/zd(x) = xzz(x)a/c(x)=min (1+(兀10 尸尸,(1 + (兀 11)4)7(l+(x-ll)4)-1,x>x*= (l+(x-10r2)_1,x* >x>100,x<10图8.1对称模型解的区域& 3模糊资源型问题的容差法模糊资源型的模糊线性规划问题描述为：maxcT xs.t. Ax<bx > 0例2设某公司生产2种产品A与B;质量:产品A制造精度产品B制造精度，外形:产品A尺寸产品B尺寸，获利:产品A 0.40丙/件产品B 0.30元/