24无穷大量与无穷小量05397

1、 2.4 无穷大量与无穷小量一、无穷大量与无穷小量二、无穷小量与无穷大量阶的比较定义定义2.4)()1()()(0)(limxxoxfxxxfxfxx 下的无穷小量，简记为下的无穷小量，简记为是极限过程是极限过程，则称，则称若若一、无穷大量与无穷小量);0()1( xox例如：例如：);1()1(ln xox);()1(e xox知知由由)()1()(xxoaxf 证明证明及四则运算法则知及四则运算法则知由由axfxx )(lim例例1)()1()()(limxxoaxfaxfxx 的充分必要条件是的充分必要条件是证明：证明：必要性：必要性：.)(下的无穷小量下的无穷小量是是从而从而xxaxf

2、 充分性：充分性：0)(lim axfxx)(lim)(limaaxfxfxxxx aaxfxxxx lim)(lim，0)(lim axfxx.a 例例2. )()1()()(,)(, )()1()(xxoxgxfxxxgxxoxf 证明：证明：有界量有界量时的时的是是若若证明证明)()()()(0xxxfmxgxf 时的有界量，时的有界量，是是由于由于xxxg)()()(xxmxg ).()1()()(xxoxgxf 因此因此)(lim)(limxfmxfmxxxx 从而从而，由于由于)()1()(xxoxf , 0)()(lim xgxfxx由夹逼定理可得由夹逼定理可得从而从而使得使得则

3、存在常数则存在常数, 0 m, 0 定义定义2.5.)(,)(lim无穷大量无穷大量时的时的是是则称则称若若xxxfxfxx 关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：；并且并且的充要条件是的充要条件是 )(lim,)(lim)(lim)2(000 xfxfxfxxxxxx趋于无穷大；趋于无穷大；时，时，不存在且不存在且是极限是极限只是一个记号，其含义只是一个记号，其含义)()(lim)(lim)1(xfxxxfxfxxxx );()1()(1)(lim)3(xxoxfxfxx ，则，则若若；且且的充要条件是的充要条件是 )(lim)(lim)(limxf

4、xfxfxxx.)(1lim, 0)()()1()( xfxfxxoxfxx则则且且若若二、无穷小量与无穷大量阶的比较定义定义2.6),(0)()1()(),1()(xxxgoxgxf 且且设设 下的高阶无穷小量，下的高阶无穷小量，在在是是则称则称若若xxxgxfxxoxgxf )()(),()1()()(的同阶无穷小量，的同阶无穷小量，下下是是与与则称则称若若xxxgxfaxgxfxx )()(,)()(lim；简记为简记为)() )()(xxxgoxf 下的等价无穷小量，下的等价无穷小量，是是与与时，称时，称特别特别xxxgxfa )()(1).()()(xxxgxf简记为简记为 )(li

5、m)(limxgxfxxxx，设设定义定义2.7下的同阶无穷大量，下的同阶无穷大量，是是与与则称则称若若xxxgxfaaxgxfxx )()(),0()()(lim下的低阶无穷大量，下的低阶无穷大量，在在是是则称则称若若xxxgxfxxoxgxf )()(),()1()()(下的高阶无穷大量，下的高阶无穷大量，在在是是或者称或者称xxxfxg)()(；简记为简记为)()()(xxxgoxf 的等价无穷大量，的等价无穷大量，下下是是与与时，称时，称特别特别xxxgxfa )()(1).()()(xxxgxf简记为简记为.)()()()()()(),(0)(0)(lim()(lim的主部的主部是是

6、时，时，则称则称如果如果且且或或设设xgxfxxxxxfoxfxgxxxfxfxfxxxx 定义定义2.8性质性质2.11).()()(,)(lim),()(,)(limxxxfxgxfxfxgxxxfxxxx 且且则则部是部是的主的主时时且且设设证明证明由于由于)()()()(xxxfxfxg 则则)()(limxfxgxx )()(1limxfxfxx 1 由函数极限的局部保号性有由函数极限的局部保号性有)(21)()(xxxfxg ，时时当当 )(lim,)(limxfxfxxxx，知知 )(limxgxx)()(21)(xxxfxg 由由).()()(,)(limxxxfxgxgxx

7、且且即即性质性质2.12).()()()()1()(, )()(, )(0)(),1()(xxxfxgxxxgxfxgxxxfxf 且且则则的主部是的主部是并且并且设设 性质性质2.13, )()()(, )()1()(, )1()(xxxgxfxxxgxf 且且若若 bxgxvaxuxgxxxx )()(lim,)()(lim若若.)()(lim,)()(limbxfxvaxuxfxxxx 则则可得可得由由)()()(xxxgxf证明证明)()(limxuxfxx)()(limxfxvxx)()(lim)()(limxuxgxgxfxxxx )()()()(limxgxfxuxgxx,a )

8、()()()(limxgxvxfxgxx )()(lim)()(limxgxvxfxgxxxx .b 例例3.2sin2lim2330 xxxxxx 求极限求极限解解23302sin2limxxxxxx ,sin, 0,0333xxxx时时330sin2limxxx yyxyysinlim203 . 2 ,sin2sin233xxx的主部为的主部为因此因此 ，的主部为的主部为3232xxxx 例例4解解.lim0, 001110111bxbxbxbaxaxaxabammmmnnnnxmn 求极限求极限设设,0111nnnnnnxaaxaxaxax的主部为的主部为时时 nmbanmnmmn, 0

9、mmnnxxbxa lim原式原式,0111mmmmmmxbbxbxbxb的主部为的主部为 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x;arctanarcsintansinxxxxx,21cos12xx , 1e)1ln( xxx)0(1)1(是常数是常数 aaxxa)1, 0(ln1 aaaxax,1时时当当x. 1ln xx例例5证明证明. 11elim0 xxx证明：证明：),1ln(, 1eyxyx 则则令令xxx1elim0 因此因此时时且且, 0,0yx)1ln(lim0yyy . 1 例例6证明证明. 111lim00 xxx ）（，证明：，证明：设设,11lim,00中中）（在在时时当当xxx 11 ）（xxxx 11lim0 ）（,0,e1)1ln(时时且且）注意到（注意到（ xxx , 0)1ln( x1e