D17连续函数的性质

1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的性质 第一章 二、复合函数与反函数的连续性二、复合函数与反函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 *三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 *定理定理. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明，见书 定理 1.22)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,

2、例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(见书 定理1.24)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1

3、sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu (0,)-0 x 或 者 （，）因此xy1sin在上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0,)-0 x或者（，）二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式

4、xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2内容小

5、结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .第十节 目录 上页 下页 返回 结束 四、闭区间上连续函数的性质 一一、有界性、有界性 机动 目录 上页

6、下页 返回 结束 第一章 二二、最值性、最值性 三三、零点定理、零点定理 四四、介值性、介值性注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值性、最值性定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(bacxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页

7、返回 结束 bxoya)(xfy 12mm定理定理. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理定理. ( 零点定理 ), ,)(bacxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )二二、有界性、有界性| ( )|max|,|m|.f xm定理定理. ( 介值性 )设 , ,)(bacxf且,)(aaf,)(babbf则对 a 与 b 之间的任一数 c ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数cxfx)()(则,)(bacx 且)()(ba)(cbca0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(

8、cf推论推论:abxoya)(xfy bc使.)(cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下

9、页 返回 结束 则则0)()()(212xfxff在例例2. 证明：方程= xcos x内至少有例例3.(0,)2 .(p68)an证明：任意正数存在唯一的正的 次方根见书页)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf小结 目录 上页 下页 返回 结束 有一个实根。(见书p68页)内容小结内容小结则设, ,)(bacxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 则, 2,0)(acxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(acx 易证0)()0(a 1. 设作业作业p68 2(1)(3)(5)(6)(8)p69 3总复习题 2;9;10； 选做：11(提示：反证法);12一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 思考与