深圳大学量子力学作业最终版

1、陈运 2009160239光信2班1.康普顿散射的表达式为：咒7 =h (仁COS=)moc(1) 解释各个量的物理意思；(2) 推导出这个公式。解：(1) . 0为散射光的波长，为入射光的波长。h 为普朗克常量，h=6.6026075x 0 $ J/s8m0为电子的静质量。c为真空中电磁波的速度，c=2.998 10 m/s ，为散射光的散射角.2 2(2).根据能量守恒定律：hv0 + m0 c hv mc2 2即：mc =h(vov) m°c (21)光子在碰撞后所损失的动量便是电子所获得的动量。设和一分别为碰撞后光子运动方e。e向上的单位矢量，于是由动量守恒定律有:hv hv

2、；e°=；e mv(2.2)2 2 2 2由上式有：(mvc) =(hvo)(hv) -2h(2.1) 两 端 平 方 再 与 2.3 相 减， 得224242.2m c (1 2) =mo c _2h Vov(c°se 2moCh(v。v) c12 *由狭义相对论的质量与速度的关系式，可知电子碰撞后的质量m二mo(1-v )cc c h.这样，上式化为：(1-COSd) ( 2.4)v V。moc即：，-，。(1 _COSh)。moc2. 热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律:mT =b表示，其中：b=2.8978 10*k求人体热辐射的峰值波长（设体温为

3、 37匕）解：由维恩位移公式：，mT二b，得人体辐射峰值波长为:b 2.8978 10 T 一 (273 37)_6=9.3477 10 m =9347.7nm3. 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T =2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：由维恩位移公式：.mT -b，得黑体辐射峰值波长为:p = 2.8978 103 =1.0630 i0»m=1O63.OnmT 2.726 10由于1063.0nm>700nm，所以，该波长在红外光波段。4在一束电子束中，单电子的动能为 E=20eV，求此电子的德布罗意波长。解：由于电子的动能

4、值并不大，不必用相对论来处理问题。mv2由 Ek= V 0得电子的运动速度“ 2Ek；m。2 20 1.6 1095勺9.仆1010 % W0m*S显然，电子的速度vC,由二一 得电子的德布罗意波长为ph _ h pm0v6.63 104315nm 二 0.867nm9.1 108.4 105.波长为 =0.01 nm的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方 向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV?解：由康普顿散射公式:h0(仁cost)，依题意可知，mocjiv =2于是hh6.63><10. ：0(1 -cos = )3I08m = 2

5、.43 10 nm。mocm°c 9.11 103 10,口_3得： 一 .，0 =0.0lnm+ 2.43 0 nm= 0.01243nm。由能量守恒定律可知，碰撞后电子所获得的动能为：_3481_ )0.01 100.01243 10= 6.63 103.0 10 (J.5=3.89 10 J12 21.设归一化波函数：T(x) = Aea X(： ：x厂:),a为常数，求归一化常 数A.:2解：由归一化条件：A?(X)|dx = 1，得：-oO1 12 22 "4|a1 r 1 2 ()，于是有 A=()(x)ea x二_cQ_oQa为常2.设归一化波函数：屮(x)=

6、Asin(巫x)(0 ex ca), n为正整数, na数，求归一化常数A解：由归一化条件:02n(x) dx=1，有:a2A sin0dx=1.r 兀X _ 兀令二二一,d =dx,则上式左端的积分化为aa兀b2 . 2 . , . _A asin “出=A a0 a a 02二X空出 JA2a，2 2A12 2于是A a=i，有 A = (_)2a3.自由粒子的波函数为* （r,t） = A©'P'月）其中p和E是粒子的动量和 设Cn和En都是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度。能量，r和t是空间与时间变量， 是普朗克常数，A是归一化常数。试建立自由粒子波函

7、数所满足的方程。解：由屮（r,t）=Ae%Pri（ 3.1），该式两端对时间-i=；E 空，即：苗 =E¥（3.2）jt；:t把（3.1 ）式两端对坐标求一阶导，得到：-Et)t求微商，得到-収甲=pr （3.3），对（3.3）再求一次导，得到:2 2 2可甲=（ 3.4），两端同时除以2 m，得:-V2m2( 3.5)2mt 2(3.2) -(3.5)得：i抚 2m22P宇-(E yv (3.6)2m又由自由粒子动能与动量的关系:21 2 PEmv( 3.7)2 v 2m是（3.6）化为:,2i;:t2V 空(3.7) 2m当粒子在力场中时,设其势能为 V （r），于是上式化为:2

8、畀点屮卉2“一 =（一V +V（r）普（3.8），令（.t2mh272m V（r）二H，上式化为:4.设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为该粒子的初始波函数为：？（x,0） -Cl1(X) C22(X)解：根据叠加原理，设解为：甲（x,t）=:z c$ n（x）e（屋卩，n其中，Cn=n（X T X o dx*ci（n=1）八 n（x）（C1（x） C2 2（x）dx 二 C2（n =2）0（ 21,2）于是，波函数为：中（x,t）二ci（x）e（_Elt） c2-; 2仪）-日）由此，几率密度申（x,t） = *y 1（x）eSEltc 2（x）e>E2tJ d "£出7 &quo