基本不等式(二)

1、基本不等式(二)基本不等式：（二）学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识点一基本不等式求最值1理论依据：(1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.(2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.2基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足3利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式

2、)均为正(2)和或积为定值(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x，则f(x)有()a最大值 b最小值c最大值1 d最小值1(2)已知t0，则函数y的最小值为_(3)已知x，yr，且满足1，则xy的最大值为_答案(1)2(2

3、)3(3)3解析(1)yt4242，当且仅当t，即t1或t1(舍)时，等号成立，y的最小值为2.(2)xy12·12·212·23，当且仅当，即x，y2时，等号成立，xy的最大值为3.(3)f(x)1.当且仅当x2，即x3时，等号成立跟踪训练1(1)设ab0，则a2的最小值是()a1 b2c3 d4(2)已知x，y为正数，且2xy1，则的最小值为_答案(1)d(2)32解析(1)a2a2ababa(ab)ab224.当且仅当a(ab)1且ab1，即a，b时取“”(2)由2xy1，得332 32，当且仅当，即x，y1时，等号成立题型二基本不等式的综合应用例2(1)已

4、知x1，y1，且ln x、ln y成等比数列，则xy()a有最大值e b有最大值c有最小值e d有最小值答案c解析由题意得2ln xln y，ln xln y，x1，y1，ln xln y0，又ln(xy)ln xln y21，xye，即xy有最小值为e.(2)若对任意x0，a恒成立，求a的取值范围解设f(x)，x0，x2，f(x)，即f(x)max，a.跟踪训练2(1)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()a2 b4c1 (2)函数ykx2k1的图象恒过定点a，若点a又在直线mxny10上，则mn的最大值为_答案(1)b(2)解析(1)由题意得，3a·3b()2，

5、即ab1，(ab)222 4，当且仅当，即ab时，等号成立(2)yk(x2)1必经过(2，1)，即点a(2，1)，代入得2mn10，2mn1，mn(2mn)·2，当且仅当2mn时，等号成立题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值解设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab9 000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0.广告的面积s(

6、a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.当且仅当25a40b时，等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75，即当a120，b75时，s取得最小值24 500，故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.跟踪训练3一批货物随17列货车从a市以v千米/时匀速直达b市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到b市，最快需要_小时答案8解析设这批货物从a市全部运到b市的时间为t，则t2 8(小时)，当且仅当，即v100时，等号成

7、立，此时t8小时1下列函数中，最小值为4的函数是()ayx bysin x(0x)cyex4ex dylog3xlogx812函数y(x1)在xt处取得最小值，则t等于()a1 b2 c3 d43将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()a m b m c7 m d m4函数f(x)x(42x)的最大值为_5当x时，函数y4x2的最大值为_一、选择题1已知正数x，y满足1，则x2y的最小值是()a18 b16 c8 d102已知点p(x，y)在经过a(3,0)，b(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()

8、a2 b4 c16 d不存在3下列命题正确的是()a函数yx的最小值为2b若a，br且ab0，则2c函数的最小值为2d函数y23x的最小值为244设x，y为正数，则(xy)的最小值为()a7 b8 c9 d105已知a，b，c都是正数，且a2bc1，则的最小值是()a32 b32c64 d646已知a(x1,2)，b(4，y)(x，y为正数)，若ab，则xy的最大值是() b c1 d17若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为() c2 d4二、填空题8设x>1，则函数y的最小值是_9设abc，则的最小值是_10某汽车运输公司购买一批豪华大

9、客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xn*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运_年时，年平均利润最大三、解答题11已知x，y0，且x2yxy30，求xy的范围12已知正常数a，b和正变数x，y满足ab10，1，xy的最小值为18，求a，b的值13某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为q(x)3 00050x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值

10、是多少(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)当堂检测1答案c解析a中x1时，y54，b中y4时，sin x2，d中x与1的关系不确定，选c.2答案b解析yxx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立3答案c解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab242(m)要求够用且浪费最少，故选c.4答案2解析当x(0,2)时， x,42x0，f(x)x(42x)22，当且仅当2x42x，即x1时，等号成立当x0或x2时，f(x)0，故f(x)max2.5答案1解析x，4x50，y4x5332 31当且仅当54x，即x1时，等号成立课时精练答案

11、一、选择题1答案a解析x2y(x2y)1010218，当且仅当，即x4y时，等号成立2答案b解析点p(x，y)在直线ab上，x2y3.2x4y224.当且仅当2x4y，即x，y时，等号成立3答案b解析a错误，当x0时或x1时不成立；b正确，因为ab0，所以0，0，且2；c错误，若运用基本不等式，需21，x21无实数解；d错误，y2(3x)24，故最大值为24.4答案c解析由于x，y为正数，故(xy)149.当且仅当，即y2x时取“”5答案d解析(a2bc)442 2 2 64，当且仅当，时，等号成立，即a2c22b2时，等号成立6答案a解析ab则a·b0，4(x1)2y0，2xy2，

12、xy(2x)·y·2，当且仅当2xy时，等号成立7答案d解析圆方程为(x1)2(y2)24，圆心为(1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即2a2b20，ab1，(ab)2224，当且仅当，即ab时，等号成立二、填空题8答案9解析x>1，x1>0，设x1t>0，则xt1，于是有yt52 59，当且仅当t，即t2时取“”，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.9答案4解析(ab)(bc)1122 4，当且仅当，即|ab|bc|，又abc，b时，等号成立10答案5解析二次函数顶点为(6,11)，设为ya(x6)211，代入(4,7)得a1，yx212x25，年平均利润为122 122，当且仅当x，即x5时，等号成立三、解答题11解因为x，y是正实数，故30x2yxy2xy，当且仅当x2y，即x6，y3时，等号成立所以xy2300.令t，则t0，得t22t300，解得5t3.又t0，知03，即xy的范围是(0,1812解因为xy(xy)·1(xy)·abab2()2，当且仅当，即时，等号成立，所以xy的最小值为()218，又ab10，所以ab16.所以a，b是方程x210x1