多元函数微分法52394

1、数学实验数学实验 高等数学（下）高等数学（下）实验目的：实验目的： 1、学习用软件求解多元函数的导数 2、学习用软件求解极值问题 3、会用软件解决应用问题 一、多元函数 z = f (x1, x2, xn)的求导命令 命 令 说 明 diff(z, xi) diff(z, xi, n) diff(diff(z,xi),xj) 求函数 z 对 xi 的偏导数求函数 z 对 xi 的 n 个偏导数求函数 z 先对 xi ，再对 xi 的二阶混合偏导数 实验内容例1 设：z=x4+y4-4x2y2, 求: , syms x y z z=x4+y4-4*x2*y2; zxx=diff(z,x,2) z

2、yy=diff(z,y,2) zxy=diff(diff(z,x),y) 22xz22yzyxz , .运行结果： zxx =12*x2-8*y2 zyy =12*y2-8*x2 zxy =-16*x*y例2（隐函数求导）设 siny+ex-xy2=0 syms x y f f=sin(y)+exp(x)-x*y2; yx=-diff(f,x)/diff(f,y) 运行结果： yx=(-exp(x)+y2)/(cos(y)-2*x*y)dxdy求 例3计算函数 的全微分。 syms x y z u u=x+sin(y/2)+exp(y*z); du=diff(u,x)*dx+diff(u,y)

3、*dy+diff(u,z)*dz 运行结果： du =dx+(1/2*cos(1/2*y)+exp(y+z)*dy +exp(y+z)*dz yzeyxu2sin二、多元函数的极值 1、无条件极值（1）命令格式 命命 令令 说说 明明 x,fmin=fminsearch(fun, x0)x, fmin=fminunc(fun, x0) 单纯形法，x0为初始搜 索点，x为极小值点，fmin为极小值拟牛顿法 步骤：绘制曲面图形，观察极值点用命令求极值 例4求函数 f=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值 x=-4:0.5:4; y=x; x,y=meshgrid(x,y); f=x.3-y.3

4、+3*x.2+3*y.2-9*x; surf(x,y,f) f1=x(1)3-x(2)3+3*x(1)2+3*x(2)2-9*x(1); x1,f1min=fminsearch(f1,2,0) 运行结果：x1 =1.0000 0.0000 f1min =-5.0000 f2=-x(1)3+x(2)3-3*x(1)2-3*x(2)2+9*x(1); x2,f2min=fminsearch(f2,-2,3) 运行结果：x2 =-3.0000 2.0000 f2min =-31.0000fmax=-f2min 运行结果：fmax =31.0000 即 极小值f(1,0)=5,极大值 f(3,2)=3

5、1（2）用判定定理求极值。 解方程组 0),(0),(yxfyxfyx对每一驻点(x0 ,y0 )求出二阶偏导数的值。 a=fxx(x0 ,y0 ), b=fxy(x0 ,y0 ), c=fyy(x0 ,y0 )判别：若 acb20 且 a0 且 a0， 极小值 f(x0,y0)； 若 acb20， f(x0,y0)不是极值； 若 acb20，失效；例5求例3的极值。 syms x y z=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x; s=solve(diff(z,x),diff(z,y); s=double(s.x s.y); a=diff(z,x,2); b=diff(diff(z,x),y)

6、; c=diff(z,y,2); p=a*c-b2; p=double(subs(p,x,y,s(1:4,1), s(1:4,2) 运行结果： p = -7272 72 -72a1=double(subs(a,x,y,s(1:4,1), s(1:4,2) 运行结果： a1 =-12 6 -18 6zmin=double(subs(z,x,y,s(2,1), s(2,2) 运行结果： zmin =-5 ymin=s(2,2) 运行结果： ymin =0 zmax=double(subs(z,x,y,s(3,1), s(3,2) 运行结果： zmax =31 xmax=s(3,1) 运行结果： x

7、max =-3 ymax=s(3,2) 运行结果： ymax =2 2、条件极值拉格朗日数乘法问题：求函数 z=f(x,y) 在条件下的可能极值点 .0,yx基本理论：构造拉格朗日函数 其中r为参数；yxryxfyxl,0,0,0,yxyxryxfyxryxfyyxx得x , y及,则 (x , y) 是 f(x , y) 在条件 下的可能极值点。 0,yx解方程组例6 设生产某种产品的数量与所用的两种原料a，b的数量x，y间的关系式 f (x , y )= 0.00 5x2 y ，欲用150元购料，已知a，b原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？解：生产数量函数

8、： f (x , y )= 0.00 5x2 y 条件： x + 2y = 150 syms x y r f=0.05*x2*y; l=f-r*(x+2*y-150); s=solve(diff(l,x),diff(l,y),x+2*y-150); s=double(s.x s.y s.r) 运行结果： s = 0 75 0 100 25 250 fmax=double(subs(f,x,y,s(2,1),s(2,2) 运行结果： fmax =12500 xmax=s(2,1) 运行结果： xmax =100 ymax=s(2,2) 运行结果： ymax =25 故购进原料a为100个单位，原

9、料 b为25个单位时，生产的产品最多为 12500 个单位。三、多元函数微分学的应用三、多元函数微分学的应用基本理论：空间曲线的参数方程1、空间曲线的切线与法平面 ttztytx,上的点 m (x (t0) , y (t0) , z (t0) 处的切线方程为 上点m处的法平面方程为 000000tzztyytxx 0000000zztyytxxt 例7 求曲线 在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。2,1,1tzttyttx syms t m=t/(1+t) (1+t)/t t2; %动点m t=diff(m); %曲线在点m的切向量 t=1; m0=eval(m) 运行结果： m0 =0.

10、5000 2.0000 1.0000 t0=eval(t) 运行结果： t0 =0.2500 -1.0000 2.0000故切线方程为 法平面方程为 21124/12/1zyx01222141zyx2、曲面的切平面与法线 基本原理：曲面 f (x , y , z)在点m ( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为： fx( x0 , y0 , z0 )( x- x0 ) + fy( x0 , y0 , z0 ) ( y y0) + fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0) = 0法线方程为： 000000000000,zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 例8求曲面 ez

11、-z+xy=3 在点 ( 2, 1, 0) 处的切平面及法线方程。 syms x y z f=exp(z)-z+x*y-3; %求曲面的法向量 n=diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z); x=2; y=1; z=0; n0=eval(n)运行结果： n0 =1 2 0故 切平面方程 ( x 2 ) + 2 ( y 1 ) = 0即 x + 2y 4 = 0法线方程为 02112zyx3、近似计算基本理论：二元函数 z = f ( x , y ) 在点p ( x , y )处的改变量z dz = fx(x ,y)x + fy(x ,y)y 亦即 f( x+x, y+y )

12、f(x ,y) + dzz 的绝对误差 z dz fx(x,y) x + fy(x,y) y 其中x，y的绝对误差 xx ， yy zz 例9 有一无盖圆柱形容器，容器的壁 与底的厚度为0.1cm，内高为20cm，内半 径为4cm，求容器外壳所含体积的近似值。z 的相对误差解：设容器内半径为r，内高为h，则容器内体积为v=r2h r0=4 h0=20 r=0.1 h=0.1容器外壳所含体积 v1 v ( r0 , h0 ) + vr ( r0 , h0 )r + vh ( r0 , h0)hsyms r h v=pi*r2*h; vv=diff(v,r) diff(v,h); r=4; h=2

13、0; v0=eval(v); vv=eval(vv); m=0.1 0.1; dv=vv*m; v1=v0+dv 运行结果: v1= 1.06060e+003 故容器外壳所含体积大约为 1060.6cm3 例10测得一块三角形土地的两边边长分别为630.1m和780.1m，这两边的夹角为601，试求三角形面积的近似值，求其他绝对误差和相对误差。 解：如图所示：三角形的两条边长分别为 a=63cm, b=78cma = 60 a=0.1 b=0.1 a1 三角形的面积 aabssin21 syms a b a s=a*b*sin(a)/2; sd=diff(s,a) diff(s,b) diff

14、(s,a); a=63; b=78; a=60*pi/180; s0=eval(s)运行结果： s0 =2.1278e+003 sd0=eval(sd); m=0.1 0.1 pi/180; ds=sd0*m运行结果： ds =27.5468 es=ds/s0运行结果： es =0.0129 故得三角形面积的近似值为 2128 m2，绝对误差为 27.5468m2 相对误差为1.29%。实验题一、基础型 1、求下列函数的偏导数（1）设z = yx ，求（2）设z = x ln (xy)，求 2、设 f (x, y, z) = xy2 + yz2 + zx2 求 ： 求fxx( 0, 0, 1), fxz (1, 0, 2 ), fyz ( 0, -1, 0)及 fzzx