2022年微型机继电保护基础2数字滤波器

1、数字滤波器2.1概述电力系统信号)()()(tntstx)(ts有效信号)(tn干扰信号滤波：从)(tx中提取出)(ts，消除)(tn)(tx)(ty)(ts：滤波器物理器件，运放等，模拟滤波程序算法数字滤波数字滤波一般框图)(tx)(ty微机保护中， 数字处理的结果无须在变成模拟量，所以不需要转换器。数字滤波的优点：（） 特性一致性好（） 不受温度影响（） 不存在阻抗匹配问题微机保护一般都采用数字滤波器。数字处理精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

2、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -问题：前置低通滤波器的作用？2-2 连续时间系统的频率特性和冲击响应一、 基本知识和定义1.系统：x(t) y(t) y(t)=tx(t) 2. 线形系统：tbytaytbxtaxt21213.时不变系统：11ttyttxt4.因果系统：输出变化不会发生在输入变化之前5.稳定系统：1. 冲激函数t二、 连续时间系统的频率响应连续系统：fhfxfyfyfx,为输入输出信号)(tx)(ty的付氏变换成频谱。)( fh系统的频率特性，为复数efjfafh)()()()( fa幅频特性)(

3、 f相频特性)( fh物理意义：输入中任一频率f1经系统后，幅值乘了)(1fa，相位移了)1(f)( fh是对滤波器的充分描述。三连续系统的冲激响应输入)(t输出)(th称为冲激响应)()(ttth由于)(t具有筛分性质所以)(tx可以表示为t. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -dttxtxttydtxtx)()()()()()()(

4、dthx)()(可见，只要知道)(th， 利用该式就可以计算出对任意输入)(tx的输出)(ty所以)(th也是对系统的充分描述。等式右端的积分称为卷积，记为dtxhtxththtxty)()()(*)()(*)()(四冲激响应和频率特性之间的关系。)( fh与)(th互为付氏变换对。五卷积的图解法和滤波的响应时间（略） p30 图 2-8，图 2-9 六周期性时间函数的付氏变换和付氏级数。周期函数付氏级数离散频谱非周期绝对可积付氏变换连续频谱周期函数付氏变换是否存在？答案是肯定的，但含有冲激函数例 2-2 )(tf=1 付氏变换1)()( 1tfff例 2-3 复指数信号)()(02200fe

5、efffftftjtj例 2-4 正弦和余弦信号-f0f0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -)()(21)2sin()()(21)2cos(000000ffffffffjtffftf-f0f0例 2-5周期为 t 的任意周期函数)(tft)()()(0ffnfnftft?例 2-6 一串等间隔的冲激的付氏变换先求付氏级数变换2-3 离散

6、时间信号的频谱sntxtx采样、模数转换sntx=txsnttsntx不连续，严格意义上的付氏变换不存在，它的付氏变换定义为：ssstjnnsfntjnstjentxentxex2或此处，付氏变换变量写成stje，而不写成或f，是因为f总是以stje=sftje2的形式出现。现推导stjex与tx的频谱fx的关系定义：snsnsnttntxntttxtx*ftx*=fx*nsntxsfntje2可见fx*stjex再考虑fx*与fx的关系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资

7、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - -tx*=nsnttfx*=fx*fnsntt =fx*nnfsffs =fsfx*nnfsf nfsffx* -fs fs/2 fs 0 fs 2fs -f fs/2 fs 即fx*为fx的同期延拓若ffs/2 时，fx=0， 则在-fs/2到 fs/2 范围内，fx*与fx完全相同，也就是说，sntx可以唯一的确定出tx。已知sntx，可求出fx*，对fx*在-fs/2 ，fs/2范围内积分，就可求出tx若ffs/2 时，fx0， ，则fx*在-fs/2

8、，fs/2范围内的值与fx的值不同，这样就无法根据fx*求出tx，即sntx无法复原出tx，这就是采样定理。2-4 z 变换连续时间函数、拉氏变换精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - -dtetfsfst0s=j与付氏变换相比，拉氏变换相当于将tf先乘上et后再做付氏变换，称为收敛因子，=0 的拉氏变换就是付氏变换， 在 s复平面上，=0 相

9、当于虚轴，所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换。对离散信号，也有拉氏变换，定义为：etetnxtxsssnnss)()(由于变换后 s 总以est的形式出现，令 z=est，进行变量置换ztnnsnxzx)()(称为 z 变换，也就是离散信号的付氏变换。s 平面和 z 平面的影射关系如下图， s平面上的虚轴影射到z 平面上是一个单位圆。jwim zre zeeetttzsssjwjws0)(s沿着虚轴在 -到+变化时， z 沿着单位圆变化多圈。所以单位圆上的 z 变换既离散信号的付氏变换。2-5 离散时间系统的单位冲激响应和频率特性精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

10、 - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -一离散时间系统输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统。)()(nytnx?二单位冲激序列和单位冲激响应单位冲激序列的定义：)(tsn1 n=0 0n0一个离散系统对)(tsn的响应记作snth，称为该系统的单位冲激响应，即：ssnttnthsskssktntktxntxx(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) 对应的输出为：ssnt

11、xtnty=ksssktntktxt=ksktxssktntt=ksktx.)(ssktnth精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -=kskth)(ssktntx=snthsntx=sntxsnth三、离散时间系统的频率特性snty=ksktx.)(ssktnth取付氏变化stjey=stjnnnsssektnthktx=ksktxnssk

12、tnthssktntjesktje=ksktxsktjenssktnthssktntje =stjexstjehstjeh就是离散系统的频率特性，它与单位冲激响应snth构成付氏变换对，stjeh是以 fs 为周期的周期函数。它在-fs/2 到 fs/2 内的形状描述了它的滤波特性。snth的 z 变换是：zhnnsznth称为系统的传递函数2-6 简单滤波单元及其级联滤波一. 简单滤波单元1.概念：用加减法构成的线性滤波单元。2.基本假设：输入信号是由稳恒直流，稳恒基波加上稳恒整次谐精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23

13、页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -波构成。3.适用范围：中低压网络的慢速保护。4.作用原理（1）.加法滤波：设需要滤除的谐波周期是tn，则可以用当前采样值与半个周期前的采样值相加将其滤除。由上图0)2()(tffnnntt例：设谐波次数为 5， 则msttn451若采样周期为msts1则五次谐波一个周期采样四点， 半个周期采样两点， 离散化的滤精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共

14、 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - -波公式为0)2()()2()(5555tftfttftfssssskkkk既只要将当前采样值与两点前的采样值相加，即可滤除五次谐波。（2）.减法滤波用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减，就可以滤除某次谐波。二. 基本形式及其特性（一）.相减（差分）滤波单元差分方程为：)()()(knxnxny对其做 z 变换，得到转换函数（传递函数）zkzxzyzh1)()()(令etzsjw代入上式，可得si

15、ncos11|)(|skwjkwthtteesjkwtjwcs所以幅频特性为：ttkwesjwkwsthssin)cos1 (22|)(|2sin|22cos12cos22tttssskwkwkw精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - -)21(2cos1sin)(ttttssssfkkwkwarctgw对微机保护来说，最为关心的是幅频特性

16、。式中， w=f2为输入信号的角频率，ts为采样周期，tfss1通带要求，fs为f1的整数倍，既.1ffnsn=1，2，由上述公式，可以绘出|)(|ethsjw的波形设 可 以 滤 除 的 谐 波 的 次 数 为m ， 相 位 的 角 频 率 为w ， 则fwmmw112将该频率代入幅频特性表达式，结果应为零，既精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - -

17、- - - -0|sin|2|)(|11ffesjmkmtwhs既ikmffs1（i=0，1，mffikims01可见， m 的取值为 0，,.2,00mm既直流分量，m0次及m0的整数倍次谐波均可以滤除例如：n=12，k=4，则m0=3 这时直流，三次，六次，九次，十二次谐波均可有差分滤波y（n）=x（n）-x（n-4）滤除。若nk，则可滤去基波、直流及所有整数次谐波，稳态无输出，故障是输出一个周波的故障分量。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

18、 - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - -可以用来启动保护、选相及构成反应故障分量的继电保护。（二）相加滤波单元差分方程为：|2cos|2|)(|1)()()()(tezsjwkkwthzhknxnxnys曲线如下精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -为滤除 m

19、次谐波，令wmw1，代入上式使0| )(|ethsjw可得002)21 ()21(001mikniimmmkffs所以无论nk 取何值均不能滤除直流，能滤除的最低次谐波为knm20，还能滤除次mmm0005,3 ,谐波例如： n=12 k=2 则可滤除三次，九次，十五次谐波若取2nk，也可算出突变量。（三）积分滤波单元差分方程：)()2()1()()(knxnxnxnxny转移函数：zzzzzkkzh1)1(21111)(幅频特性)(etzsjw|2sin2)1(sin|)(|ttessjwwwkths欲使 m 次谐波wwmm1为零，要求itfsmk1122)1(且itfsm2122精品学习资

20、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -既11knmi且nmi2就是说，这种滤波器能够滤除除n 的整数倍次之外，1kn的整数倍次谐波。例如：若 n=12，k=5 则21kn则积分滤波器能够滤除除二次，四次，六次，八次，十次，十四次等谐波。但不能滤除零次，十二次，二十四次及各种奇次谐波。实际上，为满足采样定理，在每周采样12 点的情况下，输入信号中最

21、高谐波频率为既最高为六次谐波，上述滤波单元能滤去2，4，6次。保留直流基波， 3，5 次谐波。（四）加减滤波单元差分方程为)()2()1()()() 1(knxnxnxnxnyk转移函数为：zzzzzkkkkzh1)1(21111)() 1() 1(1k 为奇数代入，得幅频特性。欲滤去 m 次谐波，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - -

22、-且)1 , 0()21()21()1 ,0(122)1(22211111iiiffiiiffnmmknmmkss既能够滤除ni）（212次谐波之外，1kn的整数倍谐波例如： n=12，k=3 则iiikn11134121可能的取值有， 0，3，6，9，12612122121122iiin）（）（可能的取值有， 6，18所以上述滤波器可以滤除6，18次之外， 3 的整数倍的谐波： 0，3，9，12再如：n=12，k=5 iikn1121可能的取值有， 0，2，4，6，612)21(12iin可能的取值有， 6，18，所以上述滤波器可以滤除6，18次之外， 2 的整数倍的谐波： 0，2，4，8，

23、2，k 为偶数：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - -|2cos2) 1(cos| )(|11)()1(ttezzssjwkkmwkhzhts为滤去 m 次谐波，要求且nmknmmkiiiffs)21(1)21()21()1(2111可见， m 的取值范围不包括零，所以无法滤除直溜分量，设 n=12，k=5 则612)21(1im可能的

24、取值为 1，3，5，7ni)21(2可能的取值为 6，18不会发生冲突，可滤除基波，3 次，5 次等谐波简单滤波器的特点（1）运算简单（2）梳妆特性，频谱上有较大旁瓣。仅能滤除某些整数次谐波，频率变化时误差大。（3）时延c反比于m0，kkcm10故有结论（4）运算结构为非递归结构， 冲击响应有限 （书上的第四条仅对一，二 两种滤波器适用， 积分。加减交替却有极点， 都存在稳定问精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

25、 - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - -题。 ）三 简单滤波单元的组合优点：运算简单。简单滤波缺点：特性旁瓣大，误差大。并联：应用不多组合级联：上级的输出作为下级的输入。m 个简单滤波单元组成的级联滤波器。转移函数：幅频特性：| )(| )(|)()(11zhzzhhehimijwimits相频特性：时延特性：micicsmiisttww11)()(运算量（指最少加减法数）为：miiaa1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选

26、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -级联后，仍具有简单梳妆的几个主要特点，但性能会有较大改善（旁瓣下降）以例说明。例一：设采样频率为hzfs600，要求完全滤除直流及2，3，4，6 次谐波分量。解：hzfs600所以121ffsn点欲滤除直流及2，4，6，次谐波，可用k=6 的差分滤波，26120knmmim0可能取值 0，2，4，6)1()(62zhz欲滤除三次谐波，可选取k=3 的积分滤波。zzzhmzkn321401)(313121mim0可能取值 3，6，可见，只要两极级联就能够完成上述要求

27、，但此时仍会有较大旁瓣，为减小旁瓣， 可分别增加一个对高频部分衰减较大的差分和积分滤波。zhz211)(k=2。60knm可滤除直流分量和6 次.1)(213zzhzk=2 410knm可滤除 4 次这样级联后，可使旁瓣进一步减小，滤波效果有较大改善。2-7 非递归型数字滤波器精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - -1概念非递归型数字滤波

28、器是将输入信号和滤波器的单位冲激响应作卷积而实现的。)()()(0ttttssnkssknxkhny（）因果系统， k0 时无输入，也无输出，所以下限取为0。（）)(tskh必须是有限长的，否则n运算量无穷大，无法实现。（）等式右端与 y 无关，非递归。非递归一定要求有限冲激响应。2设计。（）样本设计根据频域要求：带通（中心频率截止频率） 带阻高通低通。找到一个合适的)( fh和)(th。（）按采样频率对)(th采样，得到)(tsnh代入上式，即可实现滤波。要求：在对)(th采样时，如果满足：0)( fh当fsf21|时的条件，则所设计的数字滤波器的频率特性在-fs21到fs21范围内将和)(

29、 fh的形状完全相同，否则由于频率混淆，数字滤波器的特性|)(|ethsjw与)( fh不同。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - -在满足0| )(|21|fhffs和fsffx21|0| )(|情况下可以证明ttssnttyny|)()()()()(),(tytxfhth)()()(),(tthnhtsssnyjwsnxet证明过程略（）截断)(tsnh必须是有限长的，但根据)( fh求出的)(th往往是无限长的，必须截断从而使)(ethsjw与)( fh有所不同例 2-7，对照书上讲。窗函数的选择：a）窗函数的形状矩形窗最为直观，但截断后得到的频率特性会有较大的旁瓣，吉布斯现象比较严重， 解决办法是用比较圆滑的窗口截取)(th，如 tukey 窗hanning 窗等。b）截取长度截取的长度增加， 特性理想， 但运算量增加， 所以应根据实精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - -