模糊控制基础知识

1、计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法4.5模糊控制4.5 Fuzzy Control1965年美国自动控制理论专家L. A. Zadeh首次提出了模糊集合理论,1974年英国EHMamdani首先将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机的自动控制。目前，模糊控制(Fuzzy Control)作为90年代的高新技术，得到非常广泛的应用，被公认为简单而有效的控制技术。模糊控制是以模糊集合论模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的微机数字控制。它是模拟人的思维，构造一种非线性控制，以满足复杂的，不确定的过程控制的需要。计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法Exl青年集合A 经典集合： 模糊集合：补充:模

2、糊数学基础知识 1 模糊集合及其运算(1)模糊集合隶属函数：用于描述模糊集合，并在0, 1闭区间连续取值的特征函数.A = x5 岁 §兀5 25 岁“A (乂)= «计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法“A J)1图1青年的特征函数和隶属函数 a)特征函数b)隶属函数计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法常用的隶属函数a.三角型x-b ,< x<aa-b隶属函数的解析式隶属函数曲线图如图2a所示。c-X< x < cc-aO.x < b或x

3、> c计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法b.正态型计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法隶属函数的解析式)2“人0)=幺b上>0计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法隶属函数曲线图如图2a所示。计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法图2隶属函数曲线图计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法模糊集合的定义定义1：给定论域X，A = xX中的模糊集合是指用计算机控制技术第4章计算机

4、控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法这样的隶属函数表示其特征的集合。模糊集合的表示形式A = （x,“a（x）Ixg X计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法ni=（乂）XiX连续X离散计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法Exl青年模糊集合_q）2A-x.e7）丨兀0x20 二x>0Ex2设论域X=L 2, 3, 4, 5,可定义X上的如下模糊集，A表 示“大”，B表示“小”，C表示“中”，并设各元素的隶属函数分别为 juA （x） = 0,0,06,0&

5、; 1,“b（x） - 1，0&06,0,0,他（兀）-0,0&1,0&05/=!论域X是离散的，则A可表示为0.8 1+ -45“a （兀）_ 000.6=11Xi 123（2）模糊集合的运算 等集：A = O“昭兀）=沟（兀） 子集：A B（3）空集： A 二= 0 并集：C二A u B o儿二“a（兀）7 “b （兀）二max仏仙（兀） 交集：（x） = “a （x） a Pb 二 min/so C 二 A cB 补集： B二二1 一aEx3设论域火=口,兀2，勺，勺宀，A和B是论域X上的两个模糊集合，已知心兰+兰+空+耳计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算

6、法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法0.10.710.3B-HH+ 兀七兀4兀54竺+兰+空+耳旺 x2 X3 X5心归皿1+出2+兰凹+匕1+仝空=兰+兰+空+丄+兰ArB 巴+凹+AnA =？Aj A = Q?ArA =0.204+0.1+0.52.模糊语言定义2语言变量是以五元组(x,T(x),X,G,M )来表征的，其中x是变量的名称,T (x)是语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域X上的一个模糊集 合，G是用以产生语言变量x值名称的语法规则，而M是语义规则，用以产 生模糊集合的隶属度函数。图3模糊语言变量的五元体3模糊关系（1）模糊关系的定义设X、Y为两非空集合，各

7、任取一元素组成序对（x，y）,称所有序对构 成的集合为X和Y的直积，并记为：X xY = (x, y)lxu Xu Y定义：从X到Y的模糊关系R是指在直积XxY中的一个模糊子集，其模糊关系由隶属函数仏：XxYt0，1来刻划，隶属虧（兀,刃 表示序对 （x，y）具有关系R的程度。当X，Y是有限的离散集合时，X和Y的模糊关系R可以用矩阵表示，称 为关系矩阵，即XxY = Wj) mxn =(卩狀上小血刈i = 12"；j = 12“X x Y即整个平面。模糊关系“x远远大于厂Ex5设X为横轴，Y为纵轴，直积 的隶属函数确定为0, Vx < y1 I（兀刃=i+（兀-）丁在X中取10

8、, 20, 40, 80四个点，在Y中取10, 20, 30, 40四个点，则模糊关系矩阵为00000.500.96 0.94000.50R =0.90.80.98 0.97计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法(2) 模糊关系的运算模糊关系是积空间上的模糊集合，它的运算法则与一般的模糊集合完全相 同。a.合成运算合成定义：设X、Y、Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y到Z的一 个模糊关系，则R到S的合成T也是一个模糊关系，记为T = RoS它具有隶属度Max-min compositionR°S O Rr°s (兀=' (“r (兀 y) A &

9、; (% z)yeY_ 10.20.5'0.40.9R、=0.10.40.1R2 =0.710.30.900.10.3'10.20.50.40.9_R°R2 =00.40.1O0.710.30.900.10.3计算机控制技术Ex 6已知模糊关系矩阵v (04,0.2,0.1) v (0.9,0.2,0.3)=v (0.1,0.4,0J) v(0.1,04,0.1)v (0.3,0.7,0)v (0.3,0.9,0)_0.4 0.9_=0.4 0.40.7 0.9第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法b幕运算设R是XxX上的模糊关系，

10、则它的模糊关系矩阵为方阵，R的幕定义为:2 =RoRR3 = R o R o RRn =RoRo.oR（n 个 R 的合成）Rm o R” = R,tl+nc逆运算设R是X到丫的模糊关系，则其逆模糊关系2是Y到X的一个模糊关系，其隶属 函数为%、（y,兀）=Hr （忑 y）, v（y, x） e y x x模糊关系“y远远小Ex 7设X为横轴，Y为纵轴，直积XxY即整个平面。于卍的隶属函数确定为o1100（卅Vy > x/y < x0 0.5I00犷=0 00.9 0.9 8_0.8 0.970.5 0.960000.94（3）模糊关系的性质上的模糊关系自反性：若VxgX ,都有J

11、UR（X, X）= 1对称性：若VXj eX,x2 eX ,都有心区宀）=心（兀2坷）传递性：若有RaRoR ；等价性：若R同时具有自反性、对称性和传递性，R具有等价性4模糊推理 广义前向推理Cabbrev. GMP）大前提：如果X是A,则Y是B小前提：X是A'结论：Y是B，广义反向推理（abb“* GMT）大前提：如果X是A,贝!1Y是B小前提：Y是B，结论：X是A'模糊推理中的前提和结论都含有模糊概念的陈述句称为模糊命题。模糊命题中常用到极、很、相当、比较、略、微等副词修饰程度，这些词称为 语气算子。如:M及老（%）="命老（%）匕较老（%）="巻（兀）

12、(1)模糊蕴含模糊命题：“如果x是A,则y是B”，表示模糊集合A和B之间有蕴含关系：仏卫(兀刃=仏(兀)A Ab(刃7 1- % (兀)用模糊关系矩阵表示：Rab=(AxB)(AxE)一些常见的模糊规则的关系矩阵的表达式:如果x为A,如果x为A,如果x为A,则y为巴否则y为C, AeX,fiercer y为B,贝！|z为C AgX.BgY.CgZ.2? = (AxB)u(AxC)R=AxBxC：=(4 x C) c (B x C)(A, B维数相同)y 为 B,Z 为 C,否贝!|z 为 D AeX,Bey,Ce Z、DeZR = (AxBxC)j(AxB)xD)计算机控制技术第4章计算机控制

13、系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法Ex 8 设论域 X = al,a2,a3,a4,a5,Y = bl,b2,b3,b4_L的模糊集合分别为: 10.8 0.40 3 o 9“小” =A = + = B = + a a2aib3 Z?4则y为大”的模糊关系矩阵瞒=（Ax 瓦X E）10.8=0.400“大”x000.30.9 vo模糊关系“如果X为小,00.20.6111 1L-1000.30.9_ 0000 _000.30.80.20.20.20.2000.30.4V0.60.60.60.60000111100001111000.30.9 -0.20.610.20.6

14、10.30.610.80.61计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法Ex 9 设论域 X = al,a2,a3,Y = Z?1,Z?2,Z = cl,c2,c30.510.1A =+a d2n 0.2 0.6B =+，bl bl厂 0.30.4c =+cl c2 c3模糊规则“如果x为A,并且y为B,，已知模糊集合MeX a3BwY,CeZ则册C”的关系矩阵R为:_0.5_0.20.5Ax B =1x02 0.6 =0.20.60.10.10.1R = (Ax B)x C =_0.2_"0.20.20.2_0.50.30.40.50.

15、2x o.3 0.4 0.7 =0.20.20.20.6L0.30.40.600.101.0.100.10.10.1计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法广义前向推理：Bf = Afo Rab广义反向推理：人7亠。8练习：在EX 9中，若已知0.40.90.2+ + al a2 q3求C_0.4_AfxBf= 0.9 x0.10.2_0.10.5= 0.10.1Bf =0.40.10.5+b b20.50.20.2 0.20.3 0.4= o.l 0.4 0.1 0.5 00.2。0.20.30.20.40.20.50.20.60.10.10.

16、3 0.4 0.5计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法4.5.1模糊控制系统的组成D/A4.5.2模糊控制器的输入输出变量及其模糊化1. 模糊控制器的输入、输出变量模糊控制器的输入变量通常取E或E和EC或E, EC和ER,分别构成所谓一维、二维、三维模糊控制器。 一维模糊控制器的动态性能不佳，通常用于一阶被控对象;二维模糊控制器的控制性能和控制复杂性都比较好，是目前广泛采用 的一种形式。一般选择控制量的增量作为模糊控制器的输出变量。计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术2. 描述输入和输出变量的词集在模糊控制中，输入输出变量大小是以语言形式描述的，一般都选用 “大、

17、中、小”三个词汇来描述模糊控制器的输入、输出变量的状态，再 加上正负两个方向和零状态，共有七个词汇：负大，负中，负小，零，正小，正中，正大一般用这些词的英文字头缩写为：NB, NM, NS, O, PS, PM, PB)为了提高系统稳态精度，通常在误差接近于零时增加分辨率，将“零 ”又分为“正零”和“负零”，因此，描述误差变量的词集一般取为：负大，负中，负小，负零，正零，正小，正中，正大用英文字头简记为：NB, NM, NS, NO, PO, PS, PM, PB注意，上述“零”、“负零”、“正零”和其他词汇一样，都是描述 了变量的一个区域。NB, NM, NS, O, PS, PM, PB3

18、.变量的模糊化某个变量变化的实际范围称为该变量的基本论域。记误差的基本论域为 -Xe, xe,误差变北的基本论域知, Xc,模糊控制器的输出变量(系统的控制量)的基本论域为-y yjo基本论域内的量是精确量，因而模糊控制器的输入和输出都是精确量， 但是模糊控制算法需要模糊量。因此，输入的精确量(数字量)需要转换为 模糊畫，这个址程称为“模糊化”(Fuzzification)；另一方面，模糊算法所得到的模糊控制量需要转换为精确的控制量，这 个社程祿为“清陥化”浚奢“反模痫0 (Defuzzification) o比较实用的模糊化方法是将基本论域分为n个档次，即取变量的模糊子 集论域为n-n+l，

19、0,从基本论域a, b到模糊子集论域卜m n的转换公式为2nb-a(4-51)一般选择模糊论域中所含元素个数为模糊语言词集总数的二倍以上，确 保诸模糊集能较好地覆盖论域，避免出现失控现象。例如在选择上述七个词 汇情况下，可选择E和EC的论域均为：6, -59 4,-19 0, 19 2 3, 4, 5, 6选择模糊控制器的输出变量即系统的控制量U的论域为:7, -6,-4,-19 0, 12 3, 4, 5, 6, 74.隶属度为了实现模糊化，要在上述离散化了的精确量与表示模糊语言的模糊量 之间建立关系，即确定论域中的每个元素对各个模糊语言变量的隶属度。隶属度是描述某个确定量隶属于某个模糊语言

20、变量的程度。例如，在上述E和EC的论域中，6隶属于PB（正大），隶属度为10； +5也 隶属于PB,但隶属度要比+6差，可取为0.8； +4属于PB的程度更小，隶属 度可取为0.4；显然，0-6就不属于PBTo所以隶属度取为0。常用的确定模糊变量隶属度卩的赋值表，如表4.44.6。计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法表4.4模糊变量E的赋值65-4-321+0+1+2+3+4+5+6PB00000000000.10.40.81.0PM0000000000.20.71.00.70.2PS00000000.30.81.00.50.100P0000

21、00001.00.60.10000NO00000.10.61.00000000NS000.10.51.00.80.30000000NM0.20.71.00.70.2000000000NB1.00.80.40.10000000000计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法表4.5模糊变量EC的赋值6-543210+1+2+3+4+5+6PB0000000000.10.40.81.0PM000000000.20.71.00.70.2PS00000000.91.00.70.2000000000.51.00.500000NS000.20.71.00.90

22、000000NM0.20.71.00.70.200000000NB1.00.80.40.1000000000计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法表4.6模糊变量U的赋值7-6-5-4-3-2-10+1+2+3+4+5+6+7PB000000000000.10.40.81.0PM0000000000.20.71.00.70.20PS000000001.00.80.40.100000000000.51.00.5000000NS0000.10.40.81.00.40000000NM00.20.71.00.70.2000000000NB1.00.80.40.100000000000计算机控制技

23、术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法453建立模糊控制规则下面推荐一种根据系统输出的误差及误差的变化趋势，消除误差的模糊控 制规则。该规则用下述21条模糊条件语句来描述，基本总结了众多的被控对 象手动操作过程中，各种可能出现的情况和相应的控制策略。1 if E=NB2.34.5.67.89.10.if E=NB if E=NB if E=NB if E=NS if E=NS if E=NS if E=NS if E=NOor or or ororNMNMNMNMPOif E=NO or POand and and and and and and and

24、and andEC=NB or NM EC=NS or O EC=PS EC=PM or PB EC=NB or NM EC=NS or O EC=PS EC=PM or PBEC=NB or NM EC=NSthen then then then thenU=PB U=PB U=PM U=O U=PMthen U=PM then； U=O then U=NS then U=PM thenU=PS计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法11. if E=NO or PO and EC=Othen U=O then U=NS then U=NM then U=PS then U=O then

25、 U=NM then U=NM then U=O then U=NM then U=NB then U=NB12. ifE=NOorPO13. ifE=NOorPO14. ifE=PS15. ifE=PS16 ifE=PS17. ifE=PS18. ifE=PMorPB19. ifE=PMorPB20. ifE=PMorPB21 ifE=PMorPBand EC=PSand EC=PM or PB and EC=NB or NM and EC=NS and EC=O or PS and EC=PM or PB and EC=NB or NM and EC=NS and EC=O or PS a

26、nd EC=PM or PB计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法上述21条模糊条件语句可以归纳为模糊控制规则表47 o表4.7模糊控制规则表 ECPBPMPSONSNMNBPBNBNBNBNBNMOOPMNBNBNBNBNMOOPSNMNMNMNMOPSPSPONMNMNSOPSPMPMNONMNMNSOPSPMPMNSNSNSOPMPMPMPMNMOOPMPBPBPBPBNBOoPMPBPBPBPB454模糊关系与模糊推理模糊控制规则实际上是一组多重条件语句，可以表示为从误差论域到控制 量论域的模糊关系矩阵R。通过误差的模糊向量叩 和误差变

27、化的模糊向量EC与模糊关系R的合成进 行模糊推理，得到控制量的模糊向量，然后采用“清晰化”方法将模糊控制 向量转换为精确量。根据模糊集合和模糊关系理论，对于不同类型的模糊规则可用不同的模糊 推理方法。以下以常用的if A then B类型的模糊规则的推理为例。若已知输入为A,则输出为B;若现在已知输入为A',则输出B'用合成规 则求取(4-52) B'二 A'oR其中模糊关系R定义为gR(x, y)=min iA(x), »B(y), ( 453)例如，已知当输入的模糊集合A和输出的模糊集合B分别为：A = 1.0 / aj+0.8 / a2+0.5

28、/ a3+0.2 / a4+0.0 / a5B=0.7 / b+lO / b2+0.6 / b3+0.0 / b4这里采用模糊集合的Zadeh表示法，其中, 6表示模糊集合所对应的论 域中的元素，而曲表示相应的隶属度，“ / ”不表示分数的意思。1.00 0.70.8 00.71.001.00.8Q1.01 .on 0.60.8 00.61 .on O.o0.8 00.0R= AXB =0.5 00.70.200.70.0 A 0.70.5Q1.00.2Q1.00.0 n 1.00.5 00.60.200.60.0 A 0.60.5 00.00.200.00.0 n 0.00.71.00.60

29、.00.70.80.60.00.50.50.50.00.20.20.20.00.00.00.00.0则当输入A'=0.4/ai + 0e7/a2 + l>0/a3 + 0>6/a4 + 0e0/a5B，由下式求取_0.4T0.71.00.60.70.70.80.61.0o0.50.50.50.60.20.20.20.00.00.00.0B'=A'oR=0.00.00.00.00.0=(0.4 A 0.7) U (0.7CI0.7) U (1.0A0.5) U (0.6CI0.2) U (0.000.0),(0.401.0) U (0.7A0.8) U (1.

30、0A0.5) U (0.6CI0.2) U (0.0 A 0.0),(0.4CI0.6) U (0.7A0.6) U (1.000.5) U (0.6CI0.2) U (0.0 A 0.0),(0.4CI0.0) U (0.7A0.0) U (1.000.0) U (0.6CI0.0) U (0.0CI0.0) =(0.4 0.7 0.5 0.2 0.0), (0.4 0.7 0.5 0.2 0.0),(0.4 0.6 0.5 0.2 0.0), (0.0 0.0 0.0 0.0 0.0)=(0.7, 0.7, 0.6, 0.0)则 B'=07/bi+ 0.7/b2 + 0.6/b3

31、+ 0.0/b4在上述运算中，“n”为取小运算，“U”为取大运算。由于系统的控制规则库是由若干条规则组成的，对于每一条推理规则都可 以得到一个相应的模糊关系，n条规则就有n个模糊关系：Rl, R2,对于整个系统的全部控制规则所对应的模糊关系及可对n个模糊关系Ri(i=l, 2n)取“并”操作得到，即n(4-53)R = R1UR2UURn= URji=l计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法4.5.5模糊控制向量的模糊判决一“清晰化”两种简单实用的方法。1.最大隶属度法这种方法是在模糊控制向量中，取隶属度最大的控制量作为模糊控制器的 控制量。例如，当得到模糊控制向量为:U =0.1/2

32、+ 0.4/3 + 0.7/4 + 1.0/5 +0.7/6 + 0.3/7由于控制量隶属于等级5的隶属度为最大，所以取控制量为:U=5这种方法的优点是简单易行，缺点是完全排除了其他隶属度较小的控制量 的影响和作用，没有充分利用取得的信息。2.加权平均判决法(1) 普通加权平均法 为了克服最大隶属度法的缺点，可以采用加权平均判决法，即(4-54)nu= n1>(比)i=l例如U* =0.1/2 + 0.8/3 + 1.0/4 + 0.8/5 + 0.1/60.1 + 0.8+1.0 + 0.8 + 0.12 x 0.1 + 3 x 0.8 + 4 x 1.0 + 5 x 0.8 + 6

33、x 0.1 U=计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法(2) 权系数加权平均法u = £i其中心为权系数。(3) 中位数判决法将隶属函数的曲线与横坐标所围成的面积平均分成两部分，以分界点对论域元素吋作为判决输出。设模糊推理的输出为模糊量G若存在卅；使得 工冷二工坨似)%则炳控制量的精确值。456模糊控制表模糊关系、模糊推理以及模糊判决的运算可以离线进行，最后得到模糊控制器输入量的量化等级E, EC与输出量即系统控制量的量化等级U之间的确定关系，这种关系通常称为“控制表”。对应于453节中的21条控制规则的“控制表”如表4.8所示。表4.8模糊控制表4-6543-10+1+2+3

34、+4+5+6-67676777442000-56666666442000476767774420003766666632011-24445444100-1-1444544100032-1-04445110-444+04445110-1-1144-4+1222200-1-4-43-4-4-4+2121203-4-44-3-4-4-4+3000033-6-6-6666-6+4000-2-4-4777-6-76-7+5000-2-446-6666-66+6000-24-4-77-7676-7计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法4.5.7确定实际的控

35、制量显然，实际的控制量u应为从控制表中查到的量化等级U乘以比例因子。 设实际的控制量u的变化范围为a, b,量化等级为(-n, -n+1, 1，n),则实际的控制量应为a + b b - au=UO,II*2+ 2n(5 51)若吐-yu, b=yu,贝!|儿TTu = 一 Un例如，在上述二维模糊控制器中当E和EC的量化等级分别为3 +1时,亠3由控制表查得U=3,模糊控制器输出的实际控制量应为u= -yllO7计算机控制技术第4章计算机控制系统的控制算法4.5.8模糊控制算法的工程实现模糊控制算法的步骤：(1)计算系统的误差变量；(2)误差变量的模糊化; (3)根据模糊推理合成规则计算控制量；(4)控制量去模糊化。根据上述模糊控制