函数单调性189471

1、2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 108642-20/ct/h 某市一天某市一天24小时的气温变化图小时的气温变化图yf(x)，x0，24说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的? ?函数图像是上升或下降的函数图像是上升或下降的如何用严谨的数学语言来刻画呢？如何用严谨的数学语言来刻画呢？函数的性质单调性函数的性质单调性随着自变量随着自变量x的增大，相应的函数值的增大，相应的函数值也在增大（或减小）也在增大（或减小）0 xyx1x2f(x1)f(x2) 问题问题1 1、如何用数学语言表述一个函数是增如何用数学语言表述一个函数是

2、增函数呢？函数呢？ 那么就说那么就说y= f(x)在在区间区间i上是单调增函数上是单调增函数.一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为a， 区间区间i a. 如果对于区间如果对于区间i内的内的任意两个值任意两个值x1，x2，当，当 x 1x2 时，都有时，都有 f（x1）f（x2）xyo)(xfy mnf（x1）x1x2f（x2） 对于某函数，若在区间对于某函数，若在区间当当x1时，时， y1；当；当 x2时，时，y3 ，能否说，能否说在该区间上在该区间上 y 随随 x 的增大而增大呢的增大而增大呢?问题问题2 2：xy21013思考思考问题问题3 3：一个函数是一个函数是y

3、 x0x1x2f(x2)f(x1)那么就说那么就说y= f(x)在在区间区间i上是上是单调减函数单调减函数.一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为a， 区间区间i a. 如果对于区间如果对于区间i内的内的任意两个值任意两个值x1，x2，当，当 x 1x2 时，都有时，都有 f（x1）f（x2）f（x1）x1x2f（x2）) x ( fyoxy 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间i是单调增函数或单是单调增函数或单调减函数调减函数,那么就说函数那么就说函数y=f(x)在区间在区间i上具有上具有. 单调增区间和单调减区间统称为单调增区间和单调减区间统称为单调区间单调区间.

4、单调区间单调区间 在单调区间上在单调区间上,增函数的图象是上升的增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的减函数的图象是下降的.研究单调性必须在定义域范围内进行研究单调性必须在定义域范围内进行;单调区间一定是定义域的子集单调区间一定是定义域的子集.xoy12345-1-2-3-4-5-1-212写出下列图象的单调区间写出下列图象的单调区间: :-5,-2,-2,1,1,3,3,5例例2、画出下列函数图象，并、画出下列函数图象，并写出单调区间：写出单调区间：2(1)2yx ,0单调增区间为0,单调减区间为yxo2121-1-21(2)(0)yxx,00两个单调减区间和，两区间之间用两区间之间用和

5、和或用或用逗号逗号隔开隔开.?00 ,，能否写成能否写成yxox1x2(不行)练习：填表练习：填表函数函数单调区间单调区间kx+bk0y （）k(k0)yxk 0k 0k 0增函数增函数减函数减函数减函数减函数增函数增函数单调性单调性2(0)yaxbxca函数函数单调区间单调区间单调性单调性0a 0a 增函数增函数(,)2ba增函数增函数(,)2ba 练习练习2：填表（二）：填表（二）减函数减函数(,)2ba(,)2ba 减函数减函数增函数增函数3、变形、变形证明：证明：设 是（-， 0 ）上的任意两个实数，且 21,xx21xx 例例、求、求证：函数证：函数 在区间在区间 上是上是单调增函数

6、单调增函数1( )1f xx 0，12121221121111()()(1)(1)xxf xf xxxxxx x 则1212121212,00,0,()()xxx xxxx xf xf x 且1、任意取值、任意取值2、作差、作差4 4、定号、定号函数函数 在区间在区间 上是单调增函数上是单调增函数1( )1f xx 5 5、下结论、下结论0，练习练习3：证明函数：证明函数 在区间在区间 上是减函数上是减函数2( )2f xxx,10)()(21xfxf) 2)()( 2)()2()2()()(212121222122212121xxxxxxxxxxxxxfxf1212211, 0,2 0 xx

7、xxxx )()(21xfxf即证明：证明：1212 ,.x xxx设是区间 - ,1 上任意两实数，且.1 ,2)(2上是减函数在区间故函数 xxxf定义法定义法取值取值作差作差变形变形定号定号判断判断用定义法证明函数在某一区间增减性的步骤用定义法证明函数在某一区间增减性的步骤:上的减函数是证明例4 , 0(16. 4xxyoxy448812121616xy x16y x16y x102614( )(0)(0,)af xxax变：讨论函数在上的单调性,并证明之 2224,f xxa xa变.1在上是增函数，求实数 的取值范围 222 2f xaxxaa变.在， 递增，求 的取值范围21axyxa变：函数在 -1,1 上是减函数,求 的取值范围 1、函数单调性是对定义域的某个区间而言、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质化的性质. 2、判断函数单调性的方法：、判断函数单调性的方法： （1）利用图象：）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是在单调区间上，增函数图象从左向右