2020届江西省上饶市二模数学(理)试题-含答案解析

1、2020届江西省上饶市二模数学（理）试题一、单选题1 .设集合 A x y 7T-x ,B x x 1 x 20,则 AIB （）A. 1,2B.1,1C.1,1D.1,2【答案】B【解析】先求出集合 A和集合B ,由此即可得到结论.【详解】由题意 A x1 x 0 x x 1 , B x 1 x 2 , A B （ 1,1,故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.3 4i2 .计算（）1 2iA. 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i【答案】D【解析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】3 4i3 4i 1 2i 5

2、10i由复数的运算法则可得：3-i 5 10i1 2i .1 2i 1 2i 1 2i 5故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3 .已知直线m 平面，则“直线n m”是“ nP ”的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当m 且n m时，我们可以得到n/或n （因为直线n与平面 的位置关系不确定），所以充分性不成立；当。/时，过直线n可做平面与平面交于直线a ,则有n/a.又有m ,则有m a,即m n.所以必要性成立，故选B.4 .上海地铁2号线早高山I时每隔 4.5分钟一班，其中含

3、列车在车站停留的 0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（A.B.8C.9D.1015【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算问题，求出对应时间的比即可.【详解】Q每4.5分钟一班列车，其中列车在车站停留 0.5分钟， 根据几何概型概率公式可得,0 5 14.5该乘客到达站台立即能乘上车的概率为05 -.故选：C.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，对应时间的比值是解题关键，属于基础题.5 .张丘建算经卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的

4、常量），第1天织了五尺，一个月（按 30天计算）共织九匹三丈（一匹 四丈，一丈 十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（）A. 16B. 17C. 19D. 21【答案】A【解析】设该女子第一天织布为现，利用等差数列即可得到结论 .【详解】记该女子一个月中的第 n天所织布的尺数为an ,则S30 30（a1 a30） 390 ,a a30 26,则 a30 21 , a3° a1 16.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题.6 .已知MOD函数是一个求余数函数，MOD m, n m N , n N 表示m除以

5、n的余数，例如MOD 8,32 .如图是某个算法的程序框图，若输入 m的值为28,则输出的值为（)【答案】CC. 5D. 6【解析】模拟执行程序框图，根据题意, 可得解.【详解】模拟执行程序框图，可得： n 2, i 0, m 28,满足条件n 28, MOD 28,2满足条件n 28, MOD 28,328大于1的约数有：2,4,7,14,28共5个，即满足条件n 28, MOD 28,4满足条件n 28, MOD 28,50, i 1,n 3；1, i 1,n 4；0, i 2,n 5；3, i 1,n 6；Q N ,可得程序框图的功能是统计28大于1的约数的个数，由于约数有:n2,4,7

6、,14,28 共5个，故 i 5.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD m,n的值是解题的关键，属于基础题.r ruuu7.已知a,b是不共线的向量，OArr uuurr urnrr rab，OB2ab，OCa 2b，若A B、C三点共线，则、满足（）A.3B.3C.2d.【答案】B 【解析】利用三点共线，即可得到结论r r(1 t)a (t 2)b,uuu uur uur由A、B、C三点共线，得 OA tOB (1 t)OC_ r r Q a,b是不共线的向量,t 1, t 2,08.已知变量x, y满足xxA. 9B. 9C. 12D. 12

7、故选：B.【点睛】本题考查了三点共线，向量共线定理，属于基础题.x 3y 0 ，则z 2x 3y的最大值为（y 3 0【解析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值【详解】0x3画出 x y 0 表示的可行域，如图, x y 3 02 1平移直线y -x -z,当直线经过点（0,3）时，直线截距最小，z最大,3 3所以，z最大彳1为z 2 0 3 39,故选：A.【点睛】本题考查线性规划知识,考查数形结合的数学思想,考查学生的计算能力，属于基础题9.已知函数f x 2sin x0在x a,2 a 0上最大值为1且递增，则2 a的最大值为()C. 9D. 8A. 6B.

8、 7【答案】Da的最值，进而可得 2 a的最值.【解析】利用正弦函数的单调性求得【详解】由题意可知，a,2, f(2) 2sin(2 ) 1, 22212，amin 6, (2a)max8.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题.10.已知 f x ln &_1 x ,不等式 f a4_1f x2 20对 x R 成立，则a的取值范围为()A.2,B, 2,C.,2D. , 2【答案】A【解析】易证f(x)是奇函数且在 R上单调递减，利用函数性质得不等式，进而解得即可.【详解】,1一、f ( x) ln(vx2 1 x) 1n / 2f (x)

9、, f (x) ln(Jx2 1 x)是奇函数、x 1 x且在R上单调递减，不等式 f(ajx2 1) f (x2 2) 0即：f(ajx2 1) f ( x2 2)，2 _ ,一x 21结合函数的单调性可得：aA/x1x2 2，a ,2(vx 1),x 1x 1(&12 2)max 2 ,所以 a 2.x 1故选：A.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用奇函数的性质得不等式是关键，属于中档题.x211 .在直角坐标系xOy中，F1、F2分别是双曲线 C: ay2 b21 a 0,b 0 的左、右焦点，点PUULTX0,y0是双曲线右支上白一点，满足 PF1uuuPF20,若点P

10、的横坐标取值范围是x054a, aC的离心率取值范围为(A.54B.16 9,7 2C.4,7 3x2,72D.4.5 5、, 2uur uuuPF1 PF20可计算得X022a2(b22 cX0-a, - a43即可得离心率的取值范围.uur unu由 PF1 PF20可得,22x0c2y。0 ， x02 c2b22-2 x0 ab20,2 c 2 -x x0 ab2c2 ，2X022a (b54(-a,-a),所以4325 a1622a (b2 cc2)16 2一 a916b2 c91612 e7161674.773.2 e 2故选:C.本题主要考查了双曲线的简单性质,向量数量积的运算，考

11、查计算能力,属于中档题.12.已知对任意实数 x都有f x3exf x , f 01,若不等式f x a x 2 (其中a 1)的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是(A.4 13e, 2B.3e，1C.744e2 , 3eD.【解析】由 f (x) 3ex f (x), f (0)1得 f(x) (3x 1)ex,进而得f (x) (3x 2)ex ,再根据图像比较点7广 口(2,二)连线的斜率，即可得到答案 e42,0 与四个点(1,2e), (0, 1), ( 1,-), e由 f 3ex f (x), f 1 得 f(x) (3x 1)ex,2故f (x) (3x 2)ex, f(x)

12、在x取得极小值,根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点2,0 与四个点(1,2e), (0, 1),-4、7(1, ), ( 2, 2)连线的斜率，由 2ee故选：C.74e243e1174、2可得a小）本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题13.若直线2x cy 1 0是抛物线x2 y的一条切线，则c .【答案】1【解析】根据题意，联立方程即可得到答案.【详解】e , _ , 2x cy 1 09联立直线和抛物线得到2cx2 2x 1 00 cl.x y故答案为：1.【点睛】本题主要考查直线与

13、抛物线的位置关系，属于基础题14 . 一个棱长为2的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切， 则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为.【答案】3 2,、2【解析】在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球，即为放置的球与正方体相切与圆利用几何关系计算柱体也相切，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图, 即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图,设球的半径为 R,则圆柱体底面圆半径 r 1,正方形的边长为2,由题意可得, 短 1 2R J2 1 R ,解得R 3 2J2，即最大球的半径为 3 242.故答案

14、为：3 2 、2 .【点睛】本题主要考查球的半径的求法，几何图形的转化，属于基础题 3S615 .已知等比数列 an的前n项和为Sn ,且Sn a 3n，则一.nn 2S3 【答案】28【解析】由等比数列前 n项和的通项公式得 q=3 ,进而可得比值. 【详解】a an.3 c等比数列 an的前n项和为S1 = - -q (q 1),由已知Sn=-+a 3 ,可知 1 q 1 q2a1 1 q6q=3,则S61 q31+q3 28.S3 a1 1 q1 q故答案为：28.【点睛】本题考查等比数列前 n项和的代数表达式，利用等比数列的定义是关键，属于基础题.16. 一只蚂蚁从一个正四面体 ABC

15、D的顶点A出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A的爬行方法种数是 .【答案】60【解析】方法一：根据题意，蚂蚁第一次爬行可以到B、C、D的任何一点，再利用第二次爬行到 A与不到A进行分类计算，依次计算即可；方法二：设从点 A出发爬行n次仍在点A的爬行方法种数为 an(n 2),由题意得递推、，一 nn 1关系3an i an(n 3),进而可得结论.【详解】解法一：第一次爬行可以到B、C、D的任何一点，第二次爬行分到A与不到A,对于第二次不到 A的第三次爬行再分到 A与不到A.爬行方法总数为3 1 3 2 2 (1 3 2 2) 60 (种).an(n 2)，则 a23,

16、解法二：设从点 A出发爬行n次仍在点A的爬行方法种数为n 13an 1an( n 3),n 1anan 1377 ( 1)n 1 ("77(3)n1,ana an an 1an 1 an 2 . L .a3a2a2/ n n / n xn/ /n1 / n xn 1/ /却2 z 八 3/ /2 / 2 x2(1)( 1)(1)( 1)( 1)( 1)(1)( 1)n 1(3)n 1 ( 3)n 2 L ( 3)2 3-(-)-11m(3)n1 1,3 14a53475-( 3)160 , a5 60.(亦可由递推式从第二项递推出第五项的(1) 4值)故答案为：60.【点睛】 本题主

17、要考查了计数原理的应用，构造数列，利用递推关系解决问题，属于中档题 三、解答题17 .已知 f x tanxsin x cos x33 , ABC的内角 A, B,C 的对边23分别为a,b,c, B为锐角，且f B 也.11)求角B的大小；(2)若b 3 , a 2c ,求ABC的面积.f B 黎代入即可得【解析】(1)利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将 到答案；(2)利用余弦定理求得 C的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积【详解】4 tan x cosx cos x3、3 4sin xcos x 332sin xcosx 2 3sin2 x 3sin2x 2.3 1您a 32s

18、in 2x 3cos2x2sin 2x 一 3(1)函数 f x 4 tan xsin x cos x , 3 2319由 f B73 得：sin 2B 3Q B为锐角,2B 一 323, 32B 33(2)由余弦定理有b222a c 2ac cos B ,Q b 3, a 2c, B 3cc 2229 2c c 4c cos,33.323,12abc - acsin B c sin B 2【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题 .18 .如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/BC, AB BC ,S

19、AB是等边三角形，侧面SAB 底面ABCD , AB 2屈,BC 3, AD 1 ,点M、点N分别在棱SB、棱CB上，BM 2MS , BN 2NC，点P是线段MN上的任(1)求证：AP/平面SCD;(2)求二面角S CD B的大小.【答案】(1)证明见解析；(2).3【解析】(1)先证MN/平面SCD,再证AN/平面SCD,进而可得平面 AMN/ 平面SCD,即可得到答案；(2)建立空间直角坐标系，求出平面 SCD的法向量，取平面 BCD的法向量，利用向 量法求出二面角即可.【详解】(1)连接 AM,AN ,由 BM 2MS, BN 2NC 得 MN/SC则四边形ADCN为平行四边形，故 A

20、N / /DC , AN /平面 SCD又 MN I AN N面 AMN /面 SCD,又AP 面AMNAP/平面 SCD.(2)如图，以AB中点。为原点，AB的中垂线为z轴，直线BA为x轴，过O于BC平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系ur则面BCD的其中一个法向量n10,0,1 ,ur设面SCD的一个法向量n2x,y,z又 S 0,0,3 , D 73,1,0 , C褥,3,0uuu _uuir _SDV3,1, 3 , CD2V3, 2,0uuv uvSD n2 0 uuv uvCD n2 0,3x y 3z 02.3x 2y 0r1得，nur ur 贝U cos n1, n214故二面

21、角S CDB的大小为本题考查了线面平行的判定，利用向量法求法向量，求二面角的大小，属于中档题.19 .在贯彻中共中央、 国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶， 工作组对这100户村民的年收入情况、 危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2 ,0.2,0.4 , 0.4,0.6 , 0.6,0.8 , 0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若0 x 0.6,则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0 x 0.2时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这10

22、0户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种(1)完成下面的列联表， 并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平/、好总计绝对贫困户2相对贫困户52总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于 Q0.4的贫困户中,随机选取两户，用 X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期2附：K2n ad bcabcd acbdP K2k00.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.0242【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，2.3【解析】（1）根据题意

23、填写列联表，计算K2,对照临界值得出结论；（2）根据题意可得贫困指标在0,0.4的贫困户共有15 （户），“亟待帮助户”共有 5（户），则X的可能值为0, 1, 2,列出分布列，计算期望值即可 .【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有0.25 0.50 0.75 0.2 100 30 （户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户22830相对贫困户185270总计2080100K2100 18 28 2 5230 70 20 804.762 3.841.故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关.（2）贫困指标在 0,0.4的贫困户共有 0.25 0.5 0.2

24、 100 15 （户），“亟待帮助户”共有 0. 25 0.2 100 5 （户），依题意X的可能值为0 , 1 , 2 ,C20C257, P X 1de；10"CT 21'C522C：21 '则X的分布列为X012P310272121故 EX 03110 2-2 2.721213【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.x22320 .已知椭圆e：- y 1 a b 0的离心率为 23,其右顶点为 A,下顶点为B, a b2定点C 0,2 , ABC的面积为3 ,过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点，

25、直线BP,BQ分别与x轴交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)试探究M , N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.2【答案】(1) 土 y2 1； (2)是，理由见解析.4【解析】(1)求出a , b代入即可；(2)设直线PQ的方程为y kx 2, p, Q的坐标分别为P X1,y1 ,Q %,、2 ,求出M , N的横坐标，Xm XnX1X2(y 1)(y2 1)X1X2k2X1X2 3k(X1 x2) 9 1216k和椭圆联立，由韦达定理得X1X2 2» , X1 X26kT，即可求出14k1 4k【详解】(1)由已知，A,B的坐标分别是A a,0 ,B 0, b由于 AB

26、C的面积为3,1(2 b)a 3,又由 e 也得 a 2b, 22解得：b=1,或b= 3 (舍去)，a 2,b=12椭圆方程为人 y2 1；4(2)设直线PQ的方程为ykx 2 , P,Q 的坐标分别为 P x1,y1 ,Q x2, y2Vi 1则直线BP的万程为y x 1,令y 0,得点M的横坐标XmX1X1V11V2 1.八直线BQ的方程为y x 1,令y 0,得点N的横坐标XnX2X2V21XM XNX1X2(V1 1)(V2 1)X1X2(kx1 3)( kx2 3)X223X1X2k2x1x2 3k(x1 x2) 92把直线y kx2代入椭圆人4y2 1 得(1 4k2)x2 16

27、kx 12 0m12由韦达7E理得X1X2二, X11 4k16k1 4k212. x x1 4k2XM XN2212k48k-22914k14k【点睛】1222212k2 48k2 9 36k2本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题,属于中档题.一，一、“，4 2a21 .已知函数f x a ln x x x(1)当a 4时，求函数f x的单调区间;x22(2)设gxe mx 6,当a e 2时，对任意X 2, ，存在& 1,2使得f x2e g x2 ,求实数m的取值氾围.【答案】(1)当a 4时，单调减区间是(2,a 2),单调增区间是(0,2), (a 2,

28、)；当a 4时，单调增区间是0,，没有单调减区间；(2) m e2 e.【解析】(1)先求函数的定义域，利用函数的导函数f (x) 0,得x 2或x a 2,当a 4时，分a 4, a 4讨论即可得到答案；(2)当a e2 2时，由(1)知f(x)在2,e2上单调递减，在 e2,上单调递增，从而f(x)在2,上的最小值为f(e2)e2 6,由题意得e2 6 ex mx2 6,2 x2 x即m e 2e，令h(x) 包芸，求新函数h(x)的最大值即可得实数 m的取值范围 xx(1)函数f x的定义域为(0,),f (x)a 2a 4- 12x x(x 2)x (a 2)2，x由 f (x) 0

29、,得 x 2或 x a 2.当 a 4即 a 2 2 时，由 f(x) 0得 2 x a 2,由 f (x) 0 得 0 x 2或 x a 2；2时，当x 0时都有f (x) 0 ；当a 4时，单调减区间是(2,a 2),单调增区间是(0,2), (a 2,)；当a 4时，单调增区间是0,没有单调减区间,22上单调递增,(2)当a e2 2时，由(1)知f(x)在2,e上单调递减，在从而f(x)在2,上的最小值为f(e2)e2 6.2对任思x12,存在x21, ，使得g X2f Xi2e ,2-即存在x21, ，使g(x)的值不超过f x 2e在区间2, 上的最小值e2 6.由 e2 6 ex mx2 6,2 xe em 2-x2 x人e e令h(x) 一2,则当xx1,时，m h(x)max.x 22 xe x 2 e e xQ h(x) 22 2xx2xe 2 e e3x当 x 1,2时 h (x) 0 ；当 x 2,)时，xex 2 e2 exxex 2ex 0,h(x) 0.故h(x)在1,)上单调递减,2从而 h(x)max h(1) e e,从而m e2 e.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方27法、分类讨论方法，考查了